第13讲 随机变量的函数的分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 随机变量及其分布,*,第,*,页,2.1,随机变量及其,分布,2.2,随机变量的数学期望,2.3,随机变量的方差与标准差,2.4,常用离散分布,2.5,常用连续分布,2.6,随机变量函数的分布,2.7,分布的其他特征数,第二章,随机变量及其分布,这类问题一般的提法是：若,X,是随机变量，求,Y=g(X),的分布,(,其中,y=g,(,x,),是,x,的一个实值函数,),。,为了求,Y,的分布，首先我们要理解,Y,是一个怎样的随机变量，设,X,是定义在样本空间,=,上的随机变量，那么,Y=Y()=g(X(),，,由此可见,Y,亦是定义在,上的随机变量，它是经过,g(.),与,X(.),复合而成的。,2.6,随机变量函数的分布,例如：,已知,X,的分布，求,Y,=,g,(,X,),的分布。,例如：,Y,1,=4,X,+3,；,Y,2,=|,X|,；,Y,3,=,X,2,.,设,X,是离散型随机变量，则,Y=g(X),一般也是离散型随机变量。此时，只需由,X,分布律求得,Y,的分布律即可。,X,1 0 1 2 3,P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10,求,(1)Y=X,1;(2)Y=,2X,2,的分布律,例,1:,设离散型随机变量,X,的分布律为,2.6.1,离散型随机变量函数的分布,解,:,由,X,的分布律可得下表,P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X,1 0 1 2 3X1 2 1 0 1 22X,2,2 0 2 8 18,由此可见,(1)Y=X1,的所有可能取值为,-2,-1,0,1,2,，,且,PY=2=PX=1=2/10 ;PY=1=PX=0=1/10,；,PY=0=PX=1=1/10 ;PY=1=PX=2=3/10,；,PY=2=PX=3=3/10,。,(2),Y=,2X,2,的所有可能取值为,-18,-8,-2,0;,且,PY=,18=PX=3=3/10;PY=,8=PX=2=3/10,；,PY=,2=PX=1+PX=,1=1/10+,2/10=3/10,;,PY=0=PX=0=1/10,；,故得,Y=X-1,的分布律为,Y,2,1 0 1 2,P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10,故得,Y=,2X,2,的分布律为,Y,18,8,2 0,P 3/10 3/10 2/5 1/10,一般地，我们先由,X,的取值,x,k,，,k=1,，,2,，,求出,Y,的取值,y,k,=,g,(,x,k,),，,k=1,，,2,如果全部,y,k,都不相同，则由,P,Y=,y,k,=P,X=,x,k,可得,Y,的分布律；,如果全部,y,k,中有某些取值相同，则把相应的,X,的取值的概率相加。,设,X,为连续型随机变量，具有概率密度f,x,(,x,),，又,Y=g(X),，,在大部分情况下,Y,也是连续型随机变量，若,Y,是连续型随机变量，考虑求出,Y,的概率分布。,可先求出,Y,的分布函数,F,Y,(y),：,因为,F,Y,(y)=PYy=Pg(X)y,，设,l,y,=,x,|g(,x,),y,则,2.6.2,连续随机变量函数的分布,1,一般方法,计算的关键在于确定积分区间,l,y,，,即解不等式,g(x)y,得出,x,的解区间,l,y,。,这种方法我们称之为,分布函数法,。,再由,F,Y,(y),进一步求出,Y,的概率密度,例,2:,设随机变量,X,具有概率密度,求,Y=2X+1,的概率密度,.,解,:,先求,Y,的分布函数,y=2x+1,x,y,1,4,0,9,当,y9,时,F,Y,(y)=1,(y,1)/20 F,Y,(y)=0,当,y0,时，有,于是得,Y,的概率密度为,例,3:,设随机变量,X,具有概率密度,f,X,(x),求,Y=X,2,的,概率密度。,例如：设,X,N(0,，,1),，,其概率密度为,则,Y=X,2,的概率密度为,此时称,Y,服从,自由度为,1,的,卡方,分布,。,定理,2.6.1,设,X,p,X,(,x,),，,y,=,g,(,x,),是,x,的严格,单调函数，记,x,=,h,(,y,),为,y,=,g,(,x,),的反函数,且,h,(,y,),连续可导，则,Y,=,g,(X,),的密度函数为,:,当函数,y=g(x),可导且为严格单调函数时，我们有下面一般结果,2.,特殊方法,这里,我们只证,g(x,),在,(,+),严格单调增的情形，此时它的反函数,h(y),在,(a,，,b),也,严格单调增。现在先来求,Y,的分布函数,F,Y,(y,),。,因为,Y=g(X),在,(a,，,b),取值，故当,y,a,时，,F,Y,(y)=PYy=0,；,当,y,b,时，,F,Y,(y)=PYy=1,；,当,ay0(,或恒有,g,(x)0,时,由此得,解：,正态变量的线性不变性,定理,2.6.2,设,X,N,(,2,),，,则当,a,0,时，,Y,=,aX+b,N,(,ab,a,2,2,).,由此得：,若,X,N,(,2,),，,则,Y,=(,X,)/,N,(0,1).,关于随机变量函数的分布的另外几个结论,定理,2.6.3,:,设随机变量,X,N(,2,),则,服从,对数,正态分布,即具有如下概率密度函数,定理,2.6.4:,设随机变量,X,(,，,),则当,k0,时,有,定理,2.6.5:,设随机变量,X,的分布函数,为严格单调的,连续函数,其反函数 存在,.,则,2.7,分布的,其它特征数,矩、变异系数、分位数、中位数,2.7.1,k,阶原点矩和中心矩,k,阶原点矩,：,k,=,E,(,X,k,),，,k,=1,2,.,注意,:,1,=,E,(,X,).,k,阶中心矩,：,k,=,E,X,E,(,X,),k,，,k,=1,2,.,注意,:,2,=,Var(,X,).,定义,2.7.1,2.7.2,变异系数,定义,2.7.2,为,X,的变异系数,.,作用,：,称,C,V,是无量纲的量,用于比较,量纲不同,的两个随机变量的波动大小,.,2.7.3,分位数,P,(,X,x,p,)=,F,(,x,p,)=,p,定义,2.7.3,设,0,p,1,，,若,x,p,满足,则称,x,p,为此分布,p,-,分位数,，,亦称,x,p,为,下侧,p,-,分位数,.,注 意 点,(1),因为,X,小于等于,x,p,的可能性为,p,，,所以,X,大于,x,p,的可能性为,1,p,.,(2),对离散分布不一定存在,p,-,分位数,.,(3),上侧,p,-,分位数,若记,x,p,为,上侧,p,-,分位数,，即,则,P,(,X,x,p,),=,p,2.7.4,中位数,定义,2.7.4,称,p,=0.5,时的,p,分位数,x,0.5,为,中位数,.,中位数与均值,相同点,：,都是反映随机变量的位置特征,.,不同点,：,含义不同,.,统计中常用的,p,-,分位数,(1),N,(0,1)：,Z,U,(2),2,(,n,),：,(3),t,(,n,),：,(4),F,(,n,m,),：,