弹性力学的基本方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 弹性力学基本方程和普通原理,2-1,载荷应力,2-2,平衡（运动）微分方程,2-3,斜面应力公式应力边界条件,2-4,位移几何方程,2-5,广义,Hooke,定律,第1页,2-6,弹性力学问题普通提法,2-7,指标表示法,2-8,迭加原理,2-9,弹性力学问题解唯一性原理,2-10,圣维南原理,第2页,2-1,载荷应力,1.,外力表示,外力：直接施加在物体上引发物体变形与内力,依据外力作用区域分为体积力和表面力,第3页,体积力：,分布在物体体积内，作用在物体内全部质点上，比如重力、惯性力、电磁力等。第4页,体力矢量表示为：,第5页,表面力：,作用在物体表面上外力，简称面力。比如，液体或气体压力，固体间接触力等，通惯用面力矢量,第6页,2.,应力,在载荷作用下，物体各部分之间要产生相互作用，这种物体内一部分对另一部分相互作用力，称为内力。,第7页,弹性体内一点内力集度表示为：,注意：同一点不一样截面上内力不一样,第8页,2.,应力分量,应力正负号要求：,正面上应力分量与坐标轴正方向一致为正，负面上应力分量与坐标负方向一致为正；反之为负。,第9页,应力分量：,第10页,1.,微元体：,首先，在物体内一点,P,附近，用三组坐标面平行平面截出一个微小平行六面体单元，三条棱边长度分别为,dx,、dy,、,dz,，如图,2-6,示。作用在微元体上体力三个分量仍用 和 表示。,2-2,平衡（运动）微分方程,第11页,第12页,2.,力平衡微分方程,由得：,第13页,又称纳维叶,(Navier),方程。,第14页,3.,力矩平衡方程（剪应力互等定理）。,第15页,3.,运动微分方程。,假如物体处于运动状态，依据达朗伯（,d,Alembert,）,原理，在体力项中引入惯性力：,和,这里,为材料密度，,t,为时间。,第16页,运动微分方程：,第17页,2-3,斜面应力公式应力边界条件,过物体内一点,P,取出一个微四面体，设斜面,面积为,d,A,，则三个负面面积分别为,第18页,第19页,1.四面体平衡方程,由,x,方向平衡条件得：,将各面面积代入得：,第20页,同理可得：,上式称为斜面应力公式，又称,Cauchy,公式。,第21页,2.,斜面上正应力与剪应力,第22页,3.,边界条件,上式称为应力边界条件，,l,m,n,为斜面,外法线方向余弦,第23页,2-4,位移几何方程,1.,位移,物体内各点位置改变量称为位移。,用,u,、,v,、,w,表示位移矢量,u,，沿,x,、,y,、,z,三个坐标方向分量，并要求沿坐标轴正方向,位移分量为正，反之为负。,研究物体位形改变，能够将位移分解成两类：,(1),物体刚体位移,(2),物体内质点间相对位移,第24页,2.,应变,线元相对伸长，称为正应变，沿,x,、,y,、,z,和,表示，即,方向线元正应变分别用,第25页,第26页,正交线元直角改变称为剪应变，沿,x,、,y,、,z,直角改变分,和,表示，,方向三个正交线元,别用,，,，,符号要求：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应,变以直角减小为正，反之为负。这种要求与应,力正负要求是一致。,第27页,.,几何方程,几何方程是物体变形过程位移应变关系,设弹性体内任一点位移分别为,u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，经过投影,变形分析来建立应变位移关系,第28页,物体变形位移及在坐标面上投影,第29页,以,oxy,平面上投影为例分析物体变形应变位移关系,第30页,以,oxy,平面上投影为例分析物体变形应变位移关系,第31页,P,点邻近点,A,和,B,坐标分别为,(x+dx,y,z),和,(x,y+dy,z),将，点位移按,Taylor,级数在点处展开：,点：,点：,第32页,在小变形条件下：,第33页,第34页,在小变形条件下,第35页,同例分析平面,yoz,和平面,zox,可得：,方程组称为几何方程，又称为柯西（,Cauchy),方程,第36页,2-5,广义,Hooke,定律,1.,简单应力状态,简单拉压：,纯剪切：,第37页,2.,复杂应力状态,第38页,3.,体积应变,称为体积应变,第39页,4.,用应变表示应力,同理,第40页,令,则第41页,于是,式中,中称为拉梅常数,注意：,是应变张量分量而不是,剪应变分量,上式称为用应变表示应力广义,Hooke,定律,第42页,上式还可深入写成：,第43页,2-6,弹性力学问题普通提法,我们经过对平衡、几何和物理三个方面分析,建立了弹性力学全部基本方程，即平衡（运动）,微分方程、几何方程和应力,-,应变关系；,第44页,又称纳维叶,(Navier),方程。,(1),平衡微分方程,第45页,运动微分方程：,第46页,(2),几何方程,方程组称为几何方程，又称为柯西（,Cauchy),方程,第47页,(3),应力,-,应变关系,(,本构关系,),应力,-,应变关系,(,本构关系,),第48页,用应变表示应力,-,应变关系,三大控制方程含盖全部弹性力学问题,方程组含有,15,个未知量,15,个方程，能够求解。