高三数学复习第八章立体几何第一节空间几何体及其三视图直观图表面积与体积理.pptx

教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积,1/39,1.空间几何体结构特征,教材研读,多,面,体,(1)棱柱:侧棱都平行且相等,上、下底面平行且是全等多边形.,(2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点三角形.,(3)棱台:能够由平行于棱锥底面平面截棱锥得到,其上、下底面是相同多边形,旋,转,体,(1)圆柱:能够由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.,(2)圆锥:能够由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.,(3)圆台:能够由直角梯形绕其垂直于底边腰所在直线或等腰梯形绕其上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面平面截圆锥得到.,(4)球:能够由半圆或圆绕其直径所在直线旋转得到,2/39,2.空间几何体三视图,(1)三视图形成与名称:,(i)形成:空间几何体三视图是由平行投影得到,在这种投影之下,与,投影面平行平面图形留下影子,与平面图形,形状,和,大小,是完全相同.,(ii)名称:三视图包含,正视图,、,侧视图,、,俯视图,.,(2)三视图画法:,(i)在画三视图时,重合线只画一条,被挡住线要画成,虚线,.,(ii)三视图正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体,正前,方、,正左,方、,正上,方观察到几何体正投影图.,3/39,3.空间几何体直观图,空间几何体直观图惯用,斜二测,画法来画,其规则以下:,(1)原图形中,x,轴、,y,轴、,z,轴两两垂直(原点为,O,),直观图中,对应,x,轴,y,轴满足,x,O,y,=,45,或135,(,O,为原点),z,轴与,x,轴和,y,轴所在平面,垂直,.,(2)原图形中平行于坐标轴线段,直观图中仍,平行于坐标轴,;平,行于,x,轴和,z,轴线段在直观图中保持原长度,不变,;平行于,y,轴,线段在直观图中,长度为原来二分之一,.,4/39,4.柱、锥、台、球表面积和体积,几何体,表面积,体积,柱体(棱柱和圆柱),S,=,S,侧,+2,S,底,V,=,S,底,h,锥体(棱锥和圆锥),S,=,S,侧,+,S,底,V,=,S,底,h,台体(棱台和圆台),S,=,S,侧,+,S,上,+,S,下,V,=,(,S,上,+,S,下,+,),h,球,S,=,4,R,2,V,=,R,3,5/39,1.以下说法正确是,(),A.有两个面平行,其余各面都是四边形几何体叫棱柱,B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形几何体叫棱柱,C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形几何体叫棱锥,D.棱台各侧棱延长线交于一点,答案,D由棱柱和棱锥概念可知,A、B、C均错误.因为棱台是由平,行于棱锥底面平面截棱锥所得到截面与底面之间部分,故棱台各,侧棱延长线交于一点.,6/39,2.如图,以下几何体各自三视图中,有且仅有两个视图相同是,(),A.B.C.D.,答案,C由几何体结构可知,圆锥、正四棱锥两个几何体各自正,视图和侧视图相同,且其不与俯视图相同;正方体三个视图都相同,正,三棱台三个视图都不相同.,7/39,3.(课标全国,6,5分)下列图是由圆柱与圆锥组合而成几何体三,视图,则该几何体表面积为,(),A.20B.24C.28D.32,答案,C由三视图可得圆锥母线长为=4,S,圆锥侧,=,2,4,=8.又,S,圆柱侧,=2,2,4=16,S,圆柱底,=4,该几何体表面积为8+16+4=,28.故选C.,8/39,4.侧面都是直角三角形正三棱锥,底面边长为,a,时,该三棱锥全方面积,是,.,答案,a,2,解析,侧面都是直角三角形,故底面边长为,a,时,侧棱长等于,a,所以,S,全,=,a,2,+3,=,a,2,.,9/39,5.(北京,11,5分)某四棱柱三视图如图所表示,则该四棱柱体积为,.,10/39,答案,解析,由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1长方体,将该几何,体还原到长方体中,如图所表示,该几何体为四棱柱,ABCD,-,A,B,C,D,.,故该四棱柱体积,V,=,Sh,=,(1+2),1,1=,.,11/39,考点一空间几何体结构特征,典例1,以下命题:,以直角三角形一边所在直线为轴旋转一周所得旋转体是圆锥;,以直角梯形一腰所在直线为轴旋转一周所得旋转体是圆台;,圆柱、圆锥、圆台底面都是圆;,一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.,其中正确命题个数为,(),A.0B.1C.2D.3,答案,B,解