高三数学复习第九章平面解析几何第五节椭圆理.pptx

教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第五节椭圆,1/28,1.椭圆定义,平面内到两个定点,F,1,、,F,2,距离之和等于常数(大于|,F,1,F,2,|)点轨迹,叫做,椭圆,.这两个定点叫做椭圆,焦点,两焦点间距离,叫做椭圆,焦距,.,集合,P,=,M,|,MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,|,F,1,F,2,|=2,c,其中,a,0,c,0,且,a,c,为常数.,教材研读,(1)若,a,c,则集合,P,表示椭圆;,(2)若,a,=,c,则集合,P,表示线段;,(3)若,a,b,0),+,=1(,a,b,0),图形,性质,范围,-,a,x,a,-,b,y,b,-,b,x,b,-,a,y,a,对称性,对称轴:坐标轴;对称中心:原点,顶点,A,1,(-,a,0),A,2,(,a,0),B,1,(0,-,b,),B,2,(0,b,),A,1,(0,-,a,),A,2,(0,a,),B,1,(-,b,0),B,2,(,b,0),轴,长轴A1A2长为2a;短轴B1B2长为2b,焦距,|,F,1,F,2,|=,2,c,离心率,e,=,e,(0,1),a、b、c间关系,c,2,=,a,2,-,b,2,3/28,3.点,P,(,x,0,y,0,)和椭圆位置关系,(1),P,(,x,0,y,0,)在椭圆内,+,1.,4/28,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“,”),(1)平面内与两个定点,F,1,F,2,距离之和等于常数点轨迹是椭圆.,(,),(2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.,(),(3)方程,mx,2,+,ny,2,=1(,m,0,n,0,m,n,)表示曲线是椭圆.,(),(4),+,=1(,a,b,0)与,+,=1(,a,b,0)焦距相同,.,(),5/28,1.已知,F,1,F,2,是椭圆,+,=1两个焦点,过点,F,2,直线交椭圆于,A,B,两,点.在,AF,1,B,中,若有两边之和是10,则第三边长度为,(),A.6B.5C.4D.3,答案,A依据椭圆定义,知,AF,1,B,周长为4,a,=16,故所求第三边,长度为16-10=6.,2.椭圆,x,2,+,my,2,=1(,m,0)焦点在,y,轴上,长轴长是短轴长2倍,则,m,等于,(),A.,B.2C.4D.,答案,D由,x,2,+,=1(,m,0)及题意知,2,=2,2,1,解得,m,=,故选D.,6/28,3.(课标全国,5,5分)直线,l,经过椭圆一个顶点和一个焦点,若椭,圆中心到,l,距离为其短轴长,则该椭圆离心率为,(),A.,B.,C.,D.,答案,B如图,|,OB,|为椭圆中心到,l,距离则|,OA,|,OF,|=|,AF,|,OB,|,即,bc,=,a,所以,e,=,=,.故选B.,7/28,4.设,e,是椭圆,+,=1离心率,且,e,=,则实数,k,值是,.,答案,或,解析,当,k,4时,有,e,=,=,解得,k,=,;当0,k,b,0),结合椭圆一个焦点为,F,(1,0),离心率,e,=,得,解得,故椭圆标准方程为,+,=1.,9/28,考点一椭圆定义及标准方程,考点突破,典例1,(1)若直线,x,-2,y,+2=0经过椭圆一个焦点和一个顶点,则该椭圆,标准方程为,(),A.,+,y,2,=1B.,+,=1,C.,+,y,2,=1或,+,=1D.以上答案都不对,(2)已知两圆,C,1,:(,x,-4),2,+,y,2,=169,C,2,:(,x,+4),2,+,y,2,=9,动圆在圆,C,1,内部且和圆,C,1,相,内切,和圆,C,2,相外切,则动圆圆心,M,轨迹方程为,(),A.,-,=1B.,+,=1C.,-,=1D.,+,=1,10/28,(3),F,1,F,2,是椭圆,+,=1两个焦点,A,为椭圆上一点,且,AF,1,F,2,=45,则,AF,1,F,2,面积为,(),A.7B.,C.,D.,答案,(1)C(2)D(3)C,解析,(1)直线与坐标轴交点分别为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在,x,轴,上时,c,=2,b,=1,所以,a,2,=5,所求椭圆标准方程为,+,y,2,=1.