福州大学数理与概率统计第一章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,与数理统计,公元,1651,年法国著名数学家帕斯卡,1623-1662,收到法国大贵族 德,.,美黑 的一封信，信中请教了关于赌徒分赌金的问题：“两个赌徒规定谁先赢,3,局就算赢了，如果一个人赢了,2,局,另一个人赢了,1,局，此时赌博终止，应该怎样分配赌本才算公平合理？”,帕斯卡将该问题和解答寄给法国数学家费马,1601-1665,，费马也给出了新的解法，他们不断探讨这类问题，擦出概率论最早的火花。,概率论起源,之后荷兰数学家惠更斯,1629-1695,也加入,并在,1657,年出版,On Calculations in games of chance,，该书是概率论的第一部著作，由此概率论诞生了。,后来雅可比,.,伯努利,1654-1705,，棣莫弗,1667-1754,贝叶斯,1702-1761,拉普拉斯,1749-1827,高斯,1777-1855,泊松,1781-1840,对概率论的发展做出了重大贡献,俄罗斯学院的切比雪夫,1821-1894,和他的学生马尔科夫,1856-1922,、李雅普诺夫,1857-1918,对概率论发展做出了重大贡献，提出了重要的大数定律。,在,18-19,世纪概率论得到了实际应用和重大发展。而现今流行的基于公理化定义的概率论主要归功于俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫。,1933,年,，,柯尔莫哥洛夫发表了著名的,概率论的基本概念,，用公理化结构明确定义了概率论，这是概率论发展史上的一个重大里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。,在,19,世纪初，比利时的学者,A.,凯特勒率先将概率应用到统计中，并将统计方法从自然科学领域扩展到社会科学领域。他统计了欧洲大部分国家的死亡、犯罪、结婚、自杀等社会现象，得出一份调查报告，宣称他可以预知每年的死亡、犯罪、结婚、自杀数量，此举轰动了整个欧洲，为此他被冠以“近代统计学之父,”,的称号。从此概率和统计在社会、经济、科学等领域得到重大应用和发展。,统计学起源,社会现象的分类,确定性现象,模糊现象,随机现象随机现象,带有随机性、偶然性的现象,.,A.,太阳从东方升起；,B.,明天的最高温度；,C.,上抛物体一定下落；,D.,新生婴儿的体重,.,我们的生活和随机现象,结下了不解之缘,.,下面的现象哪些是随机现象？,随机现象例,随机现象的统计规律性,概率论,正是研究随机现象统计规律性的一门学科,.,第一章,随机事件及其概率,样本空间与随机事件,1.1,对研究对象进行观察或试验，即,随机试验,，简称试验。,随机试验,掷一枚正六面体的色子，观察出现的点数。,从水泥自动生产流水线上任意抽取一袋水泥，,称其重量。,一射手打靶，直到击中靶心为止，记录其射击,次数。,随机试验的特点,实验可以在相同条件下重复进行,每次试验，可能出现各种不同结果,每次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验之前是无法预先知道的,样本空间与样本点,随机试验的每个基本结果称为,样本点,，记为,。,全体样本点的集合称为,样本空间,，记为,。,.,A,样本点,.,.,.,.,.,样本点简记为：,w,i,=,出现,i,点,i,=1,2,6,。,则样本空间可记为,=,w,1,，,w,2,，,w,6,例子,1,1.,掷骰子,2.,打靶直到击中靶心为止，记录其射击次数,:,w,i,=,直到第,i,次才击中目标,i,=1,2,。,则样本空间可记为,=w,1,，,w,2,，,。,3.2,个可辨认的球,随机地投入,3,个盒中观察,各盒装球的情况,.,4.,袋中装有,6,个白球,4,个红球,采用有放回及,不放回不同的方式抽球,每次抽一个,记录首,次抽到红球时,抽球的次数,.,5.,对某一目标射击,直到击中,4,次就停止射击,的次数,.,在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件,.,随机事件,“,掷出奇数点”,“,掷出,1,点,”,事件,就是由样本点组成的某个,集合,.,.,A,样本点,.,.,.,.,.,事件,基本事件：,实验中不 可再分解的事件。,复合事件：,两个或一些基本事件并在一 起，就构成一个复合事件。,掷出奇数点,“,掷出,1,点,”,必然事件,:,在试验中必定发生的事件，,记为,;不可能事件,:,在一次试验中不可能发生的事件，,记为,。,在掷骰子试验中，“,点数小于,7,”,和“,点数为,8,”,是随机事件吗？,1.,事件的包含,2.,事件的相等,3.,事件的积（交）,4.,互不相容（互斥）事件,事件间的关系,5.,事件的和（并）,6.,对立事件,7.,差事件,事件间的关系,1.,交换律,2.,结合律,3.,分配律,4.,对偶原则,事件的运算法则,例,2,：化简,例,3.,概率的直观定义,1.2,在,n,次重复实验中，事件,A,出现,m,次，则,n,次实验中，事件,A,出现的频率,f,n,(A,)=m/n,统计概率,掷硬币试验,频率稳定性,指的是：当各轮试验次数,n,1,n,2,n,s,充分大,时，在各轮试验中事件,A,出现的频率总在一个定值附近摆动,.,而且，试验次数越多，,一般来说,摆动越小,.,频率,稳定在某个值,附近,频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是,客观存在,的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。