析,命题错,这条边若是直角三角形斜边,则得不到圆锥;命题,错,这条腰必须是垂直于两底边腰;命题对;命题错,用平行于圆锥,底面平面截圆锥才能够得到一个圆锥和一个圆台.,考点突破,12/39,方法技巧,处理与空间几何体结构特征相关问题技巧,(1)要想真正把握几何体结构特征,必须多角度、全方面地去分析,多,观察实物,提升空间想象能力;,(2)紧紧围绕结构特征是判断关键,熟悉空间几何体结构特征,依据条件,构建几何模型,在条件不变情况下,变换模型中线面关系或增加,线、面等基本元素,然后依据题意判定;,(3)经过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误,只要举,出一个反例即可.,13/39,1-1,假如四棱锥四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧,棱称为它腰,以下四个命题中,假命题是,(,),A.“等腰四棱锥”腰与底面所成角都相等,B.“等腰四棱锥”侧面与底面所成二面角都相等或互补,C.“等腰四棱锥”底面四边形必存在外接圆,D.“等腰四棱锥”各顶点必在同一球面上,14/39,答案,BB不正确,反例见下列图,:,“等腰四棱锥”,S,-,ABCD,中,底面,ABCD,为矩形,AB,=4,BC,=2,O,为,S,在平面,ABCD,上射影,OE,AB,于,E,OF,BC,于,F,.,OE,OF,1,2,又易知,1,与,2,不互补,“等腰四棱锥”,S,-,ABCD,侧面,SAB,与底面所成二面角和侧面,SBC,与底面所成二面角既不相等,也不互补,.,15/39,1-2,给出以下四个命题:,有两个侧面是矩形立体图形是直棱柱;,侧面都是等腰三角形棱锥是正棱锥;,侧面都是矩形直四棱柱是长方体;,底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直棱柱是正棱柱.,其中不正确命题为,.,16/39,答案,解析,对于,平行六面体两个相对侧面也可能是矩形,故错;对于,对等腰三角形腰是否为侧棱未作说明(如图),故错;对于,若底,面不是矩形,则错;由线面垂直判定,可知侧棱垂直于底面,故正,确.,综上,命题不正确.,17/39,考点二空间几何体三视图与直观图,典例2,(1)(天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面对角线截去,一个棱锥,得到几何体正视图与俯视图如图所表示,则该几何体侧,(左)视图为,(),18/39,(2)如图,矩形,O,A,B,C,是水平放置一个平面图形直观图,其中,O,A,=,6 cm,O,C,=2 cm,则原图形是,(),A.正方形B.矩形,C.菱形D.普通平行四边形,答案,(1)B(2)C,解析,(1)由几何体正视图、俯视图以及题意,可画出几何体直观图如图所表示.,该几何体侧视图为选项B.故选B.,19/39,(2)将直观图还原得,OABC,如图,因为,O,D,=,O,C,=2,cm,所以,OD,=2,O,D,=4,cm,因为,C,D,=,O,C,=2 cm,所以,CD,=2 cm,所以,OC,=,=6(cm),所以,OA,=,O,A,=6 cm=,OC,故原图形为菱形,.,20/39,方法技巧,1.处理三视图问题方法,(1)对柱、锥、台、球三视图要熟悉.,(2)明确三视图形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图.,(3)画三视图时要遵照“长对正、高平齐、宽相等”标准.,2,.,原图与直观图中“三变”与“三不变”,(1)“三变”,(2)“三不变”,21/39,2-1,(河南郑州质检)下列图是正三棱锥,V,-,ABC,正视图、侧视图和,俯视图,则其侧视图面积是,(),A.4B.5C.6D.7,22/39,答案,C如图,在长方体中作出正三棱锥,V,-,ABC,直观图,其中,VAD,为正视图,易知,AD,为正三角形,ABC,高,AC,=2,故,AD,=2,=3,过,V,作,VO,AD,交,AD,于,O,易知,O,为正三角形,ABC,中心,所以,AO,=,AD,=2,所,以在Rt,VOA,中,VO,=,=2,正三棱锥,V,-,ABC,高,h,=,VO,=2,.,因为,ABC,为正三角形,所以,BC,=,AC,=2,.,所以侧视图面积,S,=,BC,h,=,(2,),2,=6.故选C.,23/39,考点三空间几何体表面积与体积,典例3,(1)(重庆3月模拟)某几何体三视图如图所表示,则该几何体,表面积为,(),A.,B.6C.3+,D.,24/39,(2)(山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成几何体,其三视图如图,所表示.则该几何体体积为,(),A.,+,B.,+,C.