当焦点在,y,轴上,时,b,=2,c,=1,所以,a,2,=5,所求椭圆标准方程为,+,=1.,(2)设圆,M,半径为,r,则|,MC,1,|+|,MC,2,|=(13-,r,)+(3+,r,)=16,又|,C,1,C,2,|=8|,F,1,F,2,|这一条件.,(2)求椭圆标准方程基本方法是待定系数法.详细过程是先定形,再定,量,即首先确定焦点所在位置,然后依据条件建立关于,a,b,方程组.假如,焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭,圆方程设成,mx,2,+,ny,2,=1(,m,0,n,0,m,n,)形式.,13/28,1-1,已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左、右焦点分别为,F,1,、,F,2,离心率,为,过,F,2,直线,l,交,C,于,A,、,B,两点.若,AF,1,B,周长为4,则,C,方程,为,(),A.,+,=1B.,+,y,2,=1C.,+,=1D.,+,=1,答案,A由题意及椭圆定义知4,a,=4,则,a,=,又,=,=,c,=,1,b,2,=2,C,方程为,+,=1,选A.,14/28,1-2,(安徽,14,5分)设,F,1,、,F,2,分别是椭圆,E,:,x,2,+,=1(0,b,1)左、,右焦点,过点,F,1,直线交椭圆,E,于,A,B,两点.若|,AF,1,|=3|,F,1,B,|,AF,2,x,轴,则椭,圆,E,方程为,.,答案,x,2,+,y,2,=1,解析,不妨设点,A,在第一象限,AF,2,x,轴,A,(,c,b,2,)(其中,c,2,=1-,b,2,0,b,0).,又|,AF,1,|=3|,F,1,B,|,由,=3,得,B,代入,x,2,+,=1得,+,=1,又,c,2,=1-,b,2,b,2,=,.故椭圆,E,方程为,x,2,+,y,2,=1.,15/28,1-3,已知,F,1,、,F,2,是椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)两个焦点,P,为椭圆,C,上,一点,且,.若,PF,1,F,2,面积为9,则,b,=,.,答案,3,解析,|,PF,1,|+PF,2,|=2,a,|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,=|,F,1,F,2,|,2,=4,c,2,(|,PF,1,|+|,PF,2,|),2,-2|,PF,1,|,PF,2,|=4,c,2,2|,PF,1,|,PF,2,|=4,a,2,-4,c,2,=4,b,2,|,PF,1,|,PF,2,|=2,b,2,=,|,PF,1,|,PF,2,|=,2,b,2,=,b,2,=9.,b,=3.,16/28,考点二椭圆几何性质,典例2,(1)已知椭圆,+,=1(,a,b,0)一个焦点是圆,x,2,+,y,2,-6,x,+8=0圆,心,且短轴长为8,则椭圆左顶点为,(),A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0),(2)(课标全国,11,5分)已知,O,为坐标原点,F,是椭圆,C,:,+,=1,(,a,b,0)左焦点,A,B,分别为,C,左,右顶点.,P,为,C,上一点,且,PF,x,轴.过,点,A,直线,l,与线段,PF,交于点,M,与,y,轴交于点,E,.若直线,BM,经过,OE,中,点,则,C,离心率为,(),A.,B.,C.,D.,17/28,答案,(1)D(2)A,解析,(1)圆标准方程为(,x,-3),2,+,y,2,=1,圆心坐标为(3,0),c,=3.又,b,=4,a,=,=5.,椭圆焦点在,x,轴上,椭圆左顶点为(-5,0).,(2)由题意知过点,A,直线,l,斜率存在且不为0,故可设直线,l,方程为,y,=,k,(,x,+,a,),当,x,=-,c,时,y,=,k,(,a,-,c,),当,x,=0时,y,=,ka,所以,M,(-,c,k,(,a,-,c,),E,(0,ka,).如图,设,OE,中点为,N,则,N,因为,B,M,N,三点共线,所以,k,BN,=,k,BM,即,=,所以,=,即,a,=3,c,所以,e,=,.故选A.,18/28,方法技巧,求椭圆离心率惯用方法:,(1)直接求出,a,c,利用定义求解;,(2)结构,a,c,齐次式,解出,e,.