微积分(下)总复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高等数学,III,（微积分下）不考内容,第六章 定积分及其应用,1,、第六节 反常积分与,函数不考,2,、第八节 定积分的经济应用不考,第七章 向量代数与空间解析几何,第四节至第七节不考,第八章 多元函数微分学,1,、第二节 四小节 偏导数在经济分析中的应用不考,2,、第三节 二小节 全微分在近似计算中的应用不考,3,、第五节 二小节 方程组的情形不考,4,、第七节 最小二乘法不考,第九章 二重积分,第二节 三小节 无界区域上的反常二重积分不考,第十章 微分方程与差分方程,1,、第二节 四小节 一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介不考,2,、第三节不考,3,、第六节至第九节不考,第十一章 无穷级数,1,、第四节 一小节 函数的泰勒级数 三小节 函数展成泰勒级数的间接方法不考,2,、第五节不考,高等数学,III,（微积分）,(,下）,总复习,第六章 定积分及其应用,问题,1:,曲边梯形的面积,问题,2:,变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分,的性质,定积分的,计算法,牛顿,-,莱布尼茨公式,一、主要内容,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量,的特点,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,2.,可积的两个,充分,条件：,定理,1,定理,2,1.,定积分的定义,3.,定积分的性质性质,1,性质,2,性质,3,性质,5,推论：,（1）,（2）,性质,4,性质,7(,定积分中值定理,),性质,6,积分中值公式,4.,牛顿,莱布尼茨公式,定理,1,定理,2,（原函数存在定理）,定理,3,（微积分基本公式）,也可写成,牛顿,莱布尼茨公式,5.,定积分的计算法,换元公式,（,1,）换元法,（,2,）分部积分法,分部积分公式,.,),(,),(,:,),(,),(,方法称微元法,计算积分或原函数的,这种取微元,积分,的无限积累,到,从,就是其微分,所求总量,理论依据：,d,x,x,f,d,x,x,f,U,b,a,d,x,x,f,d,U,U,b,a,=,=,6.,微元法理论依据,解题步骤,7.,定积分应用的常用公式,(1),平面图形的面积,直角坐标情形,(2),体积,x,y,o,平行截面面积为已知的立体的体积,二、典型例题,例,1,解,1.,变上限函数求导,答,问,例,2,解,2.,定积分计算,例,3,解,例,4,解,是偶函数,例,5,由,1.,求,其所围成的,图形的面积,.,所围的,平面图形如图所示,0,x,y,1,2.,它绕,x,轴旋转而成的,旋转体体积,解,1.,2,.,奇函数,计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,例,7,计算,解,第七章 向量代数与空间解析几何,1,、空间曲线方程的概念,空间曲线可以看作两个曲面的交线,.,设曲线,是曲面,S,1,与,S,2,的交线,因此,曲线,可以用上述方程组来表示,。,上述方程组叫做,空间曲线,的一般方程,。,则点,P,在曲线,上当且仅当,点,P,的坐标满足方程组,S,1,F,1,(,x,y,z,),=,0,S,2,F,2,(,x,y,z,),=,0,而曲面的方程分别为,S,1,S,2,F,1,(,x,y,z,),=,0,F,2,(,x,y,z,),=,0,抛物柱面,平面,(Cylinder of the second order parabolic),2,、柱面,(cylinder),从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线,/,轴,双曲柱面 母线,/,轴,抛物柱面 母线,/,轴,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,3,、旋转曲面,(surfaces of revolution),将 代入,得方程,例,1,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,(hyperboloid),旋转椭球面,旋转抛物面,(Ellipsoid),(,Paraboloid,),消去变量,z,后得：,曲线关于 的,投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,.,投影柱面的,特征,：,4,、空间曲线在坐标面上的投影,如图,:,投影曲线的研究过程,.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的,投影曲线,面上的,投影曲线,空间曲线在 面上的,投影曲线,截线方程为,解,如图,第八章 多元函数微分学,平面点集,和区域,多元函数,的极限,多元函数,连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数,的性质,多元函数概念,一、主要内容,全微分,的应用,高阶偏导数,隐函数,求导法则,复合函数,求导法则,全微分形式,的不变性,偏导数在,经济上的应用,多元函数的极值,全微分,概念,偏导数,概念,1.,区域,（,1,）邻域,2.,多元函数概念,3.,多元函数的极限,说明：,（,1,）定义中 的方式是任意的；,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4.,极限的运算,5.,多元函数的连续性,6.,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上一定有最大值和最小值,（,2,）最大值和最小值定理,（,1,）有界性定理,有界闭区域,D,上的多元连续函数是,D,上的有界函数,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（,3,）介值定理,7.,偏导数概念,8.,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,.,9.,全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,10.,复合函数求导法则,以上公式中的导数,称为,全导数,.,隐函数的求导公式,11.,隐函数的求导法则,12.,多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义,一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的,驻点,.,极值点,注意,驻点,条件极值,：对自变量有附加条件的极值,二、典型例题,例1,解,例,2,解,解,解,解,所求全微分,例,5,解,分析,:,得,第九章 