清实2.21等差数列第一课时.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,清实高二数学组 张传彬,1/27,在过去三百多年里，人们分别在以下时间里观察到了哈雷慧星：,（,1,）,1682,，,1758,，,1834,，,1910,，,1986,，（）,你能预测出下一次大致时间吗？,2062,主持人问,:,最近时间什么时候能够看到哈雷慧星？,天文学家说,:,2062,年左右。,相差,76,新课引入,2/27,通常情况下，从地面到,10,公里高空，气温随高度改变而改变符合一定规律，请你依据下表预计一下珠穆朗玛峰峰顶温度。,8844.43,米,高度,(km),温度,(),1,2,3,28,21.5,15,4,5,8.5,2,9,-24,(2)28,21.5,15,8.5,2,-24.,降低,6.5,3/27,观察与思索：下面几个数列：,（,1,）,1,，,3,，,5,，,7,，,9,，,11,，,（,2,）,3,，,6,，,9,，,12,，,15,，,18,，,（,3,）,1,，,1,，,1,，,1,，,1,，,1,，,1,，,（,4,）,3,，,0,，,3,，,6,，,9,，,12,，,问题：这些数列有何特点？,特点：从第,2,项起，每一项与,前,一项差都等于,同一个常数,对于数列（,1,）,，从第,2,项开始，,每一项,与,前一项,差都等于,2,;,对于数列（,2,）,，从第,2,项开始，,每一项,与,前一项,差都等于,3,;,对于数列（,3,）,，从第,2,项开始，,每一项,与,前一项,差都等于,0,;,对于数列（,4,）,，从第,2,项开始，,每一项,与,前一项,差都等于,-3,.,4/27,一、等差数列定义,普通地，假如一个数列,从第二项起,，每一项与它前一项差等于,同一个常数,，那么这个数列就叫做,等差数列,，这个常数叫做等差数列,公差,，公差通惯用字母,d,表示,.,假如等差数列 首项是 ，公差是 ，那么依据等差数列定义能够得到以下结论：,数列 为等差数列,判断标准,5/27,对等差数列定义了解,1,假如一个数列，,不是从第,2,项起，,而是,从第,3,项起或第,4,项起，每一项与它前一,项差是同一个常数，那么这个数列不,是等差数列,2,一个数列从第,2,项起，每一项与它前一,项差尽管等于常数，这个数列也不一,定是等差数列，因为这些,常数不一定相,同,当这些常数不一样时，此数列不是等,差数列,6/27,对等差数列定义了解,3,求公差时，要注意相邻两项相减次序,d=a,n+1,-a,n,或,d=a,n,-a,n-1,(n2),后,-,前,4.,要判断一个数列是不是等差数列，只要,看对于任意正整数,n,，,a,n,-a,n-1,，是不是通,一个常数，切记不可经过计算,a,2,-a,1,a,3,-a,2,等有限几个式子值后，发觉它一个,常数，就得出该数列为等差数列结论,7/27,5.,常数列,一定是,等差数列,6.,等差数列公差,d,讨论,3,种,d0,递,数列,d0,递,数列,d=0,数列,8/27,例,1,、,判断下面数列是否为等差数列,.,ex1、,观察以下数列是否是等差数列,9/27,ex2、,判断正误,数列,a,，,2a,，,3a,，,4a,，,是等差数列（,）,若,a,n,a,n+1,=3(n,N,*,),，则,a,n,是公差为,3,等差数列。（）,若,a,2,a,1,=a,3,a,2,则数列,a,n,是等差数,列,（）,10/27,问题：已知等差数列,a,n,首项为,a,1,，公差为,d,，求,a,n,解法一：,由等差数列定义可知：,a,2,a,1,=d,a,3,a,2,=d,a,4,a,3,=d,则,a,2,=a,1,d,a,3,=a,2,d=,（,a,1,d,）,d=a,1,2d,a,4,=a,3,d=,（,a,1,2d,）,d=a,1,3d,由此可知：,a,n,=a,1,（,n,1,）,d,当,n=1,时,a,1,=a,1,（,1,1,）,d=a,1,等式成立,这表明当,n N*,时，,a,n,=a,1,（,n,1,）,d,成立。,不完全归纳法,11/27,解法二：,等差数列,a,n,首项是,a,1,公差是,d,，如：,那麽，则由定义得：,a,2,-a,1,=d (1),a,3,-a,2,=d (2),a,4,-a,3,=d (3),a,5,-a,4,=d (4),、,a,n,-a,n-1,=d,分析：,假如把左边由（,1,）式到最终一个式子，共,_,个式子相加，则有：,n-1,等号左边为：,a,n,-a,1,等号右边为：,(n-1)d,所以：,a,n,-a,1,=(n-1)d ,即,a,n,=a,1,+(n-1)d,当,n=1,时，上式两边都等于,a,1,。,nN*,，公式成立。,等差数列通项公式是,:,a,n,=a,1,+(n-1)d,累加法,12/27,简单应用,等差数列中,a,1,=1d=2,a,n,=,关键求出,a,1,和,d,1+,（,n-1,）,2=2n-1,13/27,简单应用,通项公式中有几个量？,a,1,d,a,n,，,n,含义？,已知其中,三,个量就能够求出第,四,个,14/27,例1,(1)求等差数列8，5，2，第20项。,解：,(2),401是否是,等差数列-5，-9，-13，项？假如是，是第几项？,解：,所以，,解得,20,3,8,5,8,1,=,-,=,-,=,=,n,d,a,Q,15/27,解：由题意得：,例2,求通项公式关键步骤：,求基本量,a,1,和,d：依据已知条件列方程，由此解出,a,1,和,d，再代入通项公式。,16/27,（一）求通项,a,n,若已知一个等差数列首项,a,1,和公差,d,，即可求出,a,n,比如：,a,1,=1,d=2,则,a,n,=1+(n,1)2=2n,1,已知等差数列,8,，,5,，,2,，,求,a,n,及,a,20,(,第,20,项,),。