指数函数.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,指数函数,第1页,一、问题引入,问题三、认真观察并回答以下问题：,(1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折,x 次所得层数为，则y与x 函数关系是,：,(2)、一根1米长绳子从中间剪一次剩下 米，再从中间剪一次剩下 米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x函数关系是,：,第2页,问题1,折纸问题,问题2,剪绳子问题,思索：,观察上面两个函数，有没有共同特征，能否把它们归为一类？,1.幂形式 2.幂底数是一个正常数,3.幂指数是一个变量。,第3页,指数函数概念形如,y=a,x,函数叫做指数函数,指数,自变量,底数,(a0且a1),常数,第4页,当,a,0时，,a,x,有些会没有意义，如(-2),0 等都没有意义；,0,1,a,而当,a,=1时，函数值,y,恒等于1，没有研究必要,.,思索:,为何要求,a,0，且,a,1?,二、新 课,关于指数函数定义域：,回顾上一节内容，我们发觉指数 中p能够是有理数也能够是无理数，所以,指数函数定义域是R,。,第5页,第6页,第7页,问题2：,怎样画出指数函数 图像呢？,问题1：,你能类比前面讨论函数性质时思绪，提出研究指数函数性质方法吗？,研究方法,：,画出函数图象，结合图象研究函数性质；,研究内容,：,定义域、值域、单调性、最 大(小)值、奇偶性,描点法：列表-描点-连线,第8页,x,-2,-1,0,1,2,1/4,1/2,1,2,4,4,2,1,1/2,1/4,第9页,y,x,0,y 2,x,y=,1 2 3 4 5 6 7 8,8,7,6,5,4,3,2,1,-3 -2 -1,-1,-2,-3,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y,0.35,0.71,1.41,2.83,列表,画图,0.25,0.5,1,2,4,和 图象有什么关系？,，,第10页,和 图象关于y轴对称,，,和 图象关于y轴对称,y=f(x)与y=f(-x）图像关于y轴对称,第11页,问题3,：,你能发觉函数图象与其底数之间有什么样规律？,你能依据指数函数图象概括、归纳指数函数性质吗？,练习：在同一坐标系中画出以下函数图象：,第12页,X,O,Y,Y=1,y=3,X,y=2,x,观察右边图象，回答以下问题：,问题一：,图象分别在哪几个象限？,问题二：,图象上升、下降与底数a有联络吗？,问题三：,图象中有哪些特殊点？,答：四个图象都在第象限,答：当底数时图象上升；当底数时图象下降,答：四个图象都经过点,、,顺,第13页,图,象,a1,0a0时,y1;x0时,0y0时,01,第14页,问题:,你能依据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？,练习：,例1、已知,指数函数f(x)=a,x,(a0,且a1）图象经过点（3，），求f(0)、f(1)、f(-3)值.,1求以下函数定义域值域：,第15页,练习、函数ya,x3,2（a0，且a1）必经过哪个定点？,练习、函数ya,x+1,-1（a0，且a1）必经过哪个定点？,第16页,练习：若指数函数y=（2a-1),x,是减函数，求实数a取值范围.,第17页,指数函数概念,形如,y=a,x,函数叫做指数函数,指数,自变量,底数,(a0且a1),常数,第18页,图,象,a1,0a0时,y1;x0时,0y0时,01,第19页,函数ya,x+2,+1（a0，且a1）必经过哪个定点？,练习,第20页,【例2】比较以下各题中两个值大小：,（1）1.7,2.5,，1.7,3,；（2）0.8,0.1,，0.8,0.2,；,（3）1.7,0.3,，0.9,3.1,.,方法引导：,比较两数值大小，常能够归结为比较两函数值大小，所以需要我们能够恰当地结构函数，使两数值为同一函数两个函数值，然后依据函数单调性来比较大小.有时也需要借助中间量0，1来过渡。,P59 T7,第21页,第22页,练习2、此图是ya,x,，yb,x,，yc,x,，yd,x,图象，则a，b，c，d与1大小关系是（）,A ab 1 c d,B ba 1 d c,C 1a b c d,D ab 1 d c,第23页,变式1,变式2,第24页,第25页,第26页,练习：,1求以下函数定义域值域：,第27页,第28页,第29页,作业：,第30页,二、新 课,例2：求以下函数值域,第31页,例3:求函数 单调区间,第32页,二、新 课,同增异减,第33页,二、新 课,求单调区间,第34页,例：3:当a1时,讨论函数f(x)=奇偶性和单,调性.,第35页,（2）,第36页,第37页,二、新 课,第38页,关键点梳理,1.根式,（1）根式概念,假如一个数,n,次方等于,a,（,n,1且,n,N,*,），那么这,个数叫做,a,n,次方根.