广西师大版数学分析第一册.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 数列极限,符号,含意：,表示连加.,如:,第1页,实例,求由曲线,围成面积.,(一个看上去古老而又拙笨方法),过程:,1.将区间0,1分为n等分:,对应把所求面积分为n个小细长条.,2.区间,中点坐标为,每一小细条面积近似用以下小矩形面积代之,第2页,2.区间,中点坐标为,每一小细条面积近似用以下小矩形面积代之,所求面积近似为:,3.分得越细(即n越大),上述近似值就越靠近于其准确值.,经过观察,令n趋于“无穷大”，可得所求面积为：,问题：,若计算小细条面积时，以左端点计算，怎样？若取右端点呢？,第3页,将区间0,1分为n等分:,若每一小细条面积用左端点为高矩形近似，则小细条面积为,所求面积近似为:,分得越细(即n越大),上述近似值就越靠近于其准确值.,经过观察,令n趋于“无穷大”，可得所求面积为：,第4页,将区间0,1分为n等分:,若每一小细条面积用右端点为高矩形近似，则小细条面积为,所求面积近似为:,分得越细(即n越大),上述近似值就越靠近于其准确值.,经过观察,令n趋于“无穷大”，可得所求面积为：,第5页,当取中点计算小细条面积时，所求面积S近似为:,当取左端点计算小细条面积时，所求面积S近似为:,当取右端点计算小细条面积时，所求面积S近似为:,令n趋于“无穷大”，它们都趋于同一个数：,第6页,1 数列极限,1.数列函数定义,排列着一列数称为数列:,常记为:,若函数f定义域为,则称,为数列.,2.数列极限定义,当n无限增大时,考查以下数列趋向:,当n无限增大时,无限地靠近常数,则称此数列以a为极限.,(这只能算是描述性定义,因为不能以此来进行数学推导),怎样用“准确”数学语言刻划：,当n无限增大时,无限地靠近常数,第7页,当n无限增大时,无限地靠近常数,当n无限增大时,能够任意小，要多小就有多小.,当n无限增大时,能够小于任意小正数.,对于事先给定任意小正数,当n大到一定程度时,就能够小于该正数.,定义1,设,为数列,为定数.,若对任给正数,总存在正整数,使得当,时有,则称数列,收敛于,定数,称为数列,极限,记作,读作:,当n趋于无穷大时,以,为极限,或称,趋于,第8页,考查数列,当,时，,当,充分大时，,与,充分靠近，要多近就有多近。,考查数列,能否与,充分靠近？能否与,充分靠近？,当,充分大时，是否全部,与,充分靠近？,（不存在！）,第9页,考查数列,当,时，,当,充分大时，,与,充分靠近，要多近就有多近。,对任给正数,总存在正整数,使得当,时有,比如，若要,只要,即可。,第10页,对任给正数,总存在正整数,使得当,时有,比如，若要,只要,即可。,比如，若要,只要,只要,即可.,第11页,对任给正数,总存在正整数,使得当,时有,若要,只要,证实,完整过程证：,取,(确保N为正整数),当,时有,进而有,故,第12页,定义1,设,为数列,为定数.,若对任给正数,总存在正整数,使得当,时有,则称数列,收敛于,定数,称为数列,极限,记作,注:,1),定义1称为数列极限,定义.,2),定义1简练形式:,3),依据数列极限,定义,就能把证实,问题,变成真正数学问题,(而不是停留在直观文字描述上).,第13页,4),按定义验证（证实）,就是一个找正整数,过程,是一个数学推导过程,其中包含“放大、,预计、变形、解不等式”等惯用数学方法.,5),找N分析过程从不等式,开始,证实书写过程按定义格式.,3.