高三数学复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形理.pptx

教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第八节解三角形,1/25,1.用正弦定理和余弦定了解三角形常见题型,:测量距离、高度、角度,问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中惯用角,(1)仰角和俯角,与目标视线在同一铅垂平面内水平线和目标视线夹角,目标视线在,水平线,上方,角叫仰角,目标视线在水平线,下方,角叫俯,角(如图),.,2/25,(2)方向角:普通指相对于正北或正南方向水平锐角,如南偏东30,北,偏西45,等.,(3)方位角,从,正北,方向顺时针转到目标方向水平角叫做方位角,如点,B,方位角为,(如图).,(4)坡角:坡面与水平面所成锐二面角,.,(附:坡度(坡比):坡面铅直高度与水平长度之比),3/25,3.解关于解三角形应用题普通步骤,(1)了解题意,搞清问题实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间,关系;,(2)依据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;,(3)依据题意选取正弦定理或余弦定理进行求解;,(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中相关单位、近似计算,等要求.,4/25,1.从,A,处望,B,处仰角为,从,B,处望,A,处俯角为,则,与,关系为,(),A.,BC.,+,=90,D.,+,=180,答案,B依据题意和仰角、俯角概念画出草图,如图,可知,=,.,5/25,2,.,如图所表示,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,距离都等于,a,km,灯塔,A,在观察站,C,北偏东20,方向上,灯塔,B,在观察站,C,南偏东40,方,向上,则灯塔,A,与灯塔,B,距离为,(),A.,a,kmB.,a,kmC.,a,kmD.2,a,km,答案,B,ACB,=180,-(20,+40,)=120,在,ABC,中,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,-2,AC,BC,cos 120,=,a,2,+,a,2,-2,a,2,=3,a,2,AB,=,a,(km),故选B.,6/25,3.在上题条件下,灯塔,A,相对于灯塔,B,方向为,(),A.北偏西5,B.北偏西10,C.北偏西15,D.北偏西20,答案,B易知,B,=,A,=30,C,在,B,北偏西40,方向上,又40,-30,=,10,故灯塔,A,相对于灯塔,B,方向为北偏西10,.,4.在相距2千米,A,、,B,两点处测量目标点,C,若,CAB,=75,CBA,=60,则,A,、,C,两点之间距离为,千米.,答案,解析,ACB,=180,-75,-60,=45,由正弦定理得,=,=,AC,=,千米.,7/25,5.一艘船自西向东匀速航行,早晨10时抵达灯塔,P,南偏西75,距灯塔68,海里,M,处,下午2时抵达这座灯塔东南方向,N,处,则此船航行速,度为,海里/小时.,答案,解析,如图,由题意知,MPN,=75,+45,=120,PNM,=45,.,在,PMN,中,=,8/25,MN,=68,=34,海里,.,又由,M,到,N,所用时间为14-10=4小时,此船航行速度,v,=,=,海里/小时,.,9/25,考点一测量距离问题,考点突破,典例1,(1)(四川,13,5分)如图,从气球,A,上测得正前方河流两岸,B,C,俯角分别为67,30,此时气球高是46 m,则河流宽度,BC,约等,于,m.(用四舍五入法将结果准确到个位.参考数据:sin 67,0.92,cos 670.39,sin 37,0.60,cos 37,0.80,1.73),10/25,(2)如图,某观察站,C,在城,A,南偏西20,方向上,从城,A,出发有一条走向,为南偏东40,公路,在,C,处观察到距离,C,处31 km公路上,B,处有一辆,汽车正沿公路向,A,城驶去,行驶了20 km后抵达,D,处,测得,C,D,两处距离,为21 km,这时此车距离,A,城,千米.,11/25,答案,(1)60(2)15,解析,(1)设气球,A,在地面投影为点,D,则,AD,=46 m,于是,BD,=,AD,tan(90,-67,)=46,19.5 m,DC,=,AD,tan(90,-30,)=46,796 m,BC,=,DC,-,BD,=79.6-19.5,60 m.,(2)在,BCD,中,BC,=31 km,BD,=20 km,CD,=21 km,由余弦定理得cos,BDC,=,=,=-,所以cos,ADC,=,所以sin,ADC,=,.,在,ACD,中,CD,=21 km,CAD,=60,所以sin,ACD,=sin(60,+,ADC,)=,+,=,.,由正弦定理得,=,所以,AD,=,=15 