第三讲三次样条函数.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,计算方法,第3讲 样条函数,第1页,本讲主要问题,一、,样条函数,二、,三次样条插值,三、,三次样条函数结构,第2页,分段插值存在着一个缺点,就是会造成插,值函数在子区间端点(衔接处)不光滑,即导,数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数,连续,而且要求二阶导数连续.为了满足这些要求,人们,引入了样条插值概念.,所谓“,样条,”(,spline,),是工程绘图中一个工具,它是有弹,性细长木条.绘图时,用细木条连接相近几个结点,然后,再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结,点处含有连续曲率.,样条函数就是对这么曲线进行数学模拟得到.它除,了要求给出各个结点处函数值外,只需提供两个边界点处,导数信息,便可满足对光滑性不一样要求.,第3页,定义,设,f,(,x,),是区间,a,b,上一个连,续可微函数,在区间,a,b,上给定一组节点:,a,=,x,0,x,1,x,2,x,n,=,b,设函数,S,(,x,),满足条件:,一、,样条函数,(1),S,(,x,),在每个子区间,x,i,x,i,+1,(,i,=0,1,2,n,1),上是次数不超出,m,多项式;,(2),S,(,x,),在区间,a,b,上有,m,1,阶连续导数.,则称,S,(,x,),是定义在,a,b,上,m,次样条函数,x,0,x,1,x,2,x,n,称为,样条节点,其中,x,1,x,n,1,称为,内结点,x,0,x,n,称为,边界节点,。,当,m,=3,时,便成为最惯用,三次样条函数,.,第4页,样条插值,思想,:逐段选取适当,低次多项式,按一定光滑性要求连接起来,组成插值函数.,二、,三次样条插值,定义,设给定区间,a,b,上,n,+1,个点,a,=,x,0,x,1,x,2,x,n,=,b,以及对应函数值,y,i,=f,(,x,i,),i=,0,1,n,.,假如函数,S,(,x,),满足:,(1)在每个子区间,x,k,x,k,+1,(,k,=0,1,n,1),上,S,(,x,),是不超出三次多项式,且,S,(,x,i,),=y,i,i=,0,1,n,;,(2),S,(,x,)、,S,(,x,)、,S,(,x,),在,a,b,上连续.,则称,S,(,x,),是,f,(,x,),在节点,x,0,x,1,x,2,x,n,上,三次样条插,值函数,.,第5页,第6页,第7页,例1 给定区间0,3上 3 个点函数,值,f,(0)=0,f,(1)=2,f,(3)=4,试求数,a,b,c,d,使函数,S,(,x,),为给定点上三次样条插值,函数.其中,答案:,第8页给定,n,+1,个样点(,x,i,y,i,)(,i=,0,1,n,),确定一个三次样条插值函数需要4,n,个独,立条件.在定义中,已指定了4,n,2,个条件,即,所以,普通需补充指定2个,边界条件,.,第9页,三、,三次样条函数结构,三弯矩插值法,记,M,i,=,S,(,x,i,),f,(,x,i,)=,f,i,=,y,i,考虑它在任,一,区间,x,i,x,i,+1,上形式.依据三次样条定义可知,S,(,x,),二阶导数,S,(,x,),在每一个子区间,x,i,x,i,+1,(,i,=0,1,2,n,1),上都是线性函数,.,于是在,x,i,x,i,+1,上,S,(,x,)=,S,i,(,x),二阶导数表示成,其中,h,i,=,x,i,+1,x,i,.,第10页,对,S,(,x,),连续积分两次,并利用插值,条件,S,(,x,i,)=,y,i,得到,只要能求出全部,M,i,就能求出三次样条插值函数,S,(,x,).,第11页,下面考虑,M,i,求法.,由连续性,S,(,x,i,)=,S,(,x,i,+,),(,i,=1,2,n,1),得,i,M,i,1,+2,M,i,+,i,M,i,+1,=,d,i,其中,该方程组有,n,1,个方程,但有,n,+1,个变量,M,i,.,第12页,下面介绍几个惯用边界条件,第1型边界条件,:,已知,f,(,x,),在两端点导数,f,(,a,),和f,(,b,),要求,S,(,a,)=,f,(,a,),S,(,b,)=,f,(,b,),第2型边界条件,:,已知,f,(,x,),在两端点二阶导数,f,(,a,),和,f,(,b,),要求,S,(,a,)=,M,0,=,f,(,a,),S,(,b,)=,M,n,=,f,(,b,),尤其当,S,(,a,)=,S,(,b,)=0,时,S,(,x,),称为,自然三次样条,.,第3型边界条件,：,已知,f,(,x,),是以,b,a,为周期周期函数,要求,S,(,x,),满 足周期条件,S,(,a,)=,S,(,b,),S,(,a,+,)=,S,(,b,),S,(,a,+,)=,S,(,b,),第13页,三次样条插值问题加上第,i,型边界,条件称为第,i,型插值问题(,i,1,2,3).,可,以证实第,i,型插值问题解是存在且唯一.,他们对应以下方程组:,第14页,对于第1型插值问题:,对于第2型插值问题:,对于第3型插值问题:,第15页,以上各组条件与前述方程组联立,能够解出未知参数,M,0,M,1,M,n,然,后代入,S,(,x,),表示式,即可求得样条函数.,上面结构方法中,M,i,对应于力学中细梁在,x,i,处,截面弯矩,每一个方程中又至多出现相邻三个,M,i,通常称为,三弯矩法,.,第16页,求三次样条插值函数步骤归纳为:,(1),确定边界条件,判定是第几型插,值问题.,(2)依据所确定条件计算各值,形成方程组.,(3),解方程组,求得,M,0,M,1,M,2,M,n,.,(4),将求得,M,i,值代回,S,(,x,),表示式中,从而可求得函数,y,=,f,(,x,),在任一点近似值,S,(,x,),.,第17页,例2 给定函数表,求自然三次样条,插值函数,并求,f,(3),.,1 3 4 2,y,1 2 4 5,x,答案:,第18页,练习,已知函数,f,(,x,),数值表以下：,试求,f,(,x,),在2,6上三次样条插值函数,.,f,(,x,),f,(,x,),x,1,1,13,7,3,6,4,2,答案:,M,0,=0.25,M,1,=2.5,M,2,=-7.25.,S,(,x,)=,(,1/48)(,x,4),3,+(5/24)(,x,2),3,(17/12)(,x,4)+(8/3)(,x,2),x,2,4,(,5/24)(,x,6),3,(29/48)(,x,4),3,(8/3)(,x,6)+(107/12)(,x,4),x,4,6,第19页,