,在相同条件下对实验,E,重复进行,n,次，其中事件,A,出现,m,次。当实验次数,n,充分大时，事件,A,出现的频率,f,n,(A,)=,m/n,的稳定值,p,称为事件,A,的概率，记为,P(A).,P(A)f,n,(A,)=m/n,概率的统计定义,统计,概率的性质,非负性：,0,P,(,A,)1,规范性：,P()=1,有限可加性：若,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是一 组两两互不相容的事件，则有,频率和概率有什么区别和联系？,频率决定于实验，而概率是先于实验而客观存在的。,对于较大的,n,，,n,次试验中事件,A,的频率，一般与事件,A,的概率,P,相差不大，试验次数,n,越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见,.,因此人们常取实验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的估计值。,例,2.,抽查某厂的某一产品,100,件，发现有,5,件不合格品，则不合格品,(,事件,A,),的,概率为,P,（,A,）,5/100=5%,医生在检查完病人的时候摇摇头,“,你的病很,重，在十个得这种病的人中只有一个能救活,.”,当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说,“但你是幸运的,.,因为你找到了我，我已经看,过九个病人了，他们都死于此病,.”,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例,3.,一个袋子中装有,10,个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个白球，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，求取到红球的概率。,古典概率,有限性：试验只有有限个基本事件,古典概型实验,等可能性：任何两个基本事件不可能同时出现，且每次实验中各可能结果出现的可能性均相同,n,个基本事件,m,个,概率的古典定义,若试验中只有,n,个等可能的基本事件，而某个事件,A,由其中,m,个基本事件组成,则,m/n,为事件,A,的概率，即,古典,概率的性质,非负性：,0,P,(,A,)1,规范性：,P()=1,有限可加性：若,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是一 组两两互不相容的事件，则有,基本计数原理,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1.,加法原理,设完成一件事有,m,种方式，,第一种方式有,n,1,种方法，,第二种方式有,n,2,种方法,；,第,m,种方式有,n,m,种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共,有,n,1,+,n,2,+,n,m,种方法,.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船,.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法,?,3,+2,种方法,回答是,基本计数原理,则完成这件事共有,种不同的方法,.,2.,乘法原理,设完成一件事有,m,个步骤，,第一个步骤有,n,1,种方法，,第二个步骤有,n,2,种方法,；,第,m,个步骤有,n,m,种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,例,4,把,C,、,C,、,E,、,E,、,I,、,N,、,S,七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,问：在多大程度上认为这样的结果,是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？,拼成英文单词,SCIENCE,的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在,1260,次试验中大约出现,1,次,.,解：七个字母的排列总数为,7,！,例,5.,中国福利彩票是一种献爱心的活动,.,每期从,35,个数字号码,(01-35),球中摇出,8,个,其中前,7,个为基本号码球,最后一个为特别号码球,.,参加者以,2,元买,1,注,在,35,个号码中选,7,个,试求,开奖后事件,A(,六等奖,-,有,4,个号码球与基本号码球相同,),及事件,B(,五等奖,-,有,4,个号码球与基本号码球及一个与特别号码球相同,),的概率,.,例,6.,从,0,，,1,，,2,，,9,共,10,个数字中任取,1,个，假定每个数字都以,1/10,的概率被取,中，取后放回，先后取出,4,个数字，试,求下列各 事件的概率。,A,1,：“,4,个数字各不相同”,A,2,：“,4,个数字组成一个,3,位数”,A,3,：“,4,个数字组成一个,4,位偶数”,A,4,：“,4,个数字恰好有,2,个,0”,例,7.,设有,n,个人，每个人都等可能地被分配,到,N,个房间中的任意一间中去住,(,n,N,),，,且设每个房间可容纳的人数不限，求下列,事件的概率。A,=,某指定的,n,个房间中各有一个人住,。,B,=,恰好有,n,个房间，其中各住一人,。,C,=,某指定的一间房中恰好有,m,(,m,0,则称,为已知事件,A,发生条件下，事件,B,发生 的条件概率。,条件,概率,例,1,：一个家庭中有两个小孩，已知其中有男孩，问两个都是男孩的概率是多少（假设生男生女是等可能的）？