线性定常连续系统状态方程的解.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性定常连续系统状态方程解,求解状态方程是进行动态系统分析与综合基础,是进行定量分析主要方法。,本节讲授状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述定系数常微分方程解理论。,下面基于矩阵代数运算状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。,该概念对我们深刻了解系统动态特征、状态变迁(动态演变)等都是非常有帮助,对该概念必须准确掌握和深入了解。,第1页,在讨论普通线性定常连续系统状态方程解之前,先讨论线性定常齐次状态方程解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。,所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项,(,u,(,t,)=0),作用,满足方程解齐次性。,研究齐次状态方程解就是研究系统本身在无外力作用下,自由(自治)运动,。,所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项作用,状态方程解对输入含有非齐次性。,研究非齐次状态方程解就是研究系统在外力作用下,强迫运动,。,第2页,线性定常齐次状态方程解,什么是微分方程齐次方程?,齐次方程就是指满足解,齐次性,方程，即若,x,是方程解，则对任意非零实数,a,a,x,亦是该方程解。,所谓齐次状态方程，即为以下不考虑输入,方程,x,=,Ax,齐次状态方程满足初始状态,解,也就是由初始时刻,t,0,初始状态,x,(,t,0,),所引发无输入强迫项(无外力)时,自由运动,。,第3页,对上述齐次状态方程,惯用常微分方程求解方法有,级数展开法,拉氏变换法,第4页,1.,级数展开法,在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程,在初始时刻,t,0=0,解。,该方程中,x,(,t,),为标量变量,a,为常数。,由常微分方程理论知,该方程解连续可微。,所以,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数。,第5页,将所设解代入该微分方程,可得,假如所设解是方程真实解,则对任意,t,上式均成立。,所以,使,t,有相同幂次项各项系数相等,即可求得,令,x,(,t,),解表示式中,t,=0,可确定q,0,=,x,(0),所以,x,(,t,),解表示式可写为,第6页,上述求解标量微分方程级数展开法,可推广至求解向量状态方程解。,为此,设其解为,t,向量幂级数,即,x,(,t,),=,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,q,k,t,k,+,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数向量。,将所设解代入该向量状态方程,x,=,Ax,可得,q,1,+,2,q,2,t,+,3,q,3,t,2,+,k,q,k,t,k-1,+,=,A,(,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,q,k,t,k,+,),假如所设解是方程真实解,则对任意,t,上式均成立。,所以,使,t,有相同幂次项各项系数相等,即可求得,第7页,若初始时刻,t,0,=0,初始状态,x,(0),=,x,0,则,可确定,q,0,=,x,(,0,),=,x,0,所以,状态,x,(,t,),解可写为,该方程右边括号里展开式是,n,n,维矩阵函数。,因为它类似于标量指数函数无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为,第8页,利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程解可写为：,x,(,t,)=e,A,t,x,0,第9页,2,拉氏变换法,若将对标量函数拉氏变换定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数各个元素求对应拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换方法求解齐次状态方程,解。,对该齐次状态方程,x,=,Ax,设初始时刻,t,0,=0且初始状态,x,(,t,)=,x,0,对方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,),于是可求得该齐次状态方程解,x,(,t,),拉氏变换为,X,(,s,)=(,s,I,-,A,),-1,x,0,第10页,对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程解为,x,(,t,)=,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,x,0,下面讨论怎样求解拉氏反变换,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,。,主要思想为将标量函数拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。,对标量函数,我们有,第11页,将上述关系式推广到矩阵函数则有,其中,e,At,称为时间,t,矩阵指数函数，并有,第12页,所以,基于上述,(,sI,-,A,),-1,拉氏反变换,该齐次方程解为,x,(,t,)=,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,x,0,=e,At,x,0,上述拉氏反变换法求解结果与前面级数展开法求解结果一致。,若初始时刻,t,0,0,对上述齐次状态方程解作坐标变换,则可得解另一个表述形式:,状态方程解表示式说明了齐次状态方程解实质上是初始状态,x,(,t,0,),从初始时刻,t,0,到时刻,t,系统运动状态转移,其转移特征和时刻,t,状态,完全由矩阵指数函数 和初始状态,x,(,t,0,),所决定。,第13页,为讨论方便,引入能描述系统状态转移特征线性定常连续系统状态转移矩阵以下:,(,t,)=e,At,所以,有以下关系式,x,(,t,)=,(,t,),x,0,=,(,t,-,t,0,),x,(,t,0,),由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程解,系统状态转移矩阵有以下关系,(,t,)=,L,-1,(,sI,-,A,),-1,第14页,齐次状态方程解描述了线性定常连续系统自由运动。,由解表示式能够看出,系统自由运动轨线是由从初始时刻初始状态到,t,时刻状态转移刻划,如图,3-1,所表示。,图,3-1,状态转移特征,第15页,当初始状态给定以后,系统状态转移特征就完全由状态转移矩阵所决定。,所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动全部信息。