高考数学复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题理.pptx

剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,讲导数热点问题,专题六函数与导数,板块三专题突破关键考点,1/54,考情考向分析,利用导数探求函数极值、最值是函数基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大,.,2/54,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,3/54,热点分类突破,4/54,用导数证实不等式是导数应用之一，能够间接考查用导数判定函数单调性或求函数最值，以及结构函数解题能力,.,热点一利用导数证实不等式,5/54,解答,例,1,(,湖南长沙雅礼中学、河南省试验中学联考,),已知函数,f,(,x,),a,e,2,x,a,e,x,x,e,x,(,a,0,，,e,2.718,，,e,为自然对数底数,),，若,f,(,x,),0,对于,x,R,恒成立,.,(1),求实数,a,值；,6/54,解,由,f,(,x,),e,x,(,a,e,x,a,x,),0,对于,x,R,恒成立，,设函数,g,(,x,),a,e,x,a,x,，,可得,g,(,x,),a,e,x,a,x,0,对于,x,R,恒成立，,g,(0),0,，,g,(,x,),g,(0),，,从而,x,0,是,g,(,x,),一个极小值点，,g,(,x,),ae,x,1,，,g,(0),a,1,0,，即,a,1.,当,a,1,时，,g,(,x,),e,x,1,x,，,g,(,x,),e,x,1,，,x,(,，,0),时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,g,(,x,),g,(0),0,，故,a,1.,7/54,证实,8/54,证实,当,a,1,时，,f,(,x,),e,2,x,e,x,x,e,x,，,f,(,x,),e,x,(2e,x,x,2).,令,h,(,x,),2e,x,x,2,，则,h,(,x,),2e,x,1,，,当,x,(,，,ln 2),时，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),在,(,ln 2,，,),上为增函数，,h,(,1)0,，,在,(,2,，,1),上存在,x,x,0,满足,h,(,x,0,),0,，,h,(,x,),在,(,，,ln 2),上为减函数，,当,x,(,，,x,0,),时，,h,(,x,)0,，,即,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(,，,x,0,),上为增函数，,9/54,当,x,(,x,0,，,ln 2),时，,h,(,x,)0,，,即,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(,x,0,，,ln 2),上为减函数，,当,x,(,ln 2,0),时，,h,(,x,),h,(0),0,，,即,f,(,x,),h,(0),0,，,即,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上为增函数，,f,(,x,),在,(,ln 2,，,),上只有一个极小值点,0,，,综上可知，,f,(,x,),存在唯一极大值点,x,0,，,且,x,0,(,2,，,1).,10/54,h,(,x,0,),0,，,2,x,0,2,0,，,11/54,用导数证实不等式方法,(1),利用单调性：若,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，则,x,a,，,b,，则,f,(,a,),f,(,x,),f,(,b,),；,对,x,1,，,x,2,a,，,b,，且,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,对于减函数有类似结论,.,(2)利用最值：若,f,(,x,),在某个范围,D,内有最大值,M,(,或最小值,m,),，则对,x,D,，有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),m,).,(3),证实,f,(,x,),g,(,x,),，可结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，证实,F,(,x,)0.,思维升华,12/54,解答,跟踪演练,1,(,荆州质检,),已知函数,f,(,x,),ax,ln,x,.,(1),讨论,f,(,x,),单调性；,13/54,当,a,0,时，则,f,(,x,)0,时，,综上当,a,0,时，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递减；,14/54,证实,15