高三数学复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用文.pptx

教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,文数,课标版,第四节基本不等式及其应用,1/26,1.基本不等式,(1)基本不等式,成立条件:,a,0,b,0.,(2)等号成立条件:当且仅当,a,=,b,时等号成立.,(3)其中,称为正数,a,b,算术平均数,称为正数,a,b,教材研读,几何平均数.,2/26,2.几个主要不等式,(1),a,2,+,b,2,2,ab,(,a,b,R,),当且仅当,a,=,b,时取等号.,(2),ab,(,a,b,R,),当且仅当,a,=,b,时取等号.,(3),(,a,b,R,),当且仅当,a,=,b,时取等号.,(4),+,2(,a,b,同号),当且仅当,a,=,b,时取等号.,3/26,3.利用基本不等式求最值,已知,x,0,y,0,则,(1)假如积,xy,是定值,p,那么当且仅当,x,=,y,时,x,+,y,有最,小,值,是,2,.(简记:积定和最小),(2)假如和,x,+,y,是定值,s,那么当且仅当,x,=,y,时,xy,有最,大,值,是,.(简记:和定积最大),4/26,判断以下结论正误(正确打“”,错误打“,”),(1)当,a,0,b,0时,a,+,b,2,.,(),(2)两个不等式,a,2,+,b,2,2,ab,与,成立条件是相同.,(,),(3)(,a,+,b,),2,4,ab,(,a,b,R,).,(),(4)两个正数等差中项大于它们等比中项.,(),(5)函数,y,=,x,+,最小值是2.,(,),(6),x,0且,y,0是,+,2充要条件.,(,),5/26,1.以下不等式中正确是,(),A.若,a,R,则,a,2,+96,a,B.若,a,b,R,则,2,C.若,a,b,0,则2lg,lg,a,+lg,b,D.若,x,R,则,x,2,+,1,答案,C,a,0,b,0,.,2lg,2lg,=lg,ab,=lg,a,+lg,b,.,6/26,2.设,x,0,y,0,且,x,+,y,=18,则,xy,最大值为,(),A.80B.77C.81D.82,答案,C,x,0,y,0,x,+,y,=18,18=,x,+,y,2,即,9,xy,81.故,xy,最大值为81.,3.已知,x,y,0且,x,+4,y,=1,则,+,最小值为,(),A.8B.9C.10D.11,答案,B,x,+4,y,=1(,x,y,0),+,=,+,=5+,5+2,=5+4=9,当且仅当,x,=2,y,=,时,取等号,.,7/26,4.已知,f,(,x,)=,x,+,-2(,x,0),则,f,(,x,)有,(),A.最大值0B.最小值0,C.最大值-4D.最小值-4,答案,C,x,0,f,(,x,)=-,-2,-2-2=-4,当且仅当-,x,=,即,x,=-,1时取等号.,f,(,x,)有最大值-4.,8/26,5.已知,x,则函数,y,=4,x,-2+,最大值为,.,答案,1,解析,x,0,y,=4,x,-2+,=-,+3,-2+3=1,当且仅当5-4,x,=,即,x,=1时,等号成立,故当,x,=1时,y,max,=1.,9/26,考点一利用基本不等式求最值,典例1,(1)已知0,x,0,b,0,a,+,b,=1,则,+,最小值为,.,(3)已知正实数,x,y,满足,xy,+2,x,+,y,=4,则,x,+,y,最小值为,.,答案,(1)B(2)4(3)2,-3,考点突破,10/26,解析,(1)0,x,b,b,0,a,+,b,=1,+,=,+,=2+,+,2+2,=4,即,+,最小值为4,当且仅当,a,=,b,=,时等号成立.,(3)因为,xy,+2,x,+,y,=4,所以,x,=,.,11/26,由,x,=,0,得-2,y,0,所以0,y,4,所以,x,+,y,=,+,y,=,+(,y,+2)-3,2,-3,当且仅当,=,y,+2(0,y,-1),当,x,=,a,时,y,取得最小值,b,则,a,+,b,等于,(),A.-3B.2C.3D.8,答案,C,y,=,x,-4+,=,x,+1+,-5,因为,x,-1,所以,x,+10,0,所以由,基本不等式,得,y,=,x,+1+,-5,2,-5=1,当且仅当,x,+1=,即,x,=2时取等号,所以,a,=2,b,=1,则,a,+,b,=3.,14/26,1-2,实数,x,y,满足,x,+2,y,=2,则3,x,+9,y,最小值是,.,答案,6,解析,利用基本不等式可得,3,x,+9,y,=3,x,+3,2,y,2,=2,.,x,+2,y,=2,3,x,+9,y,2,=6,当且仅当3,x,=3,2,y,即,x,=1,y,=,时取等号.,15/26,1-3,设,x,-1,则函数,y,=,最小值为,.,答案,9,解析,因为,x,-1,所以,x,+10,所以,y,=,=,=,=,x,+1+,+5,2,+5=9,当且仅当,x,+1=,即,x,=1时,等号成立,故函数,y,=,最小值为9.,16/26,考点二基本不等式实际应用,典例2,(1)某车间分批生产某种产品,每批产品生产准备费用为800,元,若每批生产,x,件,则平均仓储时间为,天,且每件产品天天仓储费用,为1元.