由已知条件得出关于,a,c,二元齐次方程,然,后转化为关于离心率,e一元二次方程求解;,(3)经过特殊值或特殊位置求出离心率.,19/28,2-1,(福建泉州质检)已知椭圆,+,=1长轴在,x,轴上,焦距,为4,则,m,等于,(),A.8B.7C.6D.5,答案,A椭圆,+,=1长轴在,x,轴上,解得6,m,b,0)左、右焦点,若椭圆,C,上存在点,P,使得线段,PF,1,中垂线恰好经过焦点,F,2,则椭圆,C,离心率,取值范围是,(),A.,B.,C.,D.,答案,C如图所表示,线段,PF,1,中垂线经过,F,2,|,PF,2,|=|,F,1,F,2,|=2,c,即椭圆上存在一点,P,使得|,PF,2,|=2,c,.,a,-,c,2,c,又0,e,)右焦点为,F,右顶,点为,A,.已知,+,=,其中,O,为原点,e,为椭圆离心率.,(1)求椭圆方程;,(2)设过点,A,直线,l,与椭圆交于点,B,(,B,不在,x,轴上),垂直于,l,直线与,l,交于,点,M,与,y,轴交于点,H,.若,BF,HF,且,MOA,MAO,求直线,l,斜率取,值范围.,解析,(1)设,F,(,c,0),由,+,=,即,+,=,可得,a,2,-,c,2,=3,c,2,又,a,2,-,c,2,=,b,2,=3,所以,c,2,=1,所以,a,2,=4,所以,椭圆方程为,+,=1.,(2)设直线,l,斜率为,k,(,k,0),则直线,l,方程为,y,=,k,(,x,-2).22/28,设,B,(,x,B,y,B,),由方程组,消去,y,整理得(4,k,2,+3),x,2,-16,k,2,x,+16,k,2,-12=0.,解得,x,=2或,x,=,由题意得,x,B,=,从而,y,B,=,.,由(1)知,F,(1,0),设,H,(0,y,H,),有,=(-1,y,H,),=,.,由,BF,HF,得,=0,所以,+,=0,解得,y,H,=,.,所以直线,MH,方程为,y,=-,x,+,.,23/28,设,M,(,x,M,y,M,),由方程组,消去,y,解得,x,M,=,.,在,MAO,中,MOA,MAO,|,MA,|,|,MO,|,即(,x,M,-2),2,+,+,化简,得,x,M,1,即,1,解得,k,-,或,k,.,所以,直线,l,斜率取值范围为,.,24/28,方法技巧,(1)处理直线与椭圆位置关系相关问题,其常规思绪是先把直线方,程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数关系建立方程,处理相关,问题,包括弦中点问题常惯用“点差法”处理.,(2)设直线与椭圆交点坐标为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,|,AB,|=,=,(,k,为直线斜率,k,0).,提醒:利用公式计算直线被椭圆截得弦长是在方程有解情况下进行,不要忽略判别式.,25/28,3-1,(贵州贵阳适应性考试)已知椭圆,G,:,+,=1(,a,b,0)两焦点,分别为,F,1,F,2,其离心率为,椭圆,G,上一点,M,满足,=0,且,MF,1,F,2,面积为1.,(1)求椭圆,G,方程;,(2)过椭圆,G,长轴上点,P,(,t,0)直线,l,与圆,O,:,x,2,+,y,2,=1相切于点,Q,(,P,与,Q,不,重合),交椭圆,G,于,A,B,两点.若|,AQ,|=|,BP,|,求实数,t,值.,解析,(1)由,=0得,MF,1,MF,2,所以|,MF,1,|,2,+|,MF,2,|,2,=|,F,1,F,2,|,2,=4(,a,2,-,b,2,),由椭圆定义得|,MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,即|,MF,1,|,2,+|,MF,2,|,2,+2|,MF,1,|,MF,2,|=4,a,2,联立,可得|,MF,1,|,MF,2,|=2,b,2,26/28,所以,=,|,MF,1,|,MF,2,|=,b,2,则,b,2,=1,由,e,=,得,=,解得,a,2,=4.,所以椭圆,G,方程为,+,y,2,=1.,(2)由题可知线段,AB,与,PQ,中点重合.,显然,t,0,直线,l,斜率存在且不为零,所以设直线,l,方程为,y,=,k,(,x,-,t,),且,k,0.,因为直线,l,与圆,O,相切,则圆心到,l,距离,d,=,=1,即,k,2,t,2,=,k,2,+1.,设切点,Q,坐标为(,x,0,y,0,),则,+,=1,由,=0,得,x,0,(,x,0,-,t,)+,=0,则,x,0,=,27/28,联立,化简得(1+4,k,2,),x,2,-8,tk,2,x,+4(,t,2,k,2,-1)=0.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则有,x,1,+,x,2,=,.,因为线段,AB,与线段,PQ,中点重合,所以,x,1,+,x,2,=,t,+,x,0,所以,=,t,+,联立,化简得,k,2,=,将其代入式,可得,t,=,.,28/28,