,例,2,：设某种动物由出生活到,10,岁的概率为,0.8,，而活到,15,岁的概率为,0.4,，求现年为,10,岁的这种动物能活到,15,岁的概率。,例,3.,某消费公司一直为某种肥皂产品做电视,广告，并对该产品进行了调查。,设事件,A,表示,“,某人买了该产品,”,B,表示某人看过该广告,”,C,表示,“,某人既买了该产品又看过该广告,”,若,P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.12,则某人,看过广告会使他购买该产品的概率增加吗？,P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B),=0.12/0.4=0.3P(A),乘法公式,设,A,，,B,为任意事件，,若,P(A)0,，,P(AB)=P(A)P(B|A),若,P(B)0,，,P(AB)=P(B)P(A|B),推广到,n,个事件的情况,例,4.,有10个男生、5个女生来到某企业参加应,聘，工作人员从中不重复地任选三个同学,参加面试，问第三次才选到女生的概率。,。,A,i,:,第,i,个选到的是男生,i,=1,2,3,例,5,：箱中有,5,个红球和,3,个白球，现不放回地取出,3,球，假设每次抽取时，箱中各球被取出是等可能的，求：,a.,已知第一次取出红球，则第二次仍取出红球的概率。,b.,直到第三次才取到红球的概率。,c.,第二次,取到的是红球的概率。,全概率公式,设,A,1,A,2,A,n,是完备事件组，,P(A,k,)0(k=1,2,n),，且,则对于事件,B,有,例,8:,某保险公司把被保险人分为三类：“安全的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表明，对于上述,3,种人而言，在一年期间内发生事故的概率依次为,0.05,、,0.15,与,0.30,。如果在被保险人中“安全的”占,15%,，“一般的”占,55%,，“危险的”占,30%,，试问任一被保险人在一年中发生事故的概率是多少？,由此可以形象地把全概率公式看成为,“,由原因推结果,”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关,.,全概率公式表达了它们之间的关系,.,诸,A,i,是原因,B,是结果,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,7,A,8,B,实际中还有下面一类问题，是,“,已知结果求原因,”,如果某被保险人在一年中发生了事故，则他属于,“,危险的,”,一类人的概率是多少？,贝叶斯公式,设,A,1,A,2,A,n,是完备事件组，,P(A,k,)0(k=1,2,n),，且,则,B,已发生的条件下,A,k,发生的概率为,例,9.,甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有,效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验,呈阳性反应的概率为,95%,，非肝癌患者甲,胎蛋白试验呈阳性反应的概率为,4%,。已知,某地人群中肝癌患者占,0.4%,，现在此地有,一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显,示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是,多少？,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，,P,(,A,i,),和,P,(,A,i,|,B,),分别称为,原因的验前概率和验后概率,.,P,(,A,i,)(,i,=1,2,n,),是在没有进一步信息（不知道事件,B,是否发生）的情况下人们对诸事件发生可能性大小的认识,.,当有了新的信息（知道,B,发生），人们对诸事件发生可能性大小,P,(,A,i,|,B,),有了新的估计,.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,在不了解案情细节,(,事件,B,),之前，侦破人员根据过去,的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，,现在变成了重点嫌疑犯,.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有,甲、乙、丙三人,.,甲,乙,丙,P(,A,1,),P(,A,2,),P(,A,3,),但在知道案情细,节后,这个估计,就有了变化,.,P,(,A,1,|,B,),知道,B,发生后,P,(,A,2,|,B,),P,A,3,|,B,),最大,偏小,练习,2.12,个乒乓球中有,9,个新的，,3,个旧的，第一次比赛取出了,3,个，用完后放回去，第二次比赛又取出,3,个，求在已知第二次比赛取到的,3,个球全是新球的条件下，第一次比赛所取,3,个球全都是新球的概率。,1.,设某厂产品的合格率为,0.96,，现采用新方法测试，一件合格产品经检查而获准出厂的概率为,0.95,，而一件废品经检查而获准出厂的概率为,0.05,，试求使用这种方法后，获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率,.,3.,袋中装有,50,个正品硬币，,50,个次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一个，将它投掷,2,次,.,(1),求两次都得到国徽的概率。