曲面积分与曲线积分.pptx

102 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算第二类曲线积分的定义、定义的推广对坐标的曲线积分的性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：设在xOy面内有一个质点，在变力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x,y)所作的功 OxyABF(x,y)L一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：OxyABL 用点AA0，A1，A2，An1，AnB把L分成 n个小弧段，A1A2AkAk+1An-1F(xk,yk)显然，变力F(x,y)沿有向小弧段AkAk+1 所作的功可以近似为P(xk,yk)costk Q(xk,yk)sintksk 则于是，变力F(x,y)所作的功从而这里tt(x,y)，cost,sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量对坐标的曲线积分的定义：设L为xOy面上一条光滑有向曲线，cost,sint是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义 如果下列二式右端的积分存在，我们就定义对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广：设G为空间内一条光滑有向曲线，cosa,cosb,cosg是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)对坐标的曲线积分的简写形式：对坐标的曲线积分的性质：(1)如果把L分成L1和L2，则 (2)设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算应注意的问题：下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定小于b 定理：设P(x,y)、Q(x,y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数方程为 当参数t单调在由a 变到b 时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，则 若空间曲线G由参数方程xj(t)，y=y(t)，zw(t)给出，曲线的起点对应于t=a，终点对应于tb，那么曲线积分讨论：如何计算？Pj(t),y(t),w(t)j(t)Qj(t),y(t),w(t)y(t)Rj(t),y(t),w(t)w(t)d t提示：B(1,1)的一段弧 解 第一种方法：以x为积分变量L分为AO和OB两部分因此yxO1-11B(1,1)A(1,-1)B(1,1)的一段弧yxO1-11B(1,1)A(1,-1)解 第二种方法：以y为积分变量L的方程为xy2，y从1变到1因此xy2(1)L为半径为a、圆心为原点按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)L为从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段 q 从0变到 解 (1)L 的参数方程为xa cosq，ya sinq，xyOA(a,0)B(a,0)(2)L的方程为y0，x从a变到a因此因此(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)OxyA(1,0)B(1,1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；解 (1)L：yx2，x从0变到1所以 (2)L：xy2，y从0变到1所以(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)OxyA(1,0)B(1,1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；0+1=1 解 (3)L=OA+AB，点B(0,0,0)的直线段 x3t，y2t，xt，t从1变到0所以 例5 设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用，F的大小与M 到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点 此质点由点A(a,0)沿按逆时针方向移动到点B(0,b)，求力F所作的功 解 椭圆的参数方程为由假设有Fk(x iy j)，其中k0是比例常数于是OxyABabxa cos t，yb sin t，F三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 由定义，得即类似地有 若令FP,Q,R，Tcosa,cosb,cosg为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单们切向量，drT ds dx,dy,dz，则上述关系可写为