+D.1+,25/39,(3)(浙江,11,6分)某几何体三视图如图所表示(单位:cm),则该几何体,表面积是,cm,2,体积是,cm,3,.,答案,(1)D(2)C(3)72;32,解析,(1)由三视图知,该几何体为一个棱长为1正方体截去一个三棱,锥A,-,BCD,后剩下部分,如图所表示,所以该几何体表面积为,3,1,1+3,26/39,1,1+,sin 60,=,故选D.,(2)由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形边长为1,四棱锥高,为1,球直径为正四棱锥底面正方形外接圆直径,所以球直径2,R,=,则,R,=,所以半球体积为,R,3,=,又正四棱锥体积为,1,2,27/39,1=,所以该几何体体积为,+,.故选C.,(3)由几何体三视图可得该几何体直观图如图所表示.该几何体由两,个完全相同长方体组合而成,其中,AB,=,BC,=2 cm,BD,=4 cm,该几何体,体积,V,=2,2,4,2=32 cm,3,表面积,S,=(2,23+2,4,3),2=36,2=72 cm,2,.,28/39,方法技巧,1.处理组合体问题关键是分清该组合体是由哪些简单几何体组成,以及这些简单几何体组合方式.,2.由三视图求几何体表面积、体积时,关键是由三视图还原几何体,同,时还需掌握求体积惯用方法,如:割补法和等价转化法,.,29/39,3-1,已知一个几何体三视图如图所表示,则该几何体表面积为,(),A.10+96B.9+96,C.8+96D.9+80,答案,C由三视图知该几何体是一个正方体和一个圆柱组合体,其,中圆柱底面直径为2,高为4,正方体棱长为4,该几何体表面积为,10+96-2=8+96,故选C.,30/39,3-2,某几何体三视图如图所表示,则该几何体表面积为,(),A.54B.60C.66D.72,31/39,答案,B该几何体直观图如图所表示,易知该几何体表面是由两个,直角三角形,两个直角梯形和一个矩形组成,则其表面积,S,=,3,4+,3,5+,5+,4+3,5=60.选B,.,32/39,3-3,(四川,13,5分)已知三棱锥四个面都是腰长为2等腰三角,形,该三棱锥正视图如图所表示,则该三棱锥体积是,.,答案,解析,由题意及正视图可知三棱锥底面(等腰三角形)底边长为,2,三棱锥高为1,则三棱锥底面积为,2,=,该,三棱锥体积为,1=,.,33/39,考点四球与几何体切、接问题,典例4,(1)(课标,9,5分)已知,A,B,是球,O,球面上两点,AOB,=90,C,为该球面上动点.若三棱锥,O,-,ABC,体积最大值为36,则球,O,表,面积为,(),A.36B.64C.144D.256,(2)(课标全国,10,5分)在封闭直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,内有一个体,积为,V,球.若,AB,BC,AB,=6,BC,=8,AA,1,=3,则,V,最大值是,(),A.4B.,C.6D.,34/39,答案,(1)C(2)B,解析,(1),S,OAB,是定值,且,V,O,-,ABC,=,V,C,-,OAB,当,OC,平面,OAB,时,V,C,-,OAB,最,大,即,V,O,-,ABC,最大.设球,O,半径为,R,则(,V,O,-,ABC,),max,=,R,2,R,=,R,3,=36,R,=6,球,O,表面积,S,=4,R,2,=4,6,2,=144.,(2)易知,AC,=10.设底面,ABC,内切圆半径为,r,则,6,8=,(6+8+10),r,所以,r,=2,因为2,r,=43,所以最大球直径2,R,=3,即,R,=,.此时球体积,V,=,R,3,=,.故选B,.,35/39,方法技巧,空间几何体与球接、切问题求解方法,(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时,普通过球心及接、切点作截,面,把空间问题转化为平面图形问题,再利用平面几何知识寻找几何中,元素间关系求解.,(2)若球面上四点,P,A,B,C,所连三条线段,PA,PB,PC,两两相互垂直,且,PA,=,a,PB,=,b,PC,=,c,普通把相关图形“补形”成一个球内接长方体,利用4,R,2,=,a,2,+,b,2,+,c,2,(,R,为球半径)求解.,36/39,4-1,(,广东广州综合测试,),一个六棱柱底面是正六边形,侧棱垂直,于底面,全部棱长都为,1,顶点都在同一个球面上,则该球体积为,(,),A.20B.,C.5D.,答案,D解法一:以正六棱柱一个最大对角面作截面,如图,设球心,为,O,正六棱柱上下底面中心分别为,O,1,O,2,则,O,是,O,1,O,2,中点,O,1,O,2,=1,AB,=2,则球直径,d,=,=,所以球体积为,V,=,=,.,37/39,解法二:底面正六边形外接圆半径,r,=1,球心,O,到底面距离为,故球半径,R,=,=,故球体积,V,=,.,38/39,4-2,若圆锥内切球与外接球球心重合,且内切球半径为1,则圆,锥体积为,.,答案,3,解析,过圆锥旋转轴作轴截面,得,ABC,及其内切圆,O,1,和外切圆,O,2,如图,则两圆同圆心,即,ABC,内心与外心重合,易得,ABC,为正三,角形,由题意知,O,1,半径为,r,=1,ABC,边长为2,高为3,于是圆,锥底面半径为,高为3.故所求体积为,V,=,3,3=3.,39/39,