高考数学考点突破——选考系列：参数方程.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料参数方程【考点梳理】1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数xft，ygt并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么xft，ygt就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致3常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)xx0tcos，yy0tsin(t为参数)圆x2y2r2xrcos，yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b2 1(ab0)xacos，ybsin(为参数)【考点突破】考点一、参数方程与普通方程的互化【例 1】已知曲线C1：x 4cos t，y3sin t(t为参数)，C2：x 8cos，y 3sin(为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：x32t，y 2t(t为参数)距离的最小值.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 解析 (1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x4)2(y3)2 1.同理曲线C2的普通方程为x264y29 1.C1表示圆心是(4，3)，半径是1 的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是3 的椭圆.(2)当t2时，P(4，4)，又Q(8cos，3sin)，故M24cos，232sin ，又C3的普通方程为x2y70，则M到直线C3的距离d55|4cos 3sin 13|55|3sin 4cos 13|55|5(sin )13|其中 满足 tan 43，所以d的最小值为855.【类题通法】1将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法加减消元法、三角恒等变换消去参数2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形【对点训练】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 3cos ，y sin(为参数)，直线l的参数方程为xa4t，y1t(t为参数).(1)若a 1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解析 (1)a 1 时，直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是x29y21，联立方程x4y 30，x29y21，解得x 3，y 0或x2125，y2425.则C与l交点坐标是(3，0)和 2125，2425.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)直线l的普通方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos，sin).则P到l距离d|3cos 4sin 4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan 34.又点C到直线l距离的最大值为17.|5sin()4a|的最大值为17.若a0，则 54a 17，a8.若a0，则 54a17，a 16.综上，实数a的值为a 16 或a8.考点二、参数方程的应用【例 2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos，y22sin(为参数)，直线l的参数方程为x 122t，y22t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|PN|的值.解析 (1)直线l的参数方程为x122t，y22t(t为参数)，消去参数t，得xy1 0.曲线C的参数方程为x2cos，y22sin(为参数)，利用平方关系，得x2(y2)24，则x2y24y0.令 2x2y2，ysin，代入得C的极坐标方程为4sin.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)在直线xy10 中，令y0，得点P(1，0).把直线l的参数方程代入圆C的方程得t232t10，t1t232，t1t21.由直线参数方程的几何意义，|PM|PN|t1t21.【类题通法】过定点P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)，t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如xx0at，yy0bt(t为参数)，当a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.【对点训练】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x5cos，ysin(为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 42.l与C交于A，B两点.(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设点P(0，2)，求|PA|PB|的值.解析 (1)由曲线C：x5cos，ysin(为参数)消去，得普通方程x25y21.因为直线l的极坐标方程为 cos 42，即 cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)点P(0，2)在l上，则l的参数方程为x22t，y 222t(t为参数)，代入x25y21 整理得 3t2102t15 0，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由题意可得|PA|PB|t1|t2|t1t2|1023.考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用【例 3】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x2t，ykt(t为参数)，直线l2的参数方程为x 2m，ymk(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin)20，M为与C的交点，求M的极径.解析 (1)由l1：x2t，ykt(t为参数)消去t，化为l1的普通方程yk(x 2)，同理得直线l2的普通方程为x2ky，联立，消去k，得x2y24(y0).所以C的普通方程为x2y24(y0).(2)将直线l3化为普通方程为xy2，联立xy2，x2y24得x322，y22，2x2y2184245，与C的交点M的极径为5.【类题通法】1参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，可化繁为简【对点训练】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料已知曲线C的参数方程为x22cos，y2sin(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin64.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线 3与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线116与曲线C交于O，P两点，求PAB的面积.解析 (1)由x22cos，y2sin(为参数)，消去.普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos 0，即 4cos，因为直线l的极坐标方程为 sin64，即32sin 12cos 4，直线l的直角坐标方程为x3y80.(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为2，3，4，3，联立射线116与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为23，116，|AB|2，SPAB12223sin36 23.