高等数学----(方向导数与梯度).pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,10:11,高等数学,第1页,课程相关,教材及相关辅导用书,高等数学,第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社,.8.,高等数学精品课程下册,第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,.7.,高等数学,第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,.7.,高等数学学习辅导与习题选解,（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,.8.,第2页,第,九,章 多元函数微分学,9.1,多元函数基本概念,9.2,偏导数,9.3,全微分,9.4,多元复合函数求导法则,9.5,隐函数,求导公式,9.6,多元函数微分学几何应用,9.7,方向导数,与梯度,9.8,多元函数,极值,9.9,综合例题,第3页,4,1.,空间曲线切线与法平面,切线方程,法平面方程,参数式情况,.,空间光滑曲线,切向量,内容,回顾,第4页,5,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1),隐式情况：,法向量,切平面方程,2.,曲面切平面与法线,第5页,6,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2),显式情况：,法线,方向余弦,法向量,第6页,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,三、数量场和向量场,第7页,第七节 方向导数与梯度,一,.,方向导数,偏导数反应是函数沿坐标轴方,向改变率,但许多物理现象告诉我,们,除了考虑函数沿坐标轴方向变,化率外,还应该考虑其它方向改变,率,.,现在我们研究函数沿任一指定方,向改变率问题,.,x,y,P,0,(x,0,y,0,),e,l,P(x,y),L,第8页,一、方向导数定义,讨论函数 在一点,P,沿某一方向改变率问题,第9页,当,沿着,趋于,时，,是否存在？,第10页,记为,方向导数几何意义,第11页,L,C,M,0,T,P,0,P,M,l,上式极限存在就,意味,曲线,C,在点,P,0,有唯一切线,它关于 方向斜率,就是方向导数,第12页,证实,因为函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,第13页,故有方向导数,第14页,解,第15页,解,由方向导数计算公式知,第16页,故,第17页,推广可得三元函数方向导数定义,第18页,解,令,故,方向余弦为,第19页,故,第20页,二、梯度,其中,称为,向量微分算子,或,Nabla,算子,.,第21页,所以梯度向量 是使函数在一点方向导数,到达最大值方向,第22页,第23页,第24页,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在,xoy,面上投影如图,2,梯度几何解释,第25页,所得曲线在,xoy,面上投影为平面曲线,称为函数,等值线,方程两边微分：,或者说：梯度方向就是等值线在这点法线方向。,第26页,等值线,梯度为等值线上法向量,第27页,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数方向一致，其模为方向导数最大值,.,梯度概念能够推广到三元函数,第28页,三元函数梯度几何解释：,三元函数 等值面：,由切平面讨论，知梯度,是等值面,在点,(,x,y,z,),处法向量。,故梯度向量,在任何点都垂直于函数等值面，而且从函数值较小等值面指向函数值较大等值面。,第29页,梯度运算律,类似于导数运算律,其中,C,为常数。,第30页,解,由梯度计算公式得,故,第31页,例,5.,设函数,解,:,(1),点,P,处切平面法向量为,在点,P,(1,1,1),处切平面方程,.,故所求切平面方程为,即,(2),求函数,f,在点,P,(1,1,1),沿增加最快方向方向导数,.,求等值面,(2),函数,f,在点,P,处增加最快方向为,沿此方向方向导数为,注意,:,对三元函数,与,垂直方向,有没有穷多,第32页,向量场,Vector Fields,第33页,第34页,第35页,第36页,1,、方向导数概念,（注意方向导数与普通所说偏导数,区分,）,三、小结,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,方向导数为,二元函数,在点,方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,第37页,2,、梯度概念,（注意梯度是一个,向量,）,三元函数,在点,处梯度为,二元函数,在点,处梯度为,方向,:,f,改变率最大方向,模,:,f,最大改变率之值,梯度特点,第38页,3,、方向导数与梯度关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,4,、可微、可导、方向导数,梯度在方向,l,上投影,.,第39页,作业,习题,9.7,（,P83,）,1,、,3,、,4,、,5,、,9,第40页,思索题,第41页,思索题解答,第42页,练 习 题,第43页,