最短路径问题教学设计.doc

13.4课题学习
最短路径问题
教学内容解析：
本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学生学情分析：
1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学策略分析：
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
教学条件分析:
在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。
教具准备：直尺、几何画板，ppt
教学过程：
环 节
教师活动
学生活动
设计意图
一

复
习
引
入
1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？

2.这样的问题，我们称为“最短路径问题。
1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。
从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
二

探

究

新

知

1.探究一：
【故事引入】：唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，
问题：怎样走才能使总路程最短呢？
认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。

从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。

二

探

究

新

知
2.探究二：
【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？

（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？

（2）【展示】：
让学生猜想，并画出图形。
巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。

给予学生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。

【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。
已知：直线L和同侧两点A、B
求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。

【学生展示】：
作法1：

作法2：：

作法3：

【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的。
学生主动探索，充分发挥学生的主动性。
展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。
二

探

究

新

知

3.解决问题
【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？

如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。

也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。

让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。
（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？

【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。

（3）【几何画板】下面我们可以借助数学工具—几何画板来进一步验证一般性。
老师动手操作，验证结论的正确性。。

（1）学生自主证明，教师纠错。
（2）师生共同分析学生说明证明过程，教师版书。
（3）共同完成证明过程。
认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

1.独立纠错
2.兵教兵
让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。

通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。
三
发
散
思
维

除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？

还可以作点A关于直线l的对称点。

发散思维，培养学生一题多解的能力。
四

得
出
结
论

【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？

先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。
让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。

五

范
例
分
析
1.【问题】：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。

在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
六

巩

固

练

习

1. 【题目】：如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）

2. 【题目】：如图，在直角三角形ABC中，角A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为

3. 如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为

将军饮马模型的直接应用。

习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

七

课

堂

小

结
1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？

当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。
2.【问题】：轴对称在所研究问题中起什么作用？
利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想。

我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

转化作用

培养学生总结在课题学习的基本思路。

目标检测设计：
题目1、（课后练习）课本93页，第15题。

设计意图：
本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。

题目2、（拓广探索）在∠AOB内有一点P，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使的周长最短。

设计意图：
学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。