第2讲：方程的图形法迭代法直接法(第2次课).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲 方程及方程组解法,(,下,),内容：,本讲主要讲解方程(组)求解的,MATAB,直接,解法，补充三种迭代数列图示方法,目的：,掌握,MATLAB,方程（组）求解的相关函数,要求：,能够处理带应用背景的方程问题,MATLAB,软件直接求解函数：,solve fsolve fzero roots,迭代数列图示法：,线性联结图 蛛网图 费根鲍姆图,迭代的复杂行为：,分岔,倍周期,混沌,方程,(,组,),直接求解函数：,solve,利用,MATLAB,内置函数，我们可以,直接,对一些方程或方程组进行求解，免去书写代码的时间，优点是快速高效，缺点是缺乏自编函数的灵活性,solve,对单变量方程,f(x)=0,求解(,解析解,),：,例,1,求解方程,ax,2,+bx+c=0,x=solve(a*x2+b*x+c),或者,x=solve(a*x2+b*x+c=0),pretty(x),方程(组)直接求解函数：solve,solve,对单变量方程,f(x)=0,求解(,数值解,),：,例,2,求解方程,x,3,-2x,2,=x-1,x=solve(x3-2*x2=x-1),double(x),%,实值化处理,fplot(x3-2*x2-x+1,-5,5);,set(findobj(gca,type,line,color,b),linewidth,2);,%,加粗,hold on;grid on;axis(-1 3-10 10);,line(-5 5,0 0,color,r,linewidth,2);,%,作,x,轴,solve,对单变量方程,f(x)=0,求解(,无穷解,?,),：,例,3,求解方程,tan(x)=sin(x),x=solve(tan(x)=sin(x),fplot(tan(x)-sin(x),-10*pi,10*pi);,set(findobj(gca,type,line,color,b),linewidth,2);,%,加粗,hold on;grid on;,line40 40,0 0,color,r,linewidth,2);,%,作,x,轴,方程(组)直接求解函数：solve,solve,对多变量方程,f,n,(x,n,)=0,求解(,解析解,)：,例,4,求解方程组,x,2,y,2,=0 x-1/2y=b,s=solve(x2*y2,x-y/2=b);,s.x,s.y,%,输出结果整理,solve,对多变量方程,f(x,n,)=0,求解(,数值解,)：,例,5,求解方程组,x,2,y,2,-2x-1=0 x,2,-y,2,-1=0,s=solve(x2*y2-2*x-1,x2-y2-1=0);,xy=s.x,s.y,double(xy),%,输出结果整理,+,数值化,ezplot(x2*y2-2*x-1);,hold on;,set(findobj(gca,type,line,color,b),color,r,);,%,改色,ezplot(x2-y2-1);grid on;,set(findobj(type,line),linewidth,2);,%,加粗,注意,:,须小心使用,solve,，实际中最好结合多种方法,方程(组)直接求解函数：,f,solve,f,solve,对非线性方程组的求解（以下为标准语法）,例,6,求解非线性方程组,解法1:,直接用,solve,函数求解,s=solve(sin(x)+y2+log(z)-7,3*x+2y-z3+1,x+y+z-5);,s.x,s.y,s.z,方程(组)直接求解函数：fsolve,解法2写法,1:,编写,被调函数,，供,fsolve,调用求解,Step1,：编写独立被调函数,nxxf.m,function eq=nxxf(x),eq(1)=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7;,eq(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1;,eq(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;,Step2,：执行主调语句,fsolve,y=fsolve(nxxf,1,1,1,1),%,此句为主调语句，直接执行,1,1,1,为初值，,1,为中间结果输出开关,(1,为打开,),方程(组)直接求解函数：fsolve,补充两种,fsolve,被调函数的写法,方法一：,内联函数形式,求解方程,3x-exp(x)=0,fun=inline(1/3*exp(x)-x);,ezplot(fun);grid on;,y=fsolve(fun,1,1),方法二：,符号表达式形式,求解方程组,x2+y2=5,；,xy-3x+y=1,ezplot(x2+y2-5);hold on;ezplot(x*y-3*x+y-1);grid on;,warning off,fsolve(x(1)2+x(2)2-5,x(1)*x(2)-3*x(1)+x(2)-1,1,2),fsolve(x(1)2+x(2)2-5,x(1)*x(2)-3*x(1)+x(2)-1,-0.6,-2.1),方程(组)直接求解函数：fsolve,解法2写法,2:,输入,符号表达式,，输入,fsolve,求解,warning off;,%,关掉警告开关,eq1=,sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7,;,eq2=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1;,eq3=,x(1)+x(2)+x(3)-5,;,fsolve(eq1,eq2,eq3,1,1,1),%,注意方程需要追加的符号,方程直接求解函数：f,zero,针对一元函数方程，求零点,fzero,例,7,求解方程：,x=(,cosx,),2,xfzero,(x-(,cos,(x)2,1),例,8,求解方程：,xsinx,=1,在0,5内的所有根,fplot,(x*sin(x)-1,0,5),grid on,x1=,fzero,(x*sin(x)-1,1),x2=,fzero,(x*sin(x)-1,3),方程直接求解函数：,roots,专用于多项式方程求解,roots,例,9,求解多项式方程,x,9,+x,8,+1=0,p=1,1,0,0,0,0,0,0,0,1;,poly2str(p,x),%,将数组形式,2,字符形式,x=roots(p),fplot(x9+x8+1,-3,3),grid on,axis(-2 2-100 100),复平面范围的根，在二维实平面上不能表现,注意：缺位系数以0补足！