高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和.pptx

第二章,2.2,等差数列,2.2.2,等差数列前,n,项和（一）,1/37,1.,掌握等差数列前,n,项和公式及其获取思绪,.,2.,经历公式推导过程，体验从特殊到普通研究方法，学会观察、归纳、反思,.,3.,熟练掌握等差数列五个量,a,1,，,d,，,n,，,a,n,，,S,n,关系，能够由其中三个求另外两个,学习目标,2/37,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/37,问题导学,4/37,思索,知识点一等差数列前,n,项和公式推导,高斯用,1,2,3,100,(1,100),(2,99),(50,51),101,50,快速求出了等差数列前,100,项和但假如是求,1,2,3,n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？,答案,不知道共有奇数项还是偶数项造成不能配对但我们能够采取倒序相加往返避这个问题：设,S,n,1,2,3,(,n,1),n,，,又,S,n,n,(,n,1),(,n,2),2,1,，,2,S,n,(1,n,),2,(,n,1),(,n,1),2,(,n,1),，,5/37,梳理,“,倒序相加法,”,能够推广到普通等差数列求前,n,项和，其方法以下：,S,n,a,1,a,2,a,3,a,n,1,a,n,a,1,(,a,1,d,),(,a,1,2,d,),a,1,(,n,2),d,a,1,(,n,1),d,；,S,n,a,n,a,n,1,a,n,2,a,2,a1,a,n,(,a,n,d,),(,a,n,2,d,),a,n,(,n,2),d,a,n,(,n,1),d,两式相加，得,2,S,n,n,(,a,1,a,n,),，,6/37,7/37,知识点二等差数列前,n,项和公式特征,思索,1,在等差数列,a,n,中，若已知,a,2,7,，能求出前,3,项和,S,3,吗？,答案,8/37,思索,2,我们对等差数列通项公式变形：,a,n,a,1,(,n,1),d,dn,(,a,1,d,),，分析出通项公式与一次函数关系你能类比这个思绪分,析一下,S,n,na,1,d,吗？,答案,9/37,梳理,对于等差数列,a,n,前,n,项和,S,n,，有下面几个常见变形：,10/37,知识点三等差数列前,n,项和公式性质,思索,假如,a,n,是等差数列，那么,a,1,a,2,a,10,，,a,11,a,12,a,20,，,a,21,a,22,a,30,是等差数列吗？,答案,11/37,(,a,11,a,12,a,20,),(,a,1,a,2,a,10,),(,a,11,a,1,),(,a,12,a,2,),(,a,20,a,10,),10,d,10,d,10,d,100,d,，类似可得,(,a,21,a,22,a,30,),(,a,11,a,12,a,20,),100,d,.,a,1,a,2,a,10,，,a,11,a,12,a,20,，,a,21,a,22,a,30,是等差数列,10,个,12/37,梳理,(1),S,m,，,S,2,m,，,S,3,m,分别为等差数列,a,n,前,m,项和，前,2,m,项和，前,3,m,项和，则,S,m,，,S,2,m,S,m,，,S,3,m,S,2,m,也成等差数列，公差为,m,2,d,.,(2),若等差数列项数为,2,n,(,n,N,),，则,S,2,n,，且,S,偶,S,奇,，,.,n,(,a,n,a,n,1,),nd,(3),若等差数列项数为,2,n,1(,n,N,),，,则,S,2,n,1,，且,S,奇,S,偶,a,n,，,S,奇,na,n,，,S,偶,(,n,1),a,n,，,.,(2,n,1)a,n,13/37,题型探究,14/37,类型一等差数列前,n,项和公式应用,命题角度,1,方程思想,例,1,已知一个等差数列,a,n,前,10,项和是,310,，前,20,项和是,1 220,，由这些条件能确定这个等差数列前,n,项和公式吗？,解答,15/37,方法一由题意知,S,10,310,，,S,20,1 220,，,16/37,得,a,20,a,10,60,，,10,d,60,，,d,6,，,a,1,4.,17/37,(1),在处理与等差数列前,n,项和相关问题时，要注意方程思想和整体思想利用,(2),组成等差数列前,n,项和公式元素有,a,1,，,d,，,n,，,a,n,，,S,n,，知其三能求另外两个,反思与感悟,18/37,跟踪训练,1,在等差数列,a,n,中，已知,d,2,，,a,n,11,，,S,n,35,，求,a,1,和,n,.,解答,19/37,命题角度,2,实际应用,例,2,某人用分期付款方式购置一件家电，价格为,1 