1、单击此处编辑母版标题样式,7.会用微分方程知识解一些简单实际问题.,1.了解微分方程、方程阶、解、通解、初始条件、特解等概念.,2.熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程解法，,会解简单齐次方程.,3.知道特殊高阶微分方程,降阶法.,4.知道二阶线性微分方程解结构.,5.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法.,6.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程,待定特解形式.,第四讲 微分方程,一、主要内容及要求,第1页,1.微分方程基本概念,定义：凡含有未知函数导数（或微分）方程叫微分方程（方程）.,比如,微分方程实质:,联络自变量,未知函数以及未知函数导数(或微分)之间关系式.,都是微分方程,
2、注意：,微分方程中必需含有未知函数导数（或微分）,二、微分方程常见题型及例子,(客观题),第2页,一,（1）,微分方程阶：,微分方程中出现未知函 数最高阶导数阶数称为,微分方程,分类：,微分方程中未知函数只含一个自变量,这么微分方程称为,比如,是 阶微分方程.,是 阶微分方程.,?,二,?,常微分方程。,微分方程阶.,常微分方程;偏微分方程.,不然，称为,偏微分方程。,微分方程中几个概念：,(2)线性微分方程：,称为线性微分方程。,第3页,这个函数就称这个,微分,解分类：,且独立,（3）,微分方程解：,通解:,如：,假如将一个函数代入微分方,程能使方程成为恒等式,方程解.,微分方程解中含有任意
3、常数,任意,常数个数与微分方程阶数相同.,微分方程解有两种形式,第4页,不含任意常数C解.,用来确定通解中任意常数条件.,特解:,（4）初始条件,:,思索：,第5页,例1,解,(通解.),第6页,(1),(2),第7页,(1)可分离变量微分方程,2.一阶微分方程,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,约定简化写法以下：,第8页,例2,解,分离变量,两端积分,第9页,(2)齐次方程,称此方程为,齐次,微分方程,.,解,形如,作变换,分离变量，两边积分得,求出上式通解后，,第10页,例1,解,两边积分，得,为所求通解.,第11页,解,例2,第12页,方程，称为,一阶线性微分方程,方程称为,一阶
4、齐次,线性微分方程,.,方程(1)称为,一阶,非齐次,线性微分方程,.,比如,形如,(3)一阶线性微分方程,（重点）,第13页,例1,解,其解,第14页,例2,解,所求方程特解为,第15页,对这类方程只需经过n次积分就可得到方程通解.,例1,解,由,3.可降阶高阶微分方程,第16页,再按一阶微分方程方法求解,第17页,例1,解,方程可写为,（1）,为所求,第18页,解法：,再按一阶微分方程方法求解,第19页,例1,特解,满足初始条件,求方程,解,特解为,第20页,4.二阶常系数线性微分方程,形如,（1）,称为二阶常系数线性微分方程.,称为二阶常系数齐次线性微分方程.,称为二阶常系数非齐次线性
5、微分方程.,（2）,第21页,(1)二阶常系数齐次线性微分方程解结构,第22页,例,证,第23页,(2),求二阶常系数齐次线性微分方程通解:,（3）依据特征根不一样情况,得到对应通解.,（1）写出对应特征方程;,（2）求出特征根;,第24页,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,第25页,特征方程为,例2,解,故所求通解为,特征根为,第26页,例3,解,特征方程为,特征根为,故所求通解为,第27页,(3)二阶常系数非齐次线性微分方程解结构,第28页,(4)二阶常系数非齐次线性微分方程特解,其特解形式是,第29页,此时其特解形式,第30页,例1,解,特征方程为,不是特征方程根,设特解为,代入微分方程整理,得,特解为,第31页,例2,解,特征方程为,是特征方程单根,设特解为,例3,解,特征方程为,不是特征方程根,设特解形式为,第32页,该点和直线,相切，求这条曲线。,解,特征根,通解,例4,且在,特征方程,第33页,解,例5,列车在平直线路上以20米/秒速度行驶,当制动时列车取得加速度,制动后多少时间列车才能停住？,问开始,米/秒,2,在这段时间内列车行驶了多少旅程？,第34页,开始制动到列车完全停住共需,令,=0,得,50（秒）.,故,将（3）代入条件（4）得,将（2）代入条件（5）得,在这段时间内列车行驶了500（米）.,第35页,
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