1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016/5/26,#,义务教育教科书 浙教版 九年级,最,短路线问题,在中考数学复习中的应用,浙江省建德市航头初级中学,：蔡晓庆,课堂导入,练习,1,：如图，直线,L,同侧有,A,、,B,两点，,AC=3,，,BD=4,，,CD=5,，在直线,L,上找一点,P,，求,PA+PB,的最小值,。,B,l,A,C,D,P,模型,1,：两定点在直线同侧,作法：,利用轴对称变换，作一定点关于直线的对称点，将这一对称点与另一点相连，连线与直线的交点就是所求的点,。,练习,2,：,如图，直线,L,两侧,有,A,、,B,两
2、点，,AC=3,，,BD=4,，,CD=5,，在直线,L,上找一点,P,，求,PA+PB,的最小值。,P,A,B,l,模型,2,：两定点在直线异侧,作法：,连线,两定点，,与,直线的交点就是所求的点。,应用模型,应用,1,.,如,图，正方形,ABCD,的面积为,12,，,ABE,是等边三角形，点,E,在正方形,ABCD,内，在对角线,AC,上有一点,P,，使,PD+PE,最小，则这个最小值为,（,）。,A,.,B.,C.,D,.,A,D,C,B,E,P,A,D,C,B,E,P,B,找到对应的模型,模型,1,应用模型,应用,2.,如图，,AB,是圆,O,的直径，,AB=8,，点,M,在圆,O,上
3、MAB=30,，,N,是弧,MB,的中点，,P,是直径,AB,上的一动点，若,MN=1,，则,PMN,周长的最小值为（,）。,A.4 B.,C.,+1,D.6,P,N,B,M,A,O,P,N,B,M,A,O,C,应用模型,应用,3.,（造桥选址问题）如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,，桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,A,B,M,N,a,b,作法,：,1,.,将点,B,沿,垂直于河岸,的方向,平移,一个河宽到,E,；,2,.,连接,AE,交河,对岸于点,M,，,MN,垂直于河岸，即桥的位置。,
4、A,B,M,N,E,选,桥问题解决方案,证明：,当桥建在,MN,处时，,由,平移的,性质,得四边形,MNBE,是平行四边形,所以,BN=EM,则,AB,两地,的距离为,:,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,当,桥,的位置建在,CD,处时，,连接,AC.CD.DB.CE,四边形,CDBE,是,平行四边形,所以,BD=CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,所以桥的位置建,在,MN,处,，,AB,两地的路程最短。,A,B,M,N,E,
5、C,D,例题,1,：,如图，已知,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,。,模型变式,1,N,O,M,E,C,A,D,B,N,O,M,A,问,：,假如,C,点固定，,何时,AB+BC,最,短,？,假如,B,点,固定，,何时,AC+BC,最,短,？,作法：,(1),作点,A,关于直线,OM,的对称点,D,；,(2),作点,A,关于直线,ON,的对称点,E,；,(3),连接,DE,，与直线,OM,，,ON,分别相交于点,B,，,C,，点,B,，,C,即为所求,变式练习：,如,图，,AB,是锐角,MON,内部一条
6、线段，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,C,，,D,组成四边形,ACDB,，使四边形周长最小。,N,O,M,A,B,（解答图）,例题,2,：,如图，在矩形,ABCD,中，,AB=8,，,BC=4,，若点,P,，,Q,分别是线段,AC,、,AB,上的两个动点，求,PB+PQ,的最小值。,解：作,点,B,关于直线,AC,的对称点,B,；,过,点,B,作直线,B,Q,垂直于,AB,，垂足为点,Q,，与直线,AC,交于点,P,。,AC,=,=,，,=,，,=,=,=,CAB,，,=,ABC=90,，,CAB,=,，,Q=,=,A,P,D,C,B,Q,A,P,D,C,B,Q,B,（解答图）,直线外一点到直线的垂线段最,短,模型变式,2,课后思考：,如,图，在平面直角坐标系中，,A,（,0,3,），,B,（,4,0,），,C,、,D,、,E,分别是边,AO,、,OB,、,AB,上的点，求,CDE,周长的,最小值,。,（,1,）若点,E,是线段,AB,的中点；,（,2,）若点,E,是线段,AB,上的任一点。,O,D,A,C,B,E,Y,X,课堂小结,1.,最短路径问题的基本思想：化曲为直。,2.,最短路径问题的解决方法：建立模型，利用轴对称,变换、,平移变换找出最短路径。,
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