,可见,状态转移矩阵计算是齐次状态方程求解关键。,第16页,解,(1),首先求出矩阵指数函数,e,At,其计算过程为,例,试求以下状态方程在初始状态,x,0,下解,第17页,(3),状态方程解为,(,2,),计算矩阵指数函数,e,At,。,第18页,线性定常连续系统状态转移矩阵,下面深入讨论前面引入状态转移矩阵,主要内容为:,基本定义,矩阵指数函数和状态转移矩阵性质,第19页,1.,基本定义,定义,对于线性定常连续系统,x,=,A,x,当初始时刻,t,0,=0,时,满足以下矩阵微分方程和初始条件:,(,t,),=,A,(,t,),(,t,),|,t,=0,=,I,解,(,t,),为线性定常连续系统,x,=,A,x,状态转移矩阵。,这里定义状态转移矩阵与前面定义是一致。,引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵概念易于推广到时变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统状态方程解作统一描述,，更加好地刻划系统状态运动改变规律,。,第20页,2.,矩阵指数函数和状态转移矩阵性质,由矩阵指数函数展开式和,状态转移矩阵定义,可证实矩阵指数函数和状态转移矩阵含有以下性质,(,(,t,),为方阵,A,状态转移矩阵,),1),(0)=e,A,0,=,I,第21页,2),e,A,(,t,+,s,),=e,At,e,As,，,(,t,+,s,)=(,t,)(,s,),式中,t,和,s,为两个独立标量自变量,证实,由指数矩阵函数展开式,有,3),(,t,2,-,t,1,),-1,=(,t,1,-,t,2,),第22页,4),对于,n,n,阶方阵,A,和,B,下式仅当,AB,=,BA,时才成立,e,(,A,+,B,),t,=e,At,e,Bt,5),6),(,t,),n,=,(,nt,),7),(,t,2,-,t,1,),(,t,1,-,t,0,)=,(,t,2,-,t,0,),8),第23页,由状态转移矩阵意义,有,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,1,),x,(,t,1,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(t,0,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(,t,0,),而,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,0,),x,(,t,0,),所以，,性质,(,7,),表明,在系统状态转移过程中,既能够将系统一步状态转移分解成多步状态转移,也能够将系统多步状态转移等效为一步状态转移,如图所表示。,系统状态转移,第24页,例,求以下系统状态转移矩阵逆矩阵。,解,：,对于该系统,求得状态转移矩阵为,因为,-1,(,-t,)=(,t,),所以求得状态转移矩阵逆矩阵为,第25页,非齐次状态方程解,当线性定常连续系统含有输入作用时,其状态方程为以下非齐次状态方程:,x,=,Ax,+,Bu,该状态方程在初始状态,下解,也就是,由初始状态,x,(,t,0,),和输入作用,u,(,t,),所引发系统状态运动轨迹,。,第26页,下面用两种求解常微分方程方法,直接求解法,拉氏变换法,讨论非齐次状态方程解,以及,解表示式意义,输出方程解,第27页,1.,直接求解法,将状态方程,x,=,Ax,+,Bu,移项,可得,x,-,A,x,=,B,u,将上式两边左乘以,e,-,At,则有,e,-,At,x,-,A,x,=,e,-,At,B,u,即,d(,e,-,At,x,)/d,t,=,e,-,At,B,u,在区间,t,0,t,内对上式积分,则有,第28页,上式便是非齐次状态方程解。,当,t,00,时,解,x,(,t,),又可记为,即,所以,第29页,若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程解又可分别记为,第30页,2.,拉氏变换法,将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,)+,BU,(,s,),即,X,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,0,+,BU,(,s,),其中,X,(,s,),和,U,(,s,),分别为,x,(,t,),和,u,(,t,),拉氏变换。,对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有,上述求解关键为等式右边第二项。,第31页,下面先回顾卷积积分拉氏变换法则。,设,W,1,(,s,),和,W,2,(,s),分别为原函数,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),拉氏变换,则,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),卷积拉氏变换为,结果与直接求解法完全相同。,对上述状态方程求解式利用卷积分公式,则有,第32页,3.状态方程解意义,由前面讨论非齐次状态方程解知,线性定常连续系统状态方程解由两个部分相加组成。,第一个部分是,由初始状态所引发自由运动,它是系统,初始状态对系统状态转移影响,与初始时刻后输入无关,称为状态,零输入响应,。,第二个部分是,由输入所引发系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数卷积。,所以,它与输入相关,与,系统初始状态无关,称为状态,零状态响应,。,第33页,状态方程解表明,系统在任意时刻状态取决于系统初始状态,x,(,t,0,),和从初始时刻,t,0,以来输入。,假如人为地选择输入信号(施以控制),就能够使系统状态在状态空间中取得所期望状态轨线。,第34页,或,或,4.输出方程解,由非齐次状态方程解,x,(,t,),可得输出方程,y,=,Cx,+,Du,输出响应为,第35页,或,线性定常连续系统输出解由3个部分相加组成。,第一个部分是由初始状态所引发自由运动,第二个部分是由输入所引发系统强迫运动。,第三个部分是由直联项引发前馈响应。,第36页,例,已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程解。,解,在例,3-1,中已求出状态转移矩阵,(t),为,于是,系统状态方程在阶跃输入,u,(,t,)=1(,t,),下解为,第37页,第38页,系统脉冲响应,当系统输入为单位脉冲函数时,系统在零初始状态时输出响应称为脉冲响应。,单位脉冲函数,(,t,),可用下式来定义:,下面讨论线性定常系统脉冲响应。,第39页,由线性定常连续系统,输出,y,(,t,),表示式,可得系统脉冲响应,H,(,t,),即为,由卷积分性质可得,上式积分结果为,H,(,t,)=,C,e,At,B,=,L,-1,C,(,sI,-,A,),-1,B,所以,脉冲响应也反应了系统输入与输出间动态传递关系。,第40页,