为使平均到每件产品生产准备费用与仓储费用之和最小,每批,应生产产品,(),A.60件B.80件C.100件D.120件,(2)要制作一个容积为4 m,3,高为1 m无盖长方体容器.已知该容器底,面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器最低总,造价是,(),A.80元B.120元C.160元D.240元,17/26,答案,(1)B(2)C,解析,(1)设每批生产产品,x,件,则每件产品生产准备费用是,元,仓,储费用是,元,总费用是,元,由基本不等式得,+,2,=20,当且仅当,=,即,x,=80时取等号.,(2)设底面相邻两边长分别为,x,m,y,m,总造价为,T,元,则,V,=,xy,1=4,xy,=,4.,T,=4,20+(2,x,+2,y,),1,10=80+20(,x,+,y,),80+20,2,=80+20,4=160(当且,仅当,x,=,y,时取等号).,故该容器最低总造价是160元.,18/26,易错警示,对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量范围,普通地,每个表,示实际意义代数式必须为正,由此可得变量范围,然后利用基本不,等式求最值.,19/26,2-1,某工厂去年某产品年销售量为100万件,每件产品销售价为10,元,每件产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以,后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年,增加10万件,第,n,次投入后,每件产品固定成本为,g,(,n,)=,(,k,0,k,为,常数,n,N),若产品销售价保持不变,第,n,次投入后年利润为,f,(,n,)万元.,(1)求,k,值及,f,(,n,)表示式;,(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高年利润为多少万元?,解析,(1)当,n,=0时,由题意得,k,=8从而,f,(,n,)=(100+10,n,),-100,n,=1 000-80,n,N.,20/26,(2)由(1)知,f,(,n,)=1 000-80,1 000-80,2,=520,当且仅当,=,即,n,=8时取等号.,所以第8年年利润最高,最高年利润为520万元.,21/26,考点三含参问题,典例3,(1)已知不等式(,x,+,y,),9对任意正实数,x,y,恒成立,则正,实数,a,最小值为,(),A.2B.4C.6D.8,(2)设,x,y,z,且,+,(,n,N)恒成立,则,n,最大值为,(),A.2B.3C.4D.5,答案,(1)B(2)C,解析,(1)(,x,+,y,),=1+a,+,+,1+,a,+2,=(,+1),2,(,x,y,a,0),当且仅,当,y,=,x,时取等号,所以(,x,+,y,),最小值为(,+1),2,于是(,+1),2,22/26,9恒成立.所以,a,4,故选B.,(2)因为,x,y,z,所以,x,-,y,0,y,-,z,0,x,-,z,0,不等式,+,恒成立等,价于,n,(,x,-,z,),恒成立.因为,x,-,z,=(,x,-,y,)+(,y,-,z,),2,+,2,所以(,x,-,z,),2,2,=4(当且仅当,x,-,y,=,y,-,z,时等号成立),则要使,n,(,x,-,z,),恒成立,只需使,n,4(,n,N),故,n,最大值为,4.,23/26,1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是,正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺,一不可.,易错警示,2.若无显著“定值”,则惯用配凑方法,使和为定值或积为定值.当多,次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能确保等号成立,而且要注,意取等号条件一致性,不然就会犯错,所以在利用基本不等式处理,问题时,列出等号成立条件不但是解题必要步骤,而且也是检验转,换是否有误一个方法.,24/26,3-1,已知,a,0,b,0,若不等式,+,恒成立,则,m,最大值为,(),A.9B.12C.18D.24,答案,B,+,且,a,0,b,0,m,(,a,+3,b,)=6+,+,又,+,2,=6,当且仅当,=,时等号成立,m,12,故,m,最大值为12.,25/26,3-2,已知lg,a,+lg,b,=0,则满足不等式,+,实数,最小值是,.,答案,1,解析,由lg,a,+lg,b,=0得,ab,=1(,a,0且,b,0),则,+,=,+,=,=1(当且仅当,a,=,b,=1时等号成立),所以,1,即实数,最小,值是1.,26/26,