新人教版垂径定理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,24.1.2 垂径定理,光山县永济中学 黄克生,第1页,？,1、我们所学圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心每一条直线都是它们对称轴,.,2、我们所学圆是不是中心对称图形呢？,圆是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,第2页,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧结晶它主桥是圆弧形,它跨度(弧所正确弦长)为37.4m,拱高(弧中点到弦距离)为7.2m，,你能求出赵洲桥主桥拱半径吗？,赵州桥主桥拱半径是多少,？,问题情境,第3页,如图，,AB,是,O,一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（1）这个图形是轴对称图形吗？假如是，它对称轴是什么？,（2）你能发觉图中有那些相等线段和弧？为何？,?,思,考,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（1）是轴对称图形直径,CD,所在直线是它对称轴,（2）线段：,AE=BE,弧：，,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,和,重合，,和,重合,第4页,直径平分弦，而且,平分及,O,A,B,C,D,E,即,，,垂径定理：,垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧,第5页,AM=BM,由 CD是直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,几何语言表达,垂径定理：,垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧,第6页,以下图形是否具备垂径定理条件？,是,不是,是,不是,O,E,D,C,A,B,深化：,第7页,垂径定理几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,第8页,思索：,平分弦（不是直径）直径有什么性质？,第9页,如图:,AB是O一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM,垂径定理,推论,O,A,B,C,D,M,连接OA,OB,则OA=OB.,在OAM和OBM中,OA=OB，OM=OM，AM=BM,OAMOBM.,AMO=,BMO.,CDAB,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.,AC=BC,AD=BD.,平分,弦（不是直径）直径,垂直,于弦,而且,平分,弦所正确两条,弧,.,第10页,（1）,（4）,（5）,（2）,（3）,（1）,（5）,（2）,（3）,（4）,讨论,（1）,（3）,（2）,（4）,（5）,（1）,（4）,（2）,（3）,（5）,（1）过圆心（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧（5）平分弦所正确劣弧,（3）,（5）,（3）,（4）,（1）,（2）,（5）,（2）,（4）,（1）,（3）,（5）,（2）,（5）,（1）,（3）,（4）,（1）,（2）,4）,（4）,（5）,（1）,（2）,（3）,O,A,B,C,D,M,每条推论怎样用语言表示？,第11页,（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧,（2）弦垂直平分线经过圆心，而且平分弦所正确两条弧,（3）平分弦所正确一条弧直径，垂直平分弦，而且平分弦所正确另一条弧,（4）（5）（6）,（7）（8）（9）,九条推论,第12页,依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。假如具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦,（4）平分弦所正确优弧 （5）平分弦所正确劣弧,上述五个条件中任何两个条件都能够推出其它三个结论 (,五个量知二求三,）,结论,第13页,（,小试牛刀,）一判断以下说法正误,平分弧直径必平分弧所正确弦,平分弦直线必垂直弦,垂直于弦直径平分这条弦,平分弦直径垂直于这条弦,弦垂直平分线是圆直径,平分弦所正确一条弧直径必垂直这条弦,在圆中，假如一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所正确弧,分别过弦三等分点作弦垂线，将弦所对,两条弧分别三等分,O,A,B,C,D,M,第14页,3半径为2cm圆中，过半径中点且,垂直于这条半径弦长是,。,8cm,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,1半径为4cmO中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB距离是,。,2 O直径为10cm，圆心O到弦AB 距离为3cm，则弦AB长是,。,（,再显身手,）,二填空：,第15页,O,A,B,C,D,1.两条弦在圆心同侧,O,A,B,C,D,2.两条弦在圆心两侧,4、O半径为10cm，弦ABCD，,AB=16，CD=12，则AB、CD间,距离是,_,.,2cm,或14cm,第16页,如图,ABC三个顶点在O上，OEAB于E，OF AC于F。,求证：EFBC，EF=,巩固提升,O,A,B,C,E,F,证实：OEAB E为AB中点,OF AC F为AC中点,EF为三角形ABC中位线,EFBC，EF=,第17页,1如图，在,O,中，弦,AB,长为8,cm,，圆心,O,到,AB,距离为3,cm,，求,O,半径,O,A,B,E,再来！你行吗？,解：,答：,O,半径为5,cm.,在Rt AOE 中,OEAB,第18页,2：已知：如图，在以O为圆心两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C，D两点。,求证：ACBD。,证实：过O作OEAB，垂足为E，,则AEBE，CEDE。,AECEBEDE。,所以，ACBD,E,.,A,C,D,B,O,实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直线段.就能够利用垂径定理来处理相关问题了,.,第19页,3、已知：O中弦ABCD。,求证：ACBD,证实：作直径MNAB。