1、返回,后页,前页,定义1,设平面曲线,C,由以下参数方程表示:,3,平面曲线弧长与曲率,本节定义光滑曲线弧长,并用定积分给出弧长计,算公式.,一、平面曲线弧长,第1页,定义,2,设平面曲线,C,由参数方程,第2页,曲线,则,C,是可求长,且弧,长为,定理10.1,(光滑曲线弧长公式),设曲线,C,由参数方,若,C,为一光滑,第3页,于是,证,第4页,所以,第5页,由第一章,1习题6可知,于是,第6页,即,从而,第7页,所以当,f,在,a,b,上连续可微时,示,则,C,又,可看作,注1,若曲线,C,由直角坐标方程,表示,则,C,亦可看作,注2,若曲线,C,由极坐标方程,因为,第8页,第9页,解,
2、例1,第10页,例 2,解,解,段,弧长.,例3,第11页,在光滑曲线,上,弧段 与 长度相差不,*,二、平面曲线曲率,曲率是刻划曲线弯曲程度一个概念.如图所表示,多而弯曲程度却很不一样.,转过角度 要大得多,比动点从,Q,移到,R,时切线.,到,Q,时,切线转过角度,这反应动点沿曲线从,P,移,第12页,设,表示曲线在点 处切线倾角,表示动点由,P,沿曲线移至,时切线倾角增量.若,之长为,则称,为弧段 平均曲率.假如存在有限极限,第13页,则称此极限,K,为曲线,C,在,P,处曲率.,因为曲线光滑,故总有,可得,第14页,即,若曲线由,表示,则,例1,求椭圆,上曲率,解,因为,最大和最小点.
3、第15页,所以椭圆在各点曲率为,当 时,在 处曲率最大,在,由例1可得,若,则各点处曲率相等,为,处曲率最小,第16页,显然,直线上各点处曲率为 0.,设曲线上一点,P,处曲率,若过,P,作一个半径为,圆,使它在点,P,处与曲线有相同切线,并在,P,近旁与曲线位于切线同侧(见图).,在,P,处曲率圆.曲率圆,率圆圆心称为曲率中心.,半径称为曲率半径,曲,我们把这个圆称为曲线,第17页,火车轨道从直道进入半径为,R,火车向心加速度,以确保火车安全(使,道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到,圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨,例2,如图所表示,第18页,对此曲线,用曲率公式得:,缓冲曲线惯用三次曲线,第19页,曲,率从,0,渐渐增加到靠近于 从而起了缓冲,所以曲线段,作用.,第20页,作业：,P252：1(2，3，5)，2（3），3,第21页,
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