/54,证实,令,g,(,x,),f,(,x,),2,ax,x,e,ax,1,x,e,ax,1,ax,ln,x,，,设,r,(,x,),x,e,ax,1,1(,x,0),，,则,r,(,x,),(1,ax,)e,ax,1,(,x,0),，,e,ax,1,0,，,16/54,17/54,h,(,t,),h,(e,2,),0,；,g,(,x,),0,，故,f,(,x,),2,ax,x,e,ax,1,.,18/54,热点二利用导数讨论方程根个数,方程根、函数零点、函数图象与,x,轴交点横坐标是三个等价概念，处理这类问题能够经过函数单调性、极值与最值，画出函数图象走势，经过数形结合思想直观求解,.,19/54解答,例,2,(,衡水金卷分科综合卷,),设函数,f,(,x,),e,x,2,a,ln(,x,a,),，,a,R,，,e,为自然对数底数,.,(1),若,a,0,，且函数,f,(,x,),在区间,0,，,),内单调递增，求实数,a,取值范围；,20/54,解,函数,f,(,x,),在,0,，,),内单调递增，,即,a,e,x,x,在,0,，,),内恒成立,.,记,g,(,x,),e,x,x,，,则,g,(,x,),e,x,10,恒成立，,g,(,x,),在区间,0,，,),内单调递减，,g,(,x,),g,(0),1,，,a,1,，,即实数,a,取值范围为,1,，,).,21/54,解答,22/54,知,f,(,x,),在区间,(,a,，,),内单调递增,.,f,(,x,),在区间,(,a,，,),内存在唯一零点,x,0,，,23/54,当,a,x,x,0,时，,f,(,x,),x,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增,.,f,(,x,),min,f,(,x,0,),2,a,ln(,x,0,a,),当且仅当,x,0,a,1,时，取等号,.,f,(,x,),min,f,(,x,0,)0,，即函数,f,(,x,),没有零点,.,24/54,(1),函数,y,f,(,x,),k,零点问题，可转化为函数,y,f,(,x,),和直线,y,k,交点问题,.,(2),研究函数,y,f,(,x,),值域，不但要看最值，而且要观察随,x,值改变,y,值改变趋势,.,思维升华,25/54,跟踪演练,2,(,全国,),已知函数,f,(,x,),e,x,ax,2,.,(1),若,a,1,，证实：当,x,0,时，,f,(,x,),1,；,证实,证实,当,a,1,时，,f,(,x,),1,等价于,(,x,2,1)e,x,1,0.,设函数,g,(,x,),(,x,2,1)e,x,1,，,则,g,(,x,),(,x,2,2,x,1)e,x,(,x,1),2,e,x,.,当,x,1,时，,g,(,x,)0,，,h,(,x,),没有零点；,(,),当,a,0,时，,h,(,x,),ax,(,x,2)e,x,.,当,x,(0,2),时，,h,(,x,)0.,所以,h,(,x,),在,(0,2),上单调递减，在,(2,，,),上单调递增,.,28/54,因为,h,(0),1,，所以,h,(,x,),在,(0,2),上有一个零点；,由,(1),知，当,x,0,时，,e,x,x,2,，,故,h,(,x,),在,(2,4,a,),上有一个零点,.,所以,h,(,x,),在,(0,，,),上有两个零点,.,29/54,生活中实际问题受一些主要变量制约，处理生活中优化问题就是把制约问题主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量函数，然后经过研究这个函数性质，从而找到变量在什么情况下能够到达目标最优,.,热点三利用导数处理生活中优化问题,30/54,解答,例,3,罗源滨海新城建一座桥，两端桥墩已建好，这两墩相距,m,米，余下工程只需建两端桥墩之间桥面和桥墩，经预测，一个桥墩工程费用为,32,万元，距离为,x,米相邻两墩之间桥面工程费用为,(2,),x,万元,.,假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其它原因，记余下工程费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,函数关系式；,31/54,解,设需新建,n,个桥墩，,32/54,解答,(2),当,m,96,米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程费用,y,最小？