km.,12/25,方法技巧,求解距离问题普通步骤,(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;,(2)明确所求距离在哪个三角形中,有几个已知元素;,(3)使用正弦定理、余弦定了解三角形(对于解答题,应作答).,13/25,1-1,(安徽铜陵一中期末)如图所表示,A,B,两点在一条河两岸,测量,者在,A,同侧,且,B,点不可抵达,要测出,A,、,B,距离,其方法是在,A,所在,岸边选定一点,C,测出,A,、,C,距离,m,再借助仪器,测出,ACB,=,CAB,=,在,ABC,中,利用正弦定理就能够求出,AB,.,若测出,AC,=60 m,BAC,=75,BCA,=45,则,A,B,两点间距离为,m.,14/25,答案,20,解析,ABC,=180,-75,-45,=60,由正弦定理得,=,AB,=,=,=20,(m).,即,A,B,两点间距离为20,m.,15/25,考点二测量高度问题,典例2,(湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平公路上向正西,行驶,到,A,处时测得公路北侧一山顶,D,在西偏北30,方向上,行驶600 m,后抵达,B,处,测得此山顶在西偏北75,方向上,仰角为30,则此山高度,CD,=,m.,16/25,答案,100,解析,依题意有,AB,=600,CAB,=30,CBA,=180,-75,=105,DBC,=30,DC,CB,.,ACB,=45,在,ABC,中,由,=,得,=,有,CB,=300,在Rt,BCD,中,CD,=,CB,tan 30,=100,则此山高度,CD,=100,m.,17/25,易错警示,处理高度问题注意事项,(1)在处理相关高度问题时,要了解仰角、俯角概念.,(2)在实际问题中,可能会碰到同时研究空间与平面(地面)问题,这时,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这么处理起来既清楚又,不轻易搞错.,(3)普通是把高度问题转化成三角形问题,要注意三角形中边角关,系应用,若是空间问题,则要注意空间图形和平面图形结合.,18/25,2-1,(湖北七市(州)协作体联考)如图,为了估测某塔高度,在同一,水平面,A,B,两点处进行测量,在点,A,处测得塔顶,C,在西偏北20,方向,上,仰角为60,在点,B,处测得塔顶,C,在东偏北40,方向上,仰角为30,.,若,A,B,两点相距130 m,则塔,CD,高度为,m.答案,10,解析,设,CD,=,h,m,则,AD,=,m,BD,=,h,m,在,ADB,中,ADB,=180,-20,-40,=120,由余弦定理得,AB,2,=,BD,2,+,AD,2,-2,BD,AD,cos 120,可得130,2,=,3,h,2,+,-2,h,解得,h,=10,(负值舍去),故塔高度为10,m,.,19/25,考点三测量角度问题,典例3如图,在一次海上联合作战演练中,红方一艘侦察艇(位于,A,处),发觉在北偏东45,方向,相距12 n mile水面,B,处,有蓝方一艘小艇正以每,小时10 n mile速度沿南偏东75,方向前进,若红方侦察艇以每小时,14 n mile速度,沿北偏东45,+,方向拦截蓝方小艇.若要在最短时间,内拦截住,求红方侦察艇所需时间和角,正弦值.,20/25,解析,如图,设红方侦察艇在,C,处拦截住蓝方小艇,且经过时间为,x,小时,则,AC,=14,x,(n mile),BC,=10,x,(n mile),ABC,=120,.,21/25,依据余弦定理得(14,x,),2,=12,2,+(10,x,),2,-240,x,cos 120,解得,x,=2(负值舍去).,故,AC,=28(n mile),BC,=20(n mile).,依据正弦定理得,=,解得sin,=,=,.,综上,要使红方侦察艇在最短时间内拦截住蓝方小艇,则所需要时,间为2小时,角,正弦值为,.,22/25,易错警示,处理测量角度问题注意事项,(1)明确方向角含义;,(2)分析题意,分清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,这是最关,键、最主要一步;,(3)将实际问题转化为可用数学方法处理问题后,注意正、余弦定理,综合利用.,23/25,3-1,如图所表示,位于,A,处信息中心得悉:在其正东方向相距40海里,B,处有一艘渔船遇险,在原地等候营救.信息中心马上把消息通知在其南,偏西30,相距20海里,C,处乙船,现乙船朝北偏东,方向沿直线前往,B,处救援,求cos,值.,24/25,解析,在,ABC,中,AB,=40海里,AC,=20海里,BAC,=120,由余弦定理,得,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos 120,=2 800,所以,BC,=20,海里.,由正弦定理,得sin,ACB,=,sin,BAC,=,.,由,BAC,=120,知,ACB,为锐角,故cos,ACB,=,.,故cos,=cos(,ACB,+30,),=cos,ACB,cos 30,-sin,ACB,sin 30,=,.,25/25,