高中数学第一章计数原理1.4计数应用题.pptx

1.4,计数应用题,第,1,章,计数原理,1/41,学习目标,1.,深入了解和掌握两个计数原理,.,2.,深入深化了解排列与组合概念,.,3.,能综合利用排列、组合处理计数问题,.,2/41,题型探究,内容索引,当堂训练,3/41,题型探究,4/41,命题角度,1,“,类中有步,”,计数问题,例,1,电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优异观众来信，甲信箱中有,30,封，乙信箱中有,20,封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运搭档，有,_,种不一样结果,.,类型一两个计数原理应用,答案,解析,28 800,5/41,解析,在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运搭档是不一样，故要分两类分别计算：,(1),幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运搭档，有,30,29,20,17 400(,种,),结果；,(2),幸运之星在乙箱中抽，同理有,20,19,30,11 400(,种,),结果,.,所以共有,17 400,11 400,28 800(,种,),不一样结果,.,6/41,用流程图描述计数问题，类中有步情形如图所表示：,反思与感悟,详细意义以下：,从,A,到,B,算作一件事完成，完成这件事有两类方法，在第,1,类方法中有,3,步，在第,2,类方法中有,2,步，每步方法数如图所表示,.,所以，完成这件事方法数为,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,，,“,类,”,与,“,步,”,可深入地了解为：,“,类,”,用,“,”,号连接，,“,步,”,用,“”,号连接，,“,类,”,独立，,“,步,”,连续，,“,类,”,标志一件事完成，,“,步,”,缺一不可,.,7/41,解析,如图所表示，将原图从上而下,4,个区域标为,1,2,3,4.,因为,1,2,3,之间不能同色，,1,与,4,能够同色，,所以，要分类讨论,1,4,同色与不一样色这两种情况,.,故不一样着色方法种数为,4,3,2,4,3,2,1,48.,跟踪训练,1,现有,4,种不一样颜色，要对如图所表示四个部分进行着色，要求有公共边界两部分不能用同一个颜色，则不一样着色方法共有,_,种,.,答案,解析,48,8/41,命题角度,2,“,步中有类,”,计数问题,例,2,有,4,位同学在同一天上、下午参加,“,身高与体重,”,、,“,立定跳远,”,、,“,肺活量,”,、,“,握力,”,、,“,台阶,”,五个项目标测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复,.,若早晨不测,“,握力,”,项目，下午不测,“,台阶,”,项目，其余项目上、下午都各测一人，则不一样安排方式共有,_,种,.(,用数字作答,),答案,解析,264,9/41,解析,早晨总测试方法有,4,3,2,1,24(,种,).,我们以,A,、,B,、,C,、D,、,E,依次代表五个测试项目,.,若早晨测试,E,同学下午测试,D,，则早晨测试,A,同学下午只能测试,B,、,C,，确定早晨测试,A,同学后其余两位同学上、下午测试方法共有,2,种；,若早晨测试,E,同学下午测试,A,、,B,、,C,之一，,则早晨测试,A,、,B,、,C,中任何一个同学下午都能够测试,D,，安排完这位同学后其余两位同学测试方式就确定了，,故共有,3,3,9(,种,),测试方法，即下午测试方法共有,11,种，,依据分步计数原理，总测试方法共有,24,11,264(,种,).,10/41,用流程图描述计数问题，步中有类情形如图所表示：,反思与感悟,从计数角度看，由,A,到D,算作完成一件事，可简单地记为,A,D,.,完成,A,D,这件事，需要经历三步，即,A,B,，,B,C,，,C,D,.,其中,B,C,这步又分为三类，这就是步中有类,.,其中,m,i,(,i,1,2,3,4,5),表示对应步方法数,.,完成,A,D,这件事方法数为,m,1,(,m,2,m,3,m,4,),m,5,.,以上给出了处理步中有类问题普通方法,.,11/41,跟踪训练,2,如图所表示，使电路接通，开关不一样开闭方式共有,_,种,.,答案,解析,21,12/41,解析,依据题意，设,5,个开关依次为,1,、,2,、,3,、,4,、,5,，如图所表示，若电路接通，则开关,1,、,2,与3,、,4,、,5,中最少有,1,个接通，,对于开关,1,、,2,，共有,2,2,4(,种,),情况，其中全部断开有,1(,种,),情况，则其最少有,1,个接通有,4,1,3(,种,),情况，,对于开关,3,、,4,、,5,，共有,2,2,2,8(,种,),情况，其中全部断开有,1(,种,),情况，则其最少有,1,个接通有,8,1,7(,种,),情况，则电路接通情况有,3,7,21(,种,).,13/41,例,3,3,个女生和,5,个男生排成一排,.,(1),假如女生必须全排在一起，有多少种不一样排法？