,解：,a,1,=8,d=5,8=,3,a,20,=,49,a,n,=8+(n,1)(,3)=,3n+11,练习：已知等差数列,3,，,7,，,11,，,则,a,n,=_ a,4,=_,a,10,=_,a,n,=a,1,+(n,1)d(nN,*,),4n-1,15,39,典例精讲,17/27,(,二,),求首项,a,1,比如：,已知,a,20,=,49,d=,3,则由,a,20,=a,1,+(20,1)(,3),得,a,1,=8,练习：,a,4,=15 d=3,则,a,1,=_,6,a,n,=a,1,+(n,1)d(nN,*,),18/27,(,三,),求项数,n,比如：,已知等差数列,8,，,5,，,2,问,49,是第几项,?,解：,a,1,=8,d=,3,则,a,n,=8+(n,1)(,3),49=8+(n,1)(,3),得,n=20,。,a,n,=a,1,+(n,1)d(nN,*,),19/27,问,400,是不是等差数列,5,，,9,，,13,，,项？假如是，是第几项？,解：,a,1,=,5,d=,4 a,n,=,5+(n,1)(,4),则,由题意知，本题是要回答是否存在正整数,n,，使得,400=,5+(n,1)(,4),成立,所以,400,不是这个数列项,解之得,n=,4,399,-401,是,该,数列 项,吗,？假如是，是第几项？,20/27,练习：,在三位正整数集合中有多少个是,7,倍数？,解：这些数组成首项,a,1,=105,公差,d=7,等差数列。,a,n,=105+(n,1),7,又,a,n,999,即,105+(n,1),7999,解得,n128nN,*,n,最大为,128,，故共有,128,个。,7,5,21/27,(,四,),求公差,d,比如 一张梯子最高一级宽,33cm,，最低一级宽,110cm,中 间还有,10,级，各级宽度成等差数列。求公差,d,及中间各级宽度。,分析：用,a,n,表示梯子自上而下各级宽度所成等差数列。,由题意知,a,1,=33,a,12,=110,n=12,由,a,n,=a,1,+(n-1)d,得,110=33+(12-1)d,解得,d=7,从而可求出,a,2,=33+7=40 a,3,=40+7=47 a,4,=54,。,总结：在,a,n,=a,1,+(n,1)d nN,*,中，有,a,n,a,1,n,d,四个量,已知其中任意,3,个量即可求出第四个量。,那么假如已知一个等差数列任意两项，能否求出,a,n,呢？,a,n,=a,1,+(n,1)d(nN,*,),22/27,即这个等差数列首项是,2,，公差是,3.,例3、,在等差数列 中，已知 求首项,与公差,d.,解：由题意可知,解得：,注：,等差数列通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,中，,a,n,a,1,n,，,d,这四个变量，知道其中三个量就能够求余,下一个量，,知三求一,.,23/27,解：由题意可得,a,1,+5d=12 (1),a,1,+17d=36 (2),a,n,=2+(n-1)2=2n,a,1,=2 d=2,此题解法是利用数学函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个主要思想方法之一，也是高考必考思想方法，应熟悉并掌握。,变式、在等差数列,a,n,中，已知,a,6,=12,，,a,18,=36,求通项,a,n,。,分析：此题已知,a,6,=12,，,n=6,；,a,18,=36,n=18,分别代入通项，公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,中,，可得两个方程，都含,a,1,与,d,两个未知 数组成方程组，可解出,a,1,与,d,。,*,评注：,24/27,小结：证实一个数列是等差数列方法是：,25/27,四、能力培养：,两个等差数列,5,，,8,，,11,，,，和,3,，,7,，,11,，,都有,100,项，,求：这两个数列相同项个数,解法一：已知两个等差数列,a,n,:5,，,8,，,11,，,公差为,3,b,n,:3,，,7,，,11,，,公差为,4,通项公式分别是,a,n,=5+(n,1)3=3n+2,b,n,=3+(n,1)4=4n,1,假设,a,n,第,n,项与,b,n,第,k,项相同，即,a,n,=b,k,则,3n+2=4k,1 3n=4k,3,nN,*,k,必是,3,倍数,k=3,6,9,12,，组成新等差数列,c,n,而对应,n=3,7,11,15,，组成新等差数列,d,n,即,a,3,=b,3,a,7,=b,6,a,11,=b,9,a,15,=b,12,，,又因为这两个数列最多只有,100,项，所以,c,n,=3+(n,1)3100 n100/3=33,n25,d,n,=3+(n,1)4100 n101/4=25,又,nN,*,这两个数列共有,25,项相同。,3,1,4,1,4,1,26/27,解法二：已知两个等差数列,a,n,：,5,，,8,，,11,，,和,b,n,：,3,7,11,则 通项公式分别是,a,n,=5+(n,1)3,b,n,=3+(n,1)4,观察：,5,，,8,，,11,，,14,，,17,，,20,，,23,，,26,，,29,，,32,，,35,，,38,，,41,，,3,，,7,，,11,，,15,，,19,，,23,，,27,，,31,，,35,，,39,，,43,，,47,，,51,，,所以，这两个数列相同项组成一个首项,c,1,=11,公差,d=12,等差数列,c,n,又,a,100,=5+(100,1)3=302 b,100,=3+(100,1)4=399,因为，相同项小于,a,100,和,b,100,中较小者，,所以，,c,n,=11+(n,1)12302,得,n25,又,nN,*,故这两个数列中相同项共有,25,个。,4,1,27/27,