1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,常见曲线参数方程,第1页,1,旋轮线,2,旋轮线也叫摆线,3,旋轮线是最速降线,4,心形线,5,星形线,6,圆,渐伸线,7,笛卡儿叶形线,8,双纽线,9,阿基米德螺,线,10,双曲螺,线,主 目 录,（,110,）,第2页,x,a,曲线,是一条极其迷人曲线，在生活中应用广泛。,1.,旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出,第3页,x,来看动点慢动作,.,第4页,2,a,2,a,0,y,x,a,x=a,(,t,sin,t,),y=a,(1,cos,t,),t,几何意义如图示,t,
2、a,当,t,从 0,2,，,x,从,0 2,a,即曲线走了一拱,a,.,参数方程,第5页,o,a,C,A,x,y,这就是旋轮线参数方程。,第6页,将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板,2.,旋轮线也叫,摆线,（单摆）,第7页,.,第8页,第9页,两个旋轮线形状挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。,在,17,世纪，旋轮线即以此性质知名，所以旋轮线又称,摆线,。,第10页,B,A,答案是：,当这曲线是一条翻转旋轮线。,最速降线问题,:,质点在重力作用下沿曲线从固定点,A,滑到固定点,B,，,当曲线是什么形状时所需要时间最短？,3.,旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,第11页,B,A,第12页,B
3、A,第13页,B,A,滑板轨道就是这条曲线,.,第14页,x,y,o,a,a,一圆沿另一圆,外缘,无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。,4.,心形线,(,圆外旋轮线,),第15页,x,y,o,a,来看动点慢动作,.,a,第16页,x,y,o,a,a,2,a,来看动点慢动作,.,第17页,x,y,o,2,a,P,r,.,r=a,(1+cos,),参数方程,第18页,x,y,o,a,a,一圆沿另一圆,内缘,无滑动地,滚动，动圆圆周上任一点,所画出曲线。,5.,星形线,(,圆内旋轮线,),第19页,x,y,o,a,a,来看动点慢动作,.,第20页,x,y,o,a,a,来看动点慢动作,.,第2
4、1页,x,y,o,a,a,0,2,极坐标方程为,.,P,.,直角坐标方程为：,.,第22页,0,x,y,一直线,沿,圆周,滚转（无滑动）,直线上,一个定点,轨迹,6.,圆渐伸线,a,参数方程为,第23页,0,x,y,.,a,再看一遍,第24页,0,x,y,.,a,第25页,0,x,y,.,a,第26页,a,0,x,M,t,t,a,at,(,x,y,),0,x,y,试由这些关系推出曲线方程,.,参数方程为,第27页,1.,曲线关于,y=x,对称,2.,曲线有渐进线,x+y+a,=0,分析,3.,令,y=t x,得参数式,故在原点，曲线本身相交,.,7.,狄,卡儿,叶,形线,4.,第28页,0,x
5、y,x+y+a=,0,曲线关于,y=x,对称,曲线有渐近线,x+y+a,=0,.,第29页,0,x,y,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应角度为,=,.,.,.,.,.,距离之积为,a,2,点轨迹,直角系方程,8.,双,纽,线,第30页,0,x,y,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,例,1,求,双纽线,第31页,0,r,r,=,a,曲线能够看作这种点轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,9.,阿基米德螺线,第32页,0,r,.,第33页,0,r,再看一遍,请问：动点轨迹什么样？,.,第34页,0,r
6、第35页,0,r,.,第36页,0,r,r,=,a,.,阿基米德螺线,第37页,r,这里,从,0+,8,r,=,a,0,2,a,每两个螺形卷间沿射线距离是定数,.,阿基米德螺线,第38页,0,r,8,当,从,0,r,=,a,.,阿基米德螺线,第39页,r,0,.,这里,从,0+,8,a,.,.,10,双曲螺线,第40页,r,0,.,当,从,0,8,a,.,双曲螺线,第41页,x,y,o,例,2,2,.,.,S=,=1+cos,3,r,=3cos,由,3cos,=,1,+,cos,得交点坐标,S,2,.,.,.,第42页,.,.,.,.,例,3.,1,0,x,y,令,cos2,=0,由,sin,0,联立后得交点坐标,.,.,.,S,=2,.,第43页,x,y,o,例,4,1,s,1,s,2,.,.,.,.,.,.,s,S=,=1+cos,第44页,求由,双纽线,0,x,y,.,.,.,.,由对称性,.,例,5.,a,内部面积。,双纽线化成极坐标,令,r,=0,S,=,4,+,.,第45页,第46页,
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