,解,(,捆绑法,),因为,3,个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，,这么同,5,个男生合在一起共有,6,个元素，排成一排有,种不一样排法,.,对于其中每一个排法，,3,个女生之间又有,种不一样排法，,所以共有,4 320(,种,),不一样排法,.,类型二有限制条件排列问题,解答,14/41,(2),假如女生必须全分开，有多少种不一样排法？,解,(,插空法,),要确保女生全分开，可先把,5,个男生排好，,每两个相邻男生之间留出一个空，这么共有,4,个空，,加上两边两个男生外侧两个位置，共有,6,个位置，,再把,3,个女生插入这,6,个位置中，,只要确保每个位置至多插入一个女生，就能确保任意两个女生都不相邻,.,因为,5,个男生排成一排有,种不一样排法，对于其中任意一个排法，从上述,6,个位置中选出,3,个来让,3,个女生插入有,种方法，,所以共有,14 400(,种,),不一样排法,.,解答,15/41,(3),假如两端都不能排女生，有多少种不一样排法？,解答,16/41,解,方法一,(,特殊位置优先法,),因为两端不能排女生，,所以两端只能挑选,5,个男生中,2,个，有,种不一样排法，,对于其中任意一个排法，其余六位都有,种排法，,所以共有,14 400(,种,),不一样排法,.,方法二,(,间接法,)3,个女生和,5,个男生排成一排共有,种不一样排法，,从中扣除女生排在首位,种排法和女生排在末位,种排法，,但这么两端都是女生排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，,在扣除女生排在末位时又被扣去一次，,所以还需加一次，因为两端都是女生有,种不一样排法，,所以共有,14 400(,种,),不一样排法,.,17/41,方法三,(,特殊元素优先法,),从中间,6,个位置中挑选出,3,个让,3,个女生排入，,有,种不一样排法，对于其中任意一个排法，,其余,5,个位置又都有,种不一样排法，,所以共有,14 400(,种,),不一样排法,.,18/41,(4),假如两端不能都排女生，有多少种不一样排法？,解,方法一因为只要求两端不能都排女生，,所以假如首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，,这么可有,种不一样排法；,假如首位排女生，有,种排法，这时末位就只能排男生，,这么可有,种不一样排法,.,所以共有,36 000(,种,),不一样排法,.,方法二,3,个女生和,5,个男生排成一排有,种排法，从中扣去两端都是女生排法有,种，就能得到两端不都是女生排法种数,.,所以共有,36 000(,种,),不一样排法,.,解答,19/41,(5),假如甲必须排在乙右面,(,能够不相邻,),，有多少种不一样排法？,解,(,次序固定问题,),因为,8,人排队，其中两人次序固定，,解答,20/41,(1),排列问题限制条件普通表现为：一些元素不能在某个位置，某个位置只能放一些元素等,.,要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其它元素,.,当用直接法比较麻烦时，能够用间接法，先不考虑限制条件，把全部排列数算出，再从中减去全部不符合条件排列数，这种方法也称为,“,去杂法,”,，但必须注意要不重复，不遗漏,(,去尽,).,(2),对于一些特殊问题，可采取相对固定特殊方法，如相邻问题，可用,“,捆绑法,”,，即将相邻元素看成一个整体与其它元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用,“,插空法,”,，即先排其它元素，再将不相邻元素排入形成空位中,.,反思与感悟,21/41,跟踪训练,3,用,0,到,9,这,10,个数字，,(1),能够组成多少个没有重复数字四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？,解答,22/41,解,0,到,9,这,10,个数字组成三位数共有,900,个，分为三类：,第,1,类：三位数字全相同，如,111,222,，,，,999,，共,9,个；,第,2,类：三位数字全不一样，共有,9,9,8,648(,个,),，,第,3,类：由间接法可求出，只含有,2,个相同数字三位数，共有,900,9,648,243(,个,).,(2),能够组成多少个只含有,2,个相同数字三位数？,解答,23/41,命题角度,1,不一样元素排列、组合问题,例,4,有,4,张分别标有数字,1,2,3,4,红色卡片和,4,张分别标有数字,1,2,3,4,蓝色卡片，从这,8,张卡片中取出,4,张卡片排成一行,.,假如取出,4,张卡片所标数字之和等于,10,，则不一样排法共有多少种？,类型三排列与组合综合应用,解答,24/41,解,分三类：,25/41,(1),解排列、组合综合问题普通思绪是,“,先选后排,”,，也就是先把符合题意元素都选出来，再对元素或位置进行排列,.,(2),解排列、组合综合问题时要注意以下几点：,元素是否有序是区分排列与组合基本方法，无序问题是组合问题，有序问题是排列问题,.,对于有多个限制条件复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题普通方法,.,反思与感悟,26/41,跟踪训练,4,从,1,3,5,7,9,中任取,3,个数字，从,0,2,4,6,8,中任取,2,个数字，一共能够组成多少个没有重复数字五位偶数？