,33/54,令,f,(,x,),0,，得,64,，所以x,16.,当,0,x,16,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在区间,(0,16),内为减函数；,当,16,x,0,，,f,(,x,),在区间,(16,96),内为增函数，,所以,f,(,x,),在,x,16,处取得最小值，,答,需新建,5,个桥墩才能使余下工程费用,y,最小,.,34/54,利用导数处理生活中优化问题普通步骤,(1),建模：分析实际问题中各量之间关系，列出实际问题数学模型，写出实际问题中变量之间函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求导：求函数导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),求最值：比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,点函数值大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值,.,(4),作答：回归实际问题作答,.,思维升华,35/54,解答,跟踪演练,3,图,1,是某种称为,“,凹槽,”,机械部件示意图，图,2,是凹槽横截面,(,阴影部分,),示意图，其中四边形,ABCD,是矩形，弧,CmD,是半圆，凹槽横截面周长为,4.,若凹槽强度,T,等于横截面面积,S,与边,AB,乘积，设,AB,2,x,，,BC,y,.,(1),写出,y,关于,x,函数表示式，,并指出,x,取值范围；,36/54,解,易知半圆,CmD,半径为,x,，,故半圆,CmD,弧长为,x,.,所以,4,2,x,2,y,x,，,37/54,解答,2),求当,x,取何值时，凹槽强度最大,.,38/54,8,x,2,(4,3),x,3,.,令,T,16,x,3(4,3),x,2,0,，,39/54,真题押题精练,40/54,(,全国,),已知函数,f,(,x,),a,e,2,x,(,a,2)e,x,x,.,(1),讨论,f,(,x,),单调性；,真题体验,解答,41/54,解,f,(,x,),定义域为,(,，,),，,f,(,x,),2,a,e,2,x,(,a,2)e,x,1,(,a,e,x,1)(2e,x,1).,(i),若,a,0,，则,f,(,x,)0,，则由,f,(,x,),0,，得,x,ln,a,.,当,x,(,，,ln,a,),时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上单调递减，在,(,ln,a,，,),上单调递增,.,42/54,(2),若,f,(,x,),有两个零点，求,a,取值范围,.,解答,43/54,解,(i),若,a,0,，由,(1),知，,f,(,x,),至多有一个零点,.,(ii),若,a,0,，由,(1),知，当,x,ln,a,时，,即,f,(,ln,a,)0,，故,f,(,x,),没有零点；,当,a,1,时，因为,f,(,ln,a,),0,，故,f,(,x,),只有一个零点；,又,f,(,2),a,e,4,(,a,2)e,2,2,2e,2,20,，,故,f,(x,),在,(,，,ln,a,),上有一个零点,.,44/54,所以,f,(,x,),在,(,ln,a,，,),上有一个零点,.,综上，,a,取值范围为,(0,1).,则,f,(,n,0,),(,a,a,2),n,0,n,0,n,0,0.,45/54,押题预测,已知,f,(,x,),a,sin,x,，,g,(,x,),ln,x,，其中,a,R,，,y,g,1,(,x,),是,y,g,(,x,),反函数,.,(1),若,0,a,1,，证实：函数,G,(,x,),f,(1,x,),g,(,x,),在区间,(0,1),上是增函数；,押题依据,相关导数综合应用试题多考查导数几何意义、导数与函数单调性导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法,.,本题命制正是依据这个要求进行，全方面考查了考生综合求解问题能力,.,证实,押题依据,46/54,证实,由题意知,G,(,x,),a,sin(1,x,),ln,x,，,a,cos(1,x,)0,，,故函数,G,(,x,),在区间,(0,1),上是增函数,.,47/54,证实,48/54,证实,由,(1),知，当,a,1,时，,G,(,x,),sin(1,x,),ln,x,在,(0,1),上单调递增,.,sin(1,x,),ln,x,0,，,m,0,恒成立，求满足条件最小整数,b,值,.,50/54,解,由对任意,x,0,，,m,0,恒成立，,即当,x,(0,，,),时，,F,(,x,),min,0.,又设,h,(,x,),F,(,x,),e,x,2,mx,2,，,h,(,x,),e,x,2,m,，,m,0,，,h,(,x,),单调递增，又,h,(0)0,，,则必定存在,x,0,(0,1),，使得,h,(,x,0,),0,，,F,(,x,),在,(0,，,x,0,),上单调递减，在,(,x,0,，,),上单调递增，,51/54,b,2,x,0,2,又,m,0,，则,x,0,(0,，,ln 2),，,52/54,m,(,x,),在,(0,，,ln 2),上单调递增，,53/54,m,(,x,),在,(0,，,ln 2),上单调递增，,m,(,x,),m,(ln 2),2ln 2,，,b,2ln 2,，又,b,为整数，,最小整数,b,值为,2.,54/54,