也就是，若,x,n,=,a,，则,x,叫做,_,其中,n,1且,n,N,*,.式子 叫做_,这里,n,叫做_，,a,叫做_.,指数与指数函数,基础知识 自主学习,a,n,次方根,根式,根指数,被开方数,第39页,（2）根式性质,当,n,为奇数时,正数,n,次方根是一个正数，负数,n,次方根是一个负数，这时，,a,n,次方根用符号_,表示.,当,n,为偶数时，正数,n,次方根有两个，它们互为,相反数,这时，正数正,n,次方根用符号_表示,负,n,次方根用符号_表示.正负两个,n,次方根,能够合写为_（,a,0）.,=_.,a,第40页,当,n,为奇数时，=_;,当,n,为偶数时，=_.,负数没有偶次方根.,2.有理数指数幂,(1)幂相关概念,正整数指数幂：,（,n,N,*,）；,零指数幂：,a,0,=_（,a,0）；,负整数指数幂：,ap,=_（,a,0，,p,N,*,）；,a,1,第41页,正分数指数幂：=_（,a,0，,m,、,n,N,*,，,且,n,1）；,负分数指数幂：=(,a,0,m,、,n,N,*,且,n,1).,0正分数指数幂等于_，0负分数指数幂,_.,（2）有理数指数幂性质,a,r,a,s,=,_(,a,0,r,、,s,Q,);,(,a,r,),s,=,_(,a,0,r,、,s,Q,);,(,ab,),r,=,_(,a,0,b,0,r,Q,).,a,r,+,s,a,rs,a,r,b,r,0,没有意义,第42页,3.指数函数图象与性质,y,=,a,x,a,1,0,a,0时,_;,x,0时,_;,x,1,y,1,0,y,1,0,y,1,增函数,减函数,第43页,基础自测,1.已知,a,则化简 结果是 （）,A.B.,C.D.,解析,C,第44页,2.以下函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调,递增是 （）,A.,y,=,x,3,B.,y,=-,x,2,+1,C.,y,=|,x,|+1 D.,y,=2,-|,x,|,解析,因为,y,=,x,3,是奇函数，从而可排除A，因为函,数,y,=-,x,2,+1及,y,=2,-|,x,|,在（0，+）上单调递减，所,以排除B、D.,C,第45页,3.右图是指数函数（1）,y,=,a,x,，,（2）,y,=,b,x,（3）,y,=,c,x,（4）,y,=,dx,图象,则,a,，,b,，,c,，,d,与1大,小关系是 (),A.,a,b,1,c,d,B.,b,a,1,d,c,C.1,a,b,c,d,D.,a,b,1,d,c,第46页,解析,方法一,当指数函数底数大于1时，图象上升，,且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近,y,轴；,当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近,x,轴.,故可知,b,a,1,d,d,1,a,1,b,1,b,a,1,d,0且,a,1,解析,a,=2.,C,第49页,题型一 指数幂化简与求值,【,例1,】,计算以下各式：,题型分类 深度剖析,第50页,先把根式化为分数指数幂，再依据幂运,算性质进行计算.,解,思维启迪,第51页,根式运算或根式与指数式混合运算时,将,根式化为指数式计算较为方便，对于计算结果，不,强求统一用什么形式来表示，假如有特殊要求，要根,据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指,数，也不能现有分母又含有负指数.,探究提升,第52页,知能迁移1,解,第53页,第54页,题型二 指数函数性质,【,例2,】,(12分)设函数,f,(,x,)=,为奇函数.求：,（1）实数,a,值；,（2）用定义法判断,f,（,x,）在其定义域上单调性.,由,f,（-,x,）=-,f,（,x,）恒成立可解得,a,值;,第(2)问按定义法判断单调性步骤进行求解即可.,思维启迪,第55页,解,(1),方法一,依题意，函数,f,（,x,）定义域为,R,，,f,（,x,）是奇函数，,f,（-,x,）=-,f,（,x,），2分,2(,a,-1)(2,x,+1)=0，,a,=1.6分,方法二,f,(,x,)是,R,上奇函数，,f,(0)=0，即 ,a,=1 6分,（2）由(1)知，,设,x,1,f,(,x,1,),f,(,x,)在,R,上是增函数.,(1)若,f,(,x,)在,x,=0处有定义,且,f,(,x,)是奇函数,则有,f,(0)=0,即可求得,a,=1.,（2）由,x,1,x,2,推得 实质上应用了函数,f,（,x,）=2,x,在,R,上是单调递增这一性质.,探究提升,10分,12分,第57页,知能迁移2,设 是定义在,R,上函数.,（1）,f,（,x,）可能是奇函数吗？