,第,3,章,(,补充,),收敛与混沌,(chaos),迭代,(,尤其是非线性迭代,),序列的渐近行为除了,收敛,和,发散,外，还可能存在十分复杂和古怪的现象，例如,分岔,、,倍周期,和,混沌,。,近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却,无法加以预测,。如气象学家,Edward Lorenz,发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的,蝴蝶效应,(,ButterflyEffect,),。,20,世纪三大自然科学理论：,相对论,，,量子力学,和,混沌理论,(,分形等),。“相对论消除了绝对空间和时间的幻想；量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的幻想；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想,”,混沌现象的最佳注解,-,蝴蝶效应,蝴蝶效应,的概念，最先由美国气象学家洛伦兹于,1963,年提出：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”,混沌现象,起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。但是此种,混沌,状态不同于一般杂乱无章的的,混乱,状况，经过长期及完整分析之后，或能从中理出某种规则出来。,混沌现象,最先用于,解释自然界，但在人文及社会,领域中因为事物之间相互牵引,，混沌现象尤为多见。如股票,市场的起伏，谣言引起连锁反应。,混沌现象的最佳注解,-,蝴蝶效应,混沌系统对无限小的初值变动或扰动也具于高度敏感性，无论多么小的扰动在长时间以后，也可能会使系统彻底偏离原来的演化方向。,分形,(,Fractal,),部分与整体的相似,1967,年，曼德勃罗（,B.B.Mandelbrot,）在美国权威的,科学,杂志上发表了题为,英国的海岸线有多长,?,的著名论文，随后提出了分形,(Fractal),的概念。,.,自相似原则,和,迭代生成原则,是分形理论的重要原则。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如,:,连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、植物的叶子,.,分形几何学又称大自然几何学,迭代数列图示法,-,线性联结图,线性联结图：联结相邻迭代数列的折线形成的图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,敛散,周期,.),范例：,x,n+1,=a x,n,(1-x,n,),n=0,1,2.,x,0,=0.2,a0,4,x(1)=0.20;a=3.2000;,%,初值,0.2,，系数,3.2000,for n=2:1000,x(n)=a*x(n-1)*(1-x(n-1);end;figure;plot(x);,x(1)=0.20;a=3.5644;,%,初值,0.2,，系数,3.5644,for n=2:1000,x(n)=a*xn-1)*(1-x(n-1);end;figure;plot(x);,x(1)=0.20;a=3.8284;,%,初值,0.2,，系数,3.8284,for n=2:1000,x(n)=a*x(n-1)*(1-x(n-1);end;figure;plot(x);,linlink(0.20,3.5000,800,1000);,linlink(0.16,3.5000,120,1200);,linlink(0.79,3.8284,451,1000);,迭代数列图示法,-,线性联结图,线性联结图：联结相邻迭代数列的折线形成的图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,敛散,周期,.),迭代数列图示法,-,蛛网图,蛛网图：联结,x,n+1,与,f(,x,n,),的折线形成的图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,敛散,周期,.),范例：,x,n+1,=a x,n,(1-x,n,),n=0,1,2.,x,0,=0.2,a0,4,x(1)=0.2;a=3.5644;funstr=strrep(a*x*(1-x),a,num2str(a);,%,以上语句初始化迭代格式,cmdstr=x(n)=,strrep(funstr,x,x(n-1),;,for n=2:10000,eval(cmdstr);end;,ezplot(x,-0.2,1.2);hold on;ezplot(funstr,0.2,1.2);xlabel(x);ylabel(funstr);,%,以上语句产生迭代序列，并绘制蛛网图函数图像,for n=1:500,plot(x(n),x(n),x(n),x(n+1),r-);,plot(x(n),x(n+1),x(n+1),x(n+1),r-);drawnow;,end,%,以上语句绘制蛛网图折线图像,spilink(0.2,3.5644,900,1200),spilink(0.1,3.1691,1300,1400),迭代数列图示法,-,蛛网图,蛛网图：联结,x,n+1,与,f(,x,n,),的折线形成的图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,敛散,周期,),迭代数列图示法,-,费根鲍姆图,费根鲍姆图：随参数变化产生的数列散点分布图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,分岔,倍周期,),范例：,x,n+1,=a x,n,(1-x,n,),n=0,1,2.,x,0,=0.2,a0,4,for a=0.1:0.1:4,x(1)=0.2;,funstr=strrep(a*x*(1-x),a,num2str(a);%迭代初始化,cmdstr=x(n)=,strrep(funstr,x,x(n-1),;,for n=2:1000,eval(cmdstr);plot(a,x(n),r.);,hold on;,end;,title(迭代进行到 a=,num2str(a),时);drawnow;,end,xlabel(a);ylabel(funstr);,fgblink(0.2,0,4,1,500),fgblink(0.2,2,4,900,1300),迭代数列图示法,-,费根鲍姆图,费根鲍姆图：随参数变化产生的数列散点分布图形,作用：,揭示迭代无穷远处的变化模式,(,分岔,倍周期,),迭代产生的分岔与混沌观察实验,分形的世界,分形图案欣赏,实验一:,编程实现课本引例,实验二:,编写二分法和牛顿法通用程序,Thats,all3Q!,