高三数学复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性文.pptx

教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,文数,课标版,第二节导数与函数单调性,1/24,函数导数与单调性关系,函数,y,=,f,(,x,)在某个区间内可导,(1)若,f,(,x,)0,则,f,(,x,)在这个区间内,单调递增,;,(2)若,f,(,x,)0.,(,),(2)假如函数,f,(,x,)在某个区间内恒有,f,(,x,)=0,则,f,(,x,)在此区间内没有单调,性.,(),(3)在(,a,b,)内,f,(,x,),0且,f,(,x,)=0根有有限个,则,f,(,x,)在(,a,b,)内是减函数.,(),3/24,1.,已知函数,f,(,x,),导函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,图象如图所表示,则,f,(,x,),图象可能是,(,),4/24,答案,D,由题图可知,当,x,x,1,时,由导函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,0,知相,应函数,f,(,x,),在该区间上单调递减,;,当,0,x,0,知对应函数,f,(,x,),在该区间上单,调递增.,5/24,2.以下函数中,在(0,+,)上为增函数是,(),A.,f,(,x,)=sin 2,x,B.,f,(,x,)=,x,e,x,C.,f,(,x,)=,x,3,-,x,D.,f,(,x,)=-,x,+ln,x,答案,B对于A,易得,f,(,x,)=sin 2,x,单调递增区间为,(,k,Z);对于B,f,(,x,)=e,x,(,x,+1),当,x,(0,+,)时,f,(,x,)0,函数,f,(,x,)=,x,e,x,在(0,+,),上为增函数;,对于C,f,(,x,)=3,x,2,-1,令,f,(,x,)0,得,x,或,x,0,得0,x,0,得,x,2,故,f,(,x,)单调递增区间是(2,+,).,7/24,4.已知函数,f,(,x,)=,-(4,m,-1),x,2,+(15,m,2,-2,m,-7),x,+2在R上为单调递增函数,则,实数,m,取值范围是,.,答案,2,4,解析,f,(,x,)=,x,2,-2(4,m,-1),x,+15,m,2,-2,m,-7,由题意可得,f,(,x,),0在,x,R 上恒成,立,所以,=4(4,m,-1),2,-4(15,m,2,-2,m,-7)=4(,m,2,-6,m,+8),0,解得2,m,4.,8/24,考点一利用导数判断(证实)函数单调性,典例1,已知函数,f,(,x,)=(,a,-1)ln,x,+,ax,2,+1.,讨论函数,f,(,x,)单调性.,解析,f,(,x,)定义域为(0,+,),f,(,x,)=,+2,ax,=,.,当,a,1时,f,(,x,)0,故,f,(,x,)在(0,+,)上单调递增;,当,a,0 时,f,(,x,)0,故,f,(,x,)在(0,+,)上单调递减;,当0,a,1时,令,f,(,x,)=0,解得,x,=,则当,x,时,f,(,x,)0,故,f,(,x,)在,上单调递减,在,上单,调递增.,考点突破,9/24,方法技巧,用导数法判断函数,f,(,x,)在(,a,b,)内单调性步骤:,求,f,(,x,).,确定,f,(,x,)在(,a,b,)内符号.,作出结论:,f,(,x,)0时为增函数;,f,(,x,)0时为减函数.,提醒研究含参数函数单调性时,需注意依据参数取值对不等式解,集影响进行分类讨论.,10/24,11,(重庆,19,12分)已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,x,2,(,a,R)在,x,=-,处取得极值.,(1)确定,a,值;,(2)若,g,(,x,)=,f,(,x,)e,x,讨论,g,(,x,)单调性.,解析,(1)对,f,(,x,)求导得,f,(,x,)=3,ax,2,+2,x,因为,f,(,x,)在,x,=-,处取得极值,所以,f,=0,即3,a,+2,=,-,=0,解得,a,=,.,(2)由(1)得,g,(,x,)=,e,x,故,g,(,x,)=,e,x,+,e,x,=,e,x,11/24,=,x,(,x,+1)(,x,+4)e,x,.,令,g,(,x,)=0,解得,x,0,x,=-1或,x,=-4.,当,x,-4时,g,(,x,)0,故,g,(,x,)为减函数;,当-4,x,0,故,g,(,x,)为增函数;,当-1,x,0时,g,(,x,)0时,g,(,x,)0,故,g,(,x,)为增函数.,综上,知,g,(,x,)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+,)内为增函数.,12/24,考点二利用导数求函数单调区间,典例2,已知函数,f,(,x,)=,+,-ln,x,-,其中,a,R,且曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1),处切线垂直于直线,y,=,x,.,(1)求,a,值;,(2)求函数,f,(,x,)单调区间.,解析1)对,f,(,x,)求导得,f,(,x,)=,-,-,由曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1)处切线,垂直于直线,y,=,x,得,f,(1)=-,-,a,=-2,解得,a,=,.,(2)由(1)知,f,(,x,)=,+,-ln,x,-