重 积 分,定 义,几何意义,性 质,计算法,二重积分,一、主要内容,.,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,1.,二重积分的定义,性质,当 为常数时，,性质,.,二重积分的性质,性质,对区域具有可加性性质,若 为,D,的面积,性质,若在,D,上，,特殊地,性质,性质,（,二重积分中值定理）,.,二重积分的计算,X,型,X-,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,（,）直角坐标系下,Y,型,区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,Y,型,（,）极坐标系下,5.,二重积分的几何应用,（,）计算平面图形的面积,（,2,）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积,二、典型例题,例1,解,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,例3,解,例4,解,第十章微分方程,基本概念,一阶方程,类 型,1.,直接积分法,2.,可分离变量,3.,齐次方程,4.,线性方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,相关定理,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,微分方程,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,变量代换法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,降阶,作变换,1.,微分方程基本概念,微分方程,微分方程的阶,微分方程的解,通解,特解,初始条件,初值问题,(1),可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2.,一阶微分方程的解法,(2),齐次方程,解法,作变量代换,(3),一阶线性微分方程,上述方程称为齐次的,上述方程称为非齐次的,.,齐次方程的通解为,（用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（用常数变易法）,3.,可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解,型,解法,代入原方程,得,特点,型,解法,代入原方程,得,.,线性微分方程解的结构,（,1,）二阶齐次方程解的结构,:,（,2,）二阶非齐次线性方程解的结构,:,.,二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,特征方程为,.,二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,解,例,2,第一步，求相应的齐次方程的通解,.,2,的通解,求方程,x,x,y,d,x,d,y,=,-,解,例,2,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,.,2,的通解,求方程,x,x,y,d,x,d,y,=,-,例3,解,代入方程，得,故方程的通解为,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,由,解得,故原方程的通解为,由,即,例6,解,（,）由题设可得：,解此方程组，得,（,）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,第十一章 无穷级数,常数项级数,函数项级数,正,项,级,数,交,错,级,数,幂级数,收,敛,半,径,R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,一,般,项,级,数,泰勒级数,在收敛 级数与数,条件下 相互转化,一、主要内容,1.,常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质,1,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,性质,2,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,性质,3,:,在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,.,性质,4,:,收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,.,级数收敛的必要条件,:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法：,正项级数,交错级数,一般项级数,1.,若 则级数收敛,.,2.,当 的极限不为零，则级数发散,.,3.,按基本性质,4.,充要条件,5.,比较法,6.,比值法,7.,根值法,4.,莱布尼茨,定理,4.,绝对收敛,定义,2.,正项级数及其审敛法,审敛法,(1),比较审敛法,(2),比较审敛法的极限形式,定义,正、负项相间的级数称为交错级数,.,3.,交错级数及其审敛法,定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,.,4.,任意项级数及其审敛法,5.,函数项级数,(1),定义,(2),收敛点与收敛域,(3),和函数,(1),定义,6.,幂级数,(2),收敛性,推论,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,称为幂级数的,收敛区间,.,开区间,a.,代数运算性质,:,加减法,(其中,(3),幂级数的运算,乘法,(其中,b.,和函数的分析运算性质,:,二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,例,解,两边逐项积分,