例,例1,设,(常数数列).,证实:,证:,任取正整数当,时,恒有,即,第14页,例2,证实:,分析:,要,证:,取,当,时有,所以,第15页,例3,证实:,分析(方法一):,1)因为极限问题考虑是当n趋于无穷大时数列极限,所以在详细分析证实时,依据需要,能够认为n是一个很“大”正整数，即可限制n大是大于某个详细正整数.（惯用在去绝对值符号、预计不等式时候）,(为去掉绝对值符号对n所作限制),在,前提下,若要,由此能够找到,考虑到,限制,故应取,2)若在推导过程中对n作了限制,最终取N时候,要把限制考虑进去.,第16页,例3,证实:,证:,取,当,时有,进而,故,3)上述求出N是从不等式,“生硬”解出来,这么得到,N看上去十分“准确”，但在极限证实中，我们不要求“准确”，而要求“,简练可用”即可。,第17页,例3,证实:,分析(方法二):,(对n所作限制？),注意到,在,前提下，,只要,即,证:,取,当,时有,故,第18页,例3,证实:,证:,取,当,时有,故,4),取,确保了当,时同时有,与,进而可导出,实际上，也可取,（理由）？,第19页,例4,证实:,分析:,当,时,对任何,不论n为何数,都有,当,时,要想,4)因为,表示,靠近程度,所以依据需要能够把,限制小于某个正数,证:,对任给,当,时,取,当nN时有,当,时,当nN时也有,所以,第20页,例5,证实:,分析:,(方法一),证:,取,当,时,有,第21页,例5,证实:,证方法二),令,则,所以有,取,当nN时有,所以,(两种方法,你喜欢哪一个?),第22页,4.关于极限定义说明,定义1,设,为数列,为定数.,若对任给正数,使得当,时有,(1),任意性:,表示,靠近程度.,越小,表示靠近程度越好.,能够任意小,说明,任意靠近到任何程度.,又含有相正确固定性,一但给出,就暂时确定下来,以此来求出N.,是任意小正数,进而,都能够认为是任意小正数.,在详细应用时,常可依据需要将其限制小于某个确定正数.,定义中不等式,可改写成,总存在正整数,第23页,4.关于极限定义说明,定义1,设,为数列,为定数.,若对任给正数,使得当,时有,(2),相对性:,随,变小而变大.对于同一个,N并不是唯一.,对N只要求“找到”,并不要求准确,可依据详细情况设其大于某个定数.,可将定义中,改为,(3),几何意义,从几何上看,当,时有,表示:,当,时,全部下标大于N项都落在邻域,内.,即在,之外只有数列有限项.,总存在正整数,第24页,(3),几何意义,从几何上看,当,时有,表示:,当,时,全部下标大于N项都落在邻域,内.,即在,之外只有数列有限项.,例6,观察以下极限过程：,（取a=9情形）,例7,考查数列趋势：,5.,数列极限邻域定义,定义1-1,若对任给正数,在邻域,外至多有数列,有限项,则称数列,收敛于,第25页,5.,数列极限邻域定义,定义1-1,若对任给正数,在邻域,外至多有数列,有限项,则称数列,收敛于,5-1,数列,不收敛于,定义,定义1-2,若存在某个,使得在邻域,外有数列,无穷项,则,不以,为极限.,例8,证实:,是发散数列.,证:,要证实对任何实数,能找到一个,使在,有,无数项.,对任何实数,取,则,中满足,项都在,之外,且有没有穷项,故,不是数列,极限,由a任意性,数列,无极限,即是发散数列.,第26页,定义1-1,若对任给正数,在邻域,外至多有数列,有限项,则称数列,收敛于,例9,设,作数列,证实:,证:,因,故对任给正数,数列,落在邻域,之外项至多只有有限项,所以数列,中落在,之外项至多只有有限项,所以,命题1,设,为已知数列,为对,增加、降低或改变有限项之后,得到数列,则,与,有相同敛散性.,6.无穷小数列,定义2,若,则称,为无穷小数列.,定理2.1,数列,收敛于,充要条件是:,为无穷小数列.,第27页,