曲线曲面的计算机数学处理.pptx

2、插值的基本思路插值的基本思路是先设法对列表函数f(x)构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式，然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。几种常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法等。（二）拉格朗日插值法当当n=1n=1时，要构造通过两点时，要构造通过两点(x0,y0 )和和(x1,y1)的不超过的不超过1 1次的多项式次的多项式p1(x)(后面记作后面记作L1(x)，使得，使得y 0 x y=f(x)y=L1(x)x0 x1 称为线性（一次）插值称为线性（一次）插值（两点式）（两点式）（点斜式）（点斜式）拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 .根据插值的定义 应满足先定义 次插值基函数.为构造 ，定义定义1 1就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数次插值基函数.若 次多项式 在 个节点 上满足条件第一个条件表明,上式应以x0、x1xk-1,xk+1.xn 为根，故应有下列形式是常数，可由第二个条件得到 于是可得插值多项式 可表示为 可得n次插值基函数为（三）牛顿插值法牛顿插值也叫均差插值，也是利用多项式进行插值的方法。若对一元函数y=f(x),令yi=f(xi),是在区间x0,x1上，函数的增量与自变量的比值，即函数在此区间上的平均变化率，称为函数f(x)的一阶方差。由一阶方差的定义可知，一阶方差与点的排列次序无关，叫做一阶方差的对称性。如线性插值可以表示成如下形式：如果再增加一个新点（x2,y2），其插值形式可表示为上式含义为一阶均差的均差，称为函数f(x)的二阶均差，记为f(x0,x1,x2)依次类推，可得经直接计算可得由上式可以推知，二阶均差也与点的排序无关，也具有对称性。由此可以归纳出高阶均差的定义：k-1阶均差的均差称为k阶均差，即由上述各阶均差的定义与记号，可以把满足N+1个型值点插值条件的n次插值多项式表达为上式就是牛顿形式的n次插值多项式，因它用均差作系数，故常称为均差插值多项式。牛顿插值多项式的优点：多项式的系数恰好是直到n阶的均差，各项外形的规律性强；当增加一个新的型值点后再计算某点的插值时，前次运算的结果仍然有用，只要把最后一项的值算出后累加上去即可。（四）样条插值法1、样条函数源于物理样条u物理样条实际上是一种绘制模线的工具，一般采用一根富有弹性的木条或薄金属条、有机玻璃条来作为样条。人们在绘制船舶、汽车和飞机的外形放样条曲线时，用压铁压在一批点上，强迫样条通过这些离散的型值点，经过调整压铁，使样条作弹性变形，当认为形状合适后，使可沿样条画出所需要的曲线。u由于物理样条得到了适当的利用，可获得令人满意的曲线，所以有理由对物理样条进行数学模拟，并用它来描述数控加工工件的外形轮廓曲线。2、三次样条函数的定义设在XOY平面上给定n+1个有序的型值点列(x0,y0)，(x1,y1)，(xn,yn)其中，x0 x1xn。若有函数s(x)适合下列条件1)s(xi)=yi（i=0，1，2，n）；2)s(x)在区间(x0,xn)上二阶连续可导；3)在每一个子区间(xi-1,xi)上，s(x)是x的3次多项式。则称函数s(x)是关于型值点列的三次样条函数。简言之，三次样条函数就是全部通过型值点，二阶连续可导的分段三次多项式函数。3、三次样条函数插值求解1)利用公式其中系数为此方程组的系数矩阵是n+1阶方阵，并且是三对角线方程组，主对角线元素等于2，其行列式不等于零，因而方程组有唯一确定的解。2)利用插值式计算相应区间的加密数值。二、拟合拟合也称逼近，在实际工程中，因实验数据常带有测试误差，上述插值方法均要求所得曲线通过所有的型值点，反而会使曲线保留着一切测试误差，特别是当个别误差较大时，会使插值效果显得很不理想。因此，在解决实际问题时，可以考虑放弃拟合曲线通过所有型值点的这一要求，而采用别的方法构造近似曲线，只要求它尽可能反映出所给数据的走势即可。如常用拟和方法之一的最小二乘法，就是寻求将拟合误差的平方和达到最小值(最优近似解)来对曲线进行近似拟合的。n上面提到的插值，拟合过程等，在数控加工的编程工作中，一般均被称为第一次逼近（或称第一次数学描述），由于受数控机床控制功能的限制，第一次逼近所取得的结果一般都不能直接用于编程，而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据，这一拟合过程在编程中被称为第二次逼近（或称为第二次数学描述）。求通过平面的型值点(xi,yi )（i=1n）的近似曲）的近似曲线。线。假设曲线方程为一个多项式为了确定m+1系数j，可将已知的型值点坐标代入上式，可得如下线性方程组显然，方程的个数大于未知数的个数，一般无解。给出一组系数的值，带入上式就会出现偏差，记作则这些差的平方和为给出这组系数解得原则是，使其误差的平方和s最小，这样确定近似曲线系数的方法叫最小二乘逼近。欲使s最小，则使其系数的偏导数为零，即三、光顺n为了降低在流体中运动物体（如飞机、船舶、汽车等）的运动阻力，其轮廓外形不但要求做得更流线一些，而且要求美观，看上去舒服顺眼，因此就构成了光顺的概念。可见，“光顺”实际上是个工程上的概念，因光顺要求光滑，但光滑并不等于光顺，所以不能与数学上的“光滑”概念等同。n光顺的条件包括两个方面的要求：其一是光滑，至少一阶导数连续；其二是曲线走势，其凹凸应符合设计目的。但大量实践表明，仅满足上述两个必要条件，尚不能获得满意结果，故还应增加光顺的充分条件，即：曲线的曲率大小变化要均匀。n光顺问题是计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）提出的专门课题，也是一个非常复杂，难度较大的问题。目前对曲线与曲面的光顺方法很多，在数控加工实践中常用的是“局部回弹法”。