,详细弹性力学问题,必须与对应弹性力学问题,为此需知详细问题边界条件。,第49页,（,4,）边界条件,（,）,应力边界条件,（,）,位移边界条件,（,）,混合边界条件,第50页,2-7,指标表示法,力分量、应力分量、应变分量和位移分量引用,记号法，是一个公认表示方法。但有因为控制方,程表示过于冗长，为降低篇幅，在力学等大多数文,献中，在理论推导采取指标表示。,1.,指标符号,含有相同性质一组量，能够用一个带下标,字母表示。,第51页,位移分量：,u,、,v,、,w,能够写成,，缩写后为,坐标：,x,、,y,、,z,能够写成,，缩写后为,单位基矢量：,能够写成,，缩写后为,应力分量：,能够写成,缩写后为,第52页,应变分量：,可用,表示,由此，向量 可表示为,在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取,在二维笛卡尔空间中，,下标用小写希腊字母表示，并取,第53页,三阶线性代数方程组,可表示为,引用求和记号以后，还能够深入简写为,第54页,2.,求和约定,于是上式可表示为,在表示式某项中，某指标重复出现一次，则,表示要把该项在该指标取值范围内遍历求和，这,就是爱因斯坦（,Einstein,）求和约定。,重复指标称为哑指标（或简称哑标）。,式中,i,，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。,第55页,注意,:,而,3.,求导数简记方法,第56页,比如,:,第57页,4.,克罗内克（,Kroneker,）,符号,定义,:,于是,第58页,(1),含有以下性质：,(2),(3),(4),第59页,5.,置换符号,置换符号用 表示,定义,:,(a),循环序列：,i,j,k,取不一样值，,第60页,(b),逆循环序列：,i,j,k,取不一样值,(c),非循环序列：,i,j,k,中有两个以上指标取,相同值,利用置换符号能够简化公式,（,1,）行列式,第61页,可表示为,（,2,）向量叉积,可表示为,第62页,当采取指标识法时,弹性力学问题控制方程,（在,V,内1,）平衡（运动）微分方程,（,2,）几何方程：,（在,V,内）,（,3,）应力,-,应变关系：,第63页,（在,V,内）,（在,V,内）,（在,V,内）,（,4,）边界条件,力边界条件：,（在 内）,位移边界条件：,（在 内）,第64页,2-8,迭加原理,考虑同一物体两组载荷情况,:,(,在 上）,(,在 上,),位移,第二组,:,体力,（在,V,内）,面力,(,在 上）,第一组,:,体力,（在,V,内）,位移,面力,(,在 上）,第65页,对第一组载荷应有,(,在,V,内,),(,在 上）,(,在 上）,第66页,对第二组载荷应有,(,在,V,内,),(,在 上）,(,在 上）,第67页,(,在,V,内,),(,在 上）,(,在 上）,将上面两组关系中对应方程相加得,若,则,(,在 上）,第68页,上式表示在体力 及面力 作用下,约束位移为 弹性力学问题解为,:,应力：,应变：,位移：,对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性,项，平衡微分方程将受到变形影响，因而叠加原,理不再适用。,对于非线性弹性或弹塑性材料，应力,-,应变关是,非线性，叠加原理不成立。,第69页,2-9,弹性力学问题解唯一性原理,唯一性定理：,在给定载荷作用下，处于平衡状态弹性体，,其内部各点应力、应变解是唯一，假如物体,整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一。,第70页,证实：设对应于同一组载荷 和约束条件,存在两组不一样解，分别记为,则,、,(,在,V,内）,第71页,(,在 上）,(,在 上）,及,(,在,V,内）,第72页,(,在 上）,(,在 上）,将以上两组关系中对应方程相减，得,(,在,V,内）,(,在 上）,(,在 上）,第73页,上式表明，两解之差：、和,对应了一个无体力、无面力自然状态。依据无,初应力假设，在自然状态下，有,可见，应力、应变解是唯一。,对应无变形状态，,为刚体位移（应力边值问题）或,与之对应位移,零位移（位移边值问题或混合边值问题）。当限,制刚体位移，则,第74页,2-10,圣维南原理,圣维南原理：,若作用在物体局部表面上外力，用一个静力,等效力系（含有相同主矢和主矩）代替，则离,此区域较远部分所受影响能够忽略不计。,若在物体一小部分区域上作用一自平衡力系，,则此力系对物体内距该力系作用区域较远部分不,产生影响，只在该力系作用区域附近才引发应力,和变形。,第75页,图,2-16,依据以上分析，利,用圣维南原理能够放宽,边界条件。,圣维南原理两种,提法是等价。,第76页,对于薄壁构件,（薄壁杆件或薄壳），,使用圣维南原理时要,慎重。,注意：,当载荷作用区域大于物体受力处截面组成部分,最小尺寸时，圣维南原理无效。,第77页,第二章结束,第78页,