,则,f,(,x,)=,令,f,(,x,)=0,解得,x,=-1或,x,=5.,13/24,因,x,=-1不在,f,(,x,)定义域(0,+,)内,故舍去.,当,x,(0,5)时,f,(,x,)0,故,f,(,x,)在(5,+,)内为增函数.,故函数,f,(,x,)单调增区间为(5,+,),单调减区间为(0,5).,方法技巧,利用导数求函数单调区间两个方法,方法一:,(1)确定函数,y,=,f,(,x,)定义域;,(2)求导数,y,=,f,(,x,);,(3)解不等式,f,(,x,)0,解集在定义域内部分为单调递增区间;,(4)解不等式,f,(,x,)0),g,(,x,)=,x,3,+,bx,.,(1)若曲线,y,=,f,(,x,)与曲线,y,=,g,(,x,)在它们交点(1,c,)处有公共切线,求,a,b,值;,(2)当,a,2,=4,b,时,求函数,f,(,x,)+,g,(,x,)单调区间.,解析,(1),f,(,x,)=2,ax,g,(,x,)=3,x,2,+,b,.,因为曲线,y,=,f,(,x,)与曲线,y,=,g,(,x,)在它们交点(1,c,)处有公共切线,所以,f,(1)=,g,(1),且,f,(1)=,g,(1).,即,a,+1=1+,b,且2,a,=3+,b,.,解得,a,=3,b,=3.,(2)记,h,(,x,)=,f,(,x,)+,g,(,x,).,当,a,2,=4,b,即,b,=,a,2,时,h,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,a,2,x,+1,16/24,则,h,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,a,2,.,令,h,(,x,)=0,得,x,1,=-,x,2,=-,.,a,0,h,(,x,)与,h,(,x,)情况以下:,x,-,-,-,-,-,-,-,-,+,h,(,x,),+,0,-0,+,h,(,x,),函数,h,(,x,)单调递增区间为,和,;单调递减区间,为,.,17/24,考点三利用导数处理函数单调性应用问题,命题角度一已知函数单调性求参数取值范围,典例3,已知函数,f,(,x,)=,x,3,-,ax,-1.,(1)若,f,(,x,)在区间(1,+,)上为增函数,求,a,取值范围;,(2)若,f,(,x,)在区间(-1,1)上为减函数,求,a,取值范围;,(3)若,f,(,x,)单调递减区间为(-1,1),求,a,值.,解析,(1)因为,f,(,x,)=3,x,2,-,a,且,f,(,x,)在区间(1,+,)上为增函数,所以,f,(,x,),0,在(1,+,)上恒成立,即3,x,2,-,a,0在(1,+,)上恒成立,所以,a,3,x,2,在(1,+,),上恒成立,所以,a,3,即,a,取值范围为(-,3.,(2)由题意得,f,(,x,)=3,x,2,-,a,0在(-1,1)上恒成立,所以,a,3,x,2,在(-1,1)上恒成,立.因为-1,x,1,所以3,x,2,0.,f,(,x,)=,x,3,-,ax,-1,f,(,x,)=3,x,2,-,a,.由,f,(,x,)=0,得,x,=,f,(,x,),在区间(-1,1)上为单调递减函数,=1,即,a,=3.,19/24,3-1,已知函数,y,=,f,(,x,),且其导函数,y,=,f,(,x,)图象如图所表示,则该函数图,象是,(),答案B在(-1,0)上,f,(,x,)大于0且单调递增,所以,f,(,x,)图象切线斜率呈,递增趋势;在(0,1)上,f,(,x,)大于0且单调递减,所以,f,(,x,)图象切线斜率呈递,减趋势.故选B.,20/24,典例4,(1)若0,x,1,x,2,ln,x,2,-ln,x,1,B.,-,x,1,D.,x,2,x,1,(2)已知函数,f,(,x,)(,x,R)满足,f,(1)=1,且,f,(,x,)导数,f,(,x,),则不等式,f,(,x,2,),+,解集为,.,答案,(1)C(2)(-,-1),(1,+,),解析,(1)令,f,(,x,)=,则,f,(,x,)=,=,.,当0,x,1时,f,(,x,)0,即,f,(,x,)在(0,1)上单调递减,0,x,1,x,2,1,命题角度二比较大小或解不等式,21/24,f,(,x,2,),f,(,x,1,),即,x,1,故选C.,(2)由题意结构函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,x,则,F,(,x,)=,f,(,x,)-,f,(,x,),F,(,x,)=,f,(,x,)-,0,即函数,F,(,x,)在R上单调递减.,f,(,x,2,),+,f,(,x,2,)-,f,(1)-,F,(,x,2,)1,即,x,(-,-1),(1,+,).,22/24,方法技巧,1.由函数单调性求参数取值范围方法,(1)可导函数在区间(,a,b,)上单调,实际上就是在该区间上,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0)恒成立,得到关于参数不等式,从而转化为求函数最值问题,求,出参数取值范围.,(2)可导函数在区间(,a,b,)上存在单调区间,实际上就是,f,(,x,)0(或,f,(,x,)0(或,f,(,x,),min,xf,(,x,),则不等式,f,(,x,),xf,(1)解集为,(),A.(-,0)B.(0,1),C.(0,+,)D.(1,+,),答案,B由题意,x,0时,f,(,x,),xf,(,x,),xf,(,x,)-,f,(,x,)0,0,0,f,(,x,),xf,(1),0,x,1.故选B.,24/24,