,解答,27/41,解,(1),五位数中不含数字,0.,28/41,(2),五位数中含有数字,0.,第,2,步，排次序又可分为两小类：,所以符合条件偶数个数为,29/41,命题角度,2,含有相同元素排列、组合问题,例,5,将,10,个优异名额分配到一班、二班、三班,3,个班级中，若各班名额数大于班级序号数，则共有,_,种不一样分配方案,.,解析,先拿,3,个优异名额分配给二班,1,个，三班,2,个，这么原问题就转化为将,7,个优异名额分配到,3,个班级中，每个班级中最少分配到,1,个,.,利用,“,隔板法,”,可知，共有,15(,种,),不一样分配方案,.,答案,解析,1530/41,凡,“,相同小球放入不一样盒中,”,问题，即为,“,n,个相同元素有序分成,m,组,(,每组任务不一样,),”,问题，普通可用,“,隔板法,”,求解：,(1),当每组最少含一个元素时，其不一样分组方式有,N,种，即将,n,个元素中间,n,1,个空格中加入,m,1,个,“,隔板,”.,(2),任意分组，可出现一些组含元素为,0,个情况，其不一样分组方式有,N,种，即将,n,个相同元素与,m,1,个相同,“,隔板,”,进行排序，在,n,m,1,个位置中选,m,1,个安排,“,隔板,”.,反思与感悟,31/41,跟踪训练,5,用,2,3,4,5,6,7,六个数字，能够组成有重复数字三位数个数为,_.,解析,用间接法：六个数字能组成三位数共,6,6,6,216(,个,),，而无重复数字三位数共有,6,5,4,120(,个,).,故所求三位数个数为,216,120,96.,答案,解析,96,32/41,当堂训练,33/41,1.,李芳有,4,件不一样颜色衬衣，,3,件不一样花样裙子，另有两套不一样式连衣裙,.,“,五一,”,节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有,_,种不一样选择方式,.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,由题意可得，李芳不一样选择方式为,4,3,2,14.,14,34/41,2.,包含甲、乙在内,7,个人站成一排，其中甲在乙左侧,(,能够不相邻,),，有,种站法,.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,因为甲、乙定序了，所以有,2 520(,种,).,2 520,35/41,3.,从,0,2,4,中取一个数字，从,1,3,5,中取两个数字，组成无重复数字三位数，则全部不一样三位数个数是,_.,答案,2,3,4,5,1,解析,48,36/41,解析,第一类：从,2,4,中任取一个数，有,种取法，,同时从,1,3,5,中取两个数字，有,种取法，,再把三个数全排列，有,种排法,.,故有,36(,种,),取法,.,第二类：从,0,2,4,中取出,0,，有,种取法，,从,1,3,5,三个数字中取出两个数字，有,种取法，,然后把两个非,0,数字中一个先安排在首位，有,种排法，,剩下两个数字全排列，有,种排法，共有,12(,种,),方法,.,共有,36,12,48(,种,),排法,.,2,3,4,5,1,37/41,4.,某电视台连续播放,5,个广告，其中有,3,个不一样商业广告和,2,个不一样公益宣传广告，要求最终播放必须是公益宣传广告，且,2,个公益宣传广告不能连续播放，则不一样播放方式有,_,种,.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,先安排后,2,个，再安排前,3,个，,由分步计数原理知，,共有,36(,种,),不一样播放方式,.,36,38/41,2,3,4,5,1,5.,已知,x,i,1,0,1,，,i,1,2,3,4,5,6则满足,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,2,数组,(,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，,x,5,，,x,6,),个数为,_.,答案,解析,解析,依据题意，,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,2,，,x,i,1,0,1,，,i,1,2,3,4,5,6,，,x,i,中有,2,个,1,和,4,个,0,，或,3,个,1,、,1,个,1,和,2,个,0,，或,4,个,1,和,2,个,1,，共有,90(,个,),，,满足,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,2,数组,(,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，,x,5,，,x,6,),个数为,90.,90,39/41,规律与方法,1.,解排列、组合综合题普通是先选元素、后排元素，或充分利用元素性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最终处理,.,2.,对于较难直接处理问题则可用间接法，但应做到不重不漏,.,3.,对于分配问题，解题关键是要搞清楚事件是否与次序相关，对于平均分组问题更要注意次序，防止计数重复或遗漏,.,40/41,本课结束,41/41,