150,元，购置当日先付,150,元，以后每个月这一天都交付,50,元，并加付欠款利息，月利率为,1%.,若交付,150,元后一个月开始算分期付款第一个月，则分期付款第,10,个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解答,20/37,设每次交款数额依次为,a,1,，,a,2,，,，,a,20,，则,a,1,50,1 000,1%,60(,元,),，,a,2,50,(1 000,50),1%,59.5(,元,),，,a,10,50,(1 000,9,50),1%,55.5(,元,),，,即第,10,个月应付款,55.5,元,因为,a,n,是以,60,为首项，以,0.5,为公差等差数列，,即全部付清后实际付款,1 105,150,1 255(,元,),21/37,反思与感悟,建立等差数列模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数本题是依据首项和公差选择前,n,项和公式进行求解,22/37,设开始运动,n,分钟后第一次相遇，依题意，,整理得,n,2,13,n,140,0.,解得,n,7,，,n,20(,舍去,),所以第一次相遇是在开始运动后,7,分钟,跟踪训练,2,甲、乙两物体分别从相距,70 m,两处同时相向运动，甲第,1,分钟走,2 m,，以后每分钟比前,1,分钟多走,1 m,，乙每分钟走,5 m.,(1),甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？,解答,23/37,设开始运动,m,分钟后第二次相遇，依题意，,有,2,m,5,m,3,70,，,整理得,m,2,13,m,420,0.,解之得,m,15,，,m,28(,舍去,),所以第二次相遇是在开始运动后,15,分钟,(2),假如甲、乙抵达对方起点后马上返回，甲继续每分钟比前,1,分钟多走,1 m,，乙继续每分钟走,5 m,，那么开始运动几分钟后第二次相遇？,解答,24/37,方法一在等差数列中，,S,m,，,S,2,m,S,m,，,S,3,m,S,2,m,成等差数列,30,70,，,S,3,m,100,成等差数列,2,70,30,(,S,3,m,100),，,S,3,m,210.,类型二等差数列前,n,项和性质应用,例,3,(1),等差数列,a,n,前,m,项和为,30,，前,2,m,项和为,100,，求数列,a,n,前,3,m,项和,S,3,m,；,解答,即,S,3,m,3(,S,2,m,S,m,),3,(100,30),210.,25/37,解答,26/37,等差数列前,n,项和,S,n,相关性质在解题过程中，假如利用得当能够到达化繁为简、化难为易、事半功倍效果,反思与感悟,27/37,跟踪训练,3,设,a,n,为等差数列，,S,n,为数列,a,n,前,n,项和，已知,S,7,7,，,S,15,75,，,T,n,为数列,前,n,项和，求,T,n,.,解答,28/37,S,7,7,，,S,15,75,，,29/37,当堂训练,30/37,1.,在等差数列,a,n,中，若,S,10,120,，则,a,1,a,10,值是,A.12 B.24 C.36 D.48,答案,解析,1,2,3,4,31/37,2.,记等差数列前,n,项和为,S,n,，若,S,2,4,，,S,4,20,，则该数列公差,d,等于,A.2 B.3 C.6 D.7,答案,解析,1,2,3,方法二由,S,4,S,2,a,3,a,4,a,1,2,d,a,2,2,d,S,2,4,d,，,所以,20,4,4,4,d,，解得,d,3.,4,32/37,1,2,3,3.,在一个等差数列中，已知,a,10,10,，则,S,19,_.,19,10,190.,190,答案,解析,4,33/37,1,2,3,整理得,n,2,7,n,60,0,，,解得,n,12,或,n,5(,舍去,),，,n,12,，,a,n,a,12,4.,解答,4,34/37,解得,n,4.,又由,a,n,a,1,(,n,1),d,，即,512,1,(4,1),d,，,解得,d,171解答,(2),a,1,1,，,a,n,512,，,S,n,1 022,，求,d,.,1,2,3,4,35/37,规律与方法,1.,求等差数列前,n,项和公式方法称为倒序相加法，在一些数列求和中也可能用到,.,2.,等差数列两个求和公式中，一共包括,a,1,，,a,n,，,S,n,，,n,，,d,五个量，若已知其中三个量，经过方程思想可求另外两个量,.,在利用求和公式时，要注意整体思想应用，注意以下结论利用：,若,m,n,p,q,，则,a,n,a,m,a,p,a,q,(,n,，,m,，,p,，,q,N,),；若,m,n,2,p,，则,a,n,a,m,2,a,p,.,3.,本节包括数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想,.,36/37,本课结束,37/37,