,ABCD，MNCD。,则AMBM，CMDM（垂直平分弦直径平分弦所正确弦）,AMCMBMDM,ACBD,.,M,C,D,A,B,O,N,你能讲解吗？,夹在两条平行弦间弧相等,.,你能有一句话概括一下吗？,第20页,小结:,处理相关弦问题，经常是过圆心作弦垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,第21页,体会.分享,说出你这节课收获和体验，让大家与你一起分享！,第22页,圆是轴对称图形,经过圆心每一条直线都是它对称轴.,垂直于弦直径平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.,垂径定理:,在处理相关圆问题时，能够利用,垂径定理,将其转化为,解直角三角形中,勾股定理,问题。,依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。假如具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦,（4）平分弦所正确优弧 （5）平分弦所正确劣弧,上述五个条件中任何两个条件都能够推出其它三个结论,小结：知识盘点,第23页,垂径定理与推论应用,第24页,如图，O直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，,求OP取值范围.,O,A,B,P,练习,3,OP,5,第25页,例1 如图，已知在O中，弦AB长为8厘米，圆心O到AB距离为3厘米，求O半径.,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米,在RtAOE中，依据勾股定理有OA5厘米 O半径为5厘米。,.,A,E,B,O,讲解,第26页,例、图示，在圆中，弦长为厘米，圆心到距离为厘米，求圆半径。,例题图 变式题图 变式题图,变式：若以为圆心，再画一个圆交与、两点，则与之间存在怎样大小关系？,变式：若以为圆心，在变式题图基础上再画一个圆，则与，与之间存在怎样大小关系？,第27页,变式：在变式题图基础上，连结、，将大圆隐去，得到下列图，设，试证实。,变式：在变式题图基础上，将小圆隐去，得到下列图，设CD，试证实。,变式题图 变式题图,第28页,学生练习,已知：AB是O直径，CD,是弦，AECD，BFCD,求证：ECDF,.,A,O,B,E,C,D,F,第29页,如图,A、B、C在圆上,且AB=AC=5厘米,BC=8厘米，求圆半径。,试一试,B,C,A,O,D,第30页,2.已知，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，BED=30,，,求CD长。,说明：,处理相关圆问题，,经常需要添加辅助线，,针对各种详细情况，辅助线添加有一定规律，本例和上例中作,“,垂直于弦直径,”,就是一个很好例证。,练习,E,O,A,B,C,D,F,第31页,在直径是20cm,O中，,AOB度数是60,那么弦AB弦心距是,.,D,A,B,O,圆,圆心,到圆上,弦,距离叫做弦心距。,第32页,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为相互垂直且相等两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证实：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形.,第33页,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧结晶它主桥是圆弧形,它跨度(弧所正确弦长)为37.4m,拱高(弧中点到弦距离)为7.2m，,你能求出赵洲桥主桥拱半径吗？,赵州桥主桥拱半径是多少,？,问题情境,第34页,解得：,R,279（,m,）,B,O,D,A,C,R,处理求赵州桥拱半径问题,在Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+（,R,7.2）,2,赵州桥主桥拱半径约为27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4，,CD,=72，,OD=OC,CD,=,R,7.2,解：因为,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，依据前面结论，,D,是,AB,中点，,C,是 中点，,CD,就是拱高,实践应用,7.2,18.7,第35页,如图，弓形ABC中，弦AC长为8厘米，弦中点到劣弧中点间长度是2厘米，,求圆半径。,练习,A,B,C,D,O,x,4,2,x,-2,第36页,A,B,O,E,D,油最大深度,ED=ODOE=200(mm),或者油最大深度,ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为650mm圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油最大深度。,OE=125(mm),(2),B,A,O,E,D,解：,第37页,练习,如图，某城市住宅小区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形仿古通道，其中半圆拱圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米送家俱卡车，问这辆卡车能否经过通道，请说明理由。,第38页,解：如图，用半圆O表示通道上面半圆，AB为直径，弦CD平行AB，过O作于E，连结OD，据垂径定理知：,练习,第39页,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC,AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m货船要经过拱桥，此货船能否顺利经过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,第40页,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱,所在圆圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根,据垂径定理,D是AB中点,C是 中点,CD就是拱高.,由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R=3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利经过这座拱桥,.,第41页,