,（2）若,f,（,x,）是偶函数，试研究其单调性.,解,(1),方法一,假设,f,(,x,)是奇函数,因为定义域为,R,f,（-,x,）=-,f,（,x,）,即,整理得,即 即,a,2,+1=0,显然无解.,f,（,x,）不可能是奇函数.,第58页,方法二,若,f,(,x,)是,R,上奇函数，,则,f,(0)=0,即,f,(,x,)不可能是奇函数,.,(2)因为,f,(,x,)是偶函数，所以,f,(-,x,)=,f,(,x,),即,整理得,又对任意,x,R,都成立，,有 得,a,=1.,当a,=1时，,f,(,x,)=e,-,x,+e,x,以下讨论其单调性，,任取,x,1,x,2,R,且,x,1,x,2,第59页,当,f,(,x,1,)0，即增区间为0,+),反之(-,0,为减区间.,当,a,=-1时，同理可得,f,(,x,)在（-，0上是增函数，,在0，+）上是减函数.,第60页,题型三 指数函数图象及应用,【,例3,】,已知函数,(1)作出图象；,(2)由图象指出其单调区间；,(3)由图象指出当,x,取什么值时函数有最值.,思维启迪,化去绝对值符号,将函数写成份段函数形式,作图象,写出单调区间,写出,x,取值,第61页,解,（1）由已知可得,其图象由两部分组成：,一部分是另一部分是：,y,=3,x,(,x,0),y,=3,x,+1,(,x,0，且,a,1),图象有两个公共点,则,a,取值范围是_.,解析,数形结合.,当,a,1时，如图,只有一个公共点，不符合题意.,当0,a,1时，如图,由图象可知02,a,1,第64页,思想方法 感悟提升,1.单调性是指数函数主要性质，尤其是函数图象,无限伸展性，,x,轴是函数图象渐近线.当0,a,1，,x,-时,y,0;当,a,1时，,a,值越大，图象越靠近,y,轴，递增速度越快；,当0,a,0,a,1)图象和性质与,a,取值,相关，要尤其注意区分,a,1与0,a,1,b,1,b,0,C.0,a,0,D.0,a,1,b,0,第68页,解析,由图象得函数是减函数，,0,a,0,即,b,0.从而D正确.,答案,D,第69页,3.已知函数,y,=4,x,-32,x,+3,当其值域为1，7时，,x,取值范围是 （）,A.2，4 B.(-，0,C.(0，12，4 D.(-，01，2,解析,y,=(2,x,),2,-32,x,+3,2,x,-1，12，4，,x,(-，01，2.,D,第70页,4.定义运算：,a,*,b,=如1*2=1,则函数,f,(,x,)=2,x,*2,-,x,值域为 （）,A.,R,B.(0,+),C.(0，1 D.1，+),解析,f,（,x,）=2,x,*2,-,x,=,f,（,x,）在(-，0上是增函数，,在(0，+)上是减函数，,01,而,在（1,+)上单调递减，,故 在(-,+)上单调递减，且无限,趋于0，故无最小值.,A,第72页,6.函数 部分图象大致是如图所表示,四个图象中一个，依据你判断，,a,可能取值,是 （）,A.B.C.2 D.4,第73页,解析,函数为偶函数，排除，又函数值恒为正,值，则排除，故图象只能是，再依据图象先增后,减特征可知2,a,-31,即,a,2,符合条件只有D选项，,故选D.,答案,D,第74页,二、填空题,7.若,f,(,x,)=,a,-,x,与,g,(,x,)=,a,x,-,a,(,a,0且,a,1)图象关于直线,x,=1对称，则,a,=_.,解析,g,（,x,）上点,P,（,a,，1）关于直线,x,=1对,称点,P,(2-,a,1)应在,f,(,x,)=,a,-,x,上，,1=,a,a,-2,.,a,-2=0,即,a,=2.,2,第75页,8.设函数,f,(,x,)=,a,-|,x,|,(,a,0且,a,1),若,f,(2)=4,则,f,(-2)与,f,(1)大小关系是_.,解析,由,f,(2)=,a,-2,=4,解得,a,=,f,(,x,)=2,|,x,|,f,(-2)=42=,f,(1).,f,(-2),f,(1),第76页,9.,(江苏),已知 函数,f,(,x,)=,a,x,若实数,m,、,n,满足,f,(,m,),f,(n,),则,m,、,n,大小关系为_.,解析,函数,f,(,x,)=,a,x,在,R,上是减函数.,又,f,(,m,),f,(,n,),m,n,.,m,n,第77页,三、解答题,10.已知对任意,x,R,不等式,恒成立，求实数,m,取值范围.,解,由题知:不等式 对,x,R,恒,成立，,x,2,+,x,0对,x,R,恒成立.,=（,m,+1）,2,-4（,m,+4）0.,m,2,-2,m,-150.-3,m,0且,a,1)在,x,-1，1上最,大值为14，求,a,值.,解,令,a,x,=,t,t,0，则,y,=,t,2,+2,t,-1=(,t,+1),2,-2,其对称轴,为,t,=-1.该二次函数在-1，+）上是增函数.,若,a,1，,x,-1，1，,t,=,a,x,故当,t,=,a,即,x,=1时，,y,max,=,a,2,+2,a,-1=14,解得,a,=3(,a,=-5舍去).,第79页,若0,a,1，,x,-1，1，,t,=,a,x,故当,t,=即,x,=-1时，,综上可得,a,=3或,第80页,12.已知函数,（1）求常数,c,值；,（2）解不等式,解,（1）依题意0,c,1,c,2,c,满足,第81页,返回,第82页,