,(2),若已知两次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？,4.,设,10,件产品中有,4,件不合格品，现从中,连 续抽取两件产品，在有一件是不合格品,的情况下，问另一件也是不合格品的概 率为多少？,事件的独立性,1.5,事件独立性,若两事件,A,、,B,满足,P(AB)=P(A)P(B),，,则称,A,、,B,相互独立。,若,P(A)0,，,P(B)0,，,A,、,B,相互独立，则,有,P(A)=P(A|B),，,P(B)=P(B|A),。,概率为零的事件与任何事件相互独立。,定理：,若两事件,A,、,B,独立，则,证：,什么关系？,互不相容,独立性,若,AB,独立,，则,P(AB)=P(A)P(B),若,AB=,，则,P(A+B)=P(A)+P(B),请问：如图的两个事件是独立的吗？,即,:,若,A,、,B,互斥，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立,.,反之，若,A,与,B,独立，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,、,B,不互斥,.,而,P,(,A,)0,P,(,B,)0,故,A,、,B,不独立,我们来计算：,P,(,AB,)=0,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,),即,例,1,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记,A,=,抽到,K,B,=,抽到的牌是黑色的,可见P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),由于,P,(,A,)=4/52=1/13,说明事件,A,、,B,独立,.,问事件,A,、,B,是否独立？,解：,P(,AB,)=2/52=1/26,P,(,B,)=26/52=1/2,例,2,.设甲、乙两射手击中目标的概率分别,是 0.7与0.8，现各射击一次，试求,同时击中目标的概率。,至少有一个击中目标的概率。,恰有一人击中目标的概率。,多个,事件的独立性,对于三个事件,A,、,B,、,C,，若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),P,(,BC,)=,P,(,B,),PC,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),A,、,B,、,C,两两独立,A,、,B,、,C,相互独立,请注意多个事件两两独立与相互独立,的区别与联系,两两独立,相互独立,对,n,(,n,2),个事件,?,例,3,.,如果将一枚硬币抛掷两次，观察正面,H,和反面,T,的出现情况，则此时样本空间为,=,HH,HT,TH,TT,设事件A表示“第一次正面朝上”；,事件B表示“第二次正面朝上”；,事件C表示“两次出现情况相同”,讨论A、B、C的独立性。,多个,事件的独立性,若,n,个,事件,A,1,A,2,A,n,满足,则称事件,A,1,A,2,A,n,相互独立例,4,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,1/5,，,1/3,，,1/4,，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为,1,，,2,，,3,，,所求为,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),记,A,i,=,第,i,个人破译出密码,i,=1,2,3,记,A,i,=,第,i,个人破译出密码,i,=1,2,3,1,2,所求为,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),已知,P,(,A,1,)=1/5,P,(,A,2,)=1/3,P,(,A,3,)=1/4,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),=1-1-,P,(,A,1,)1-,P,(,A,2,)1-,P,(,A,3,),3,例,5.,设每支步枪射击飞机命中的概率为,0.004,求,250,支步枪同时独立地进行一次射击时，击中飞机的概率。,a,1,a,2,a,n,a,1,a,2,a,n,b,1,b,2,b,n,a,1,b,1,a,2,b,2,a,n,b,n,I,II,III,例,6.,各元件的可靠性均为,r(0r1),求各系统,的可靠性。,伯努利概型,在相同条件下，重复,n,次做同一试验，,每次试验只有两个可能结果；,n,次试验是相互独立的。,掷骰子：,“,掷出,4,点,”,，,“,未掷出,4,点,”,一般地，,设在一次试验中我们只考虑两个,互逆的结果：,A,或 ，,或者形象地把两个互逆结果叫做,“,成功,”,和,“,失败,”,.,新生儿：,“,是男孩,”,，,“,是女孩,”,抽验产品：,“,是正品,”,，,“,是次品,”,伯努利定理,设一次试验中事件,A,发生的概率为,p,(0,p,1),，则,n,次贝努利试验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率,p,n,(,k,),为,例,6.,有一批产品有,30%,的一级品,进行重,复抽样调查,共取,5,个样品,求,(1),取出的,5,个样品中恰有,2,个一级品的,概率,.,(2),取出的,5,个样品中至少有,2,个一级品的,概率,.,例,7.,某厂自称产品的次品率不超过,0.5%,，经,过抽样检查，任取,200,件产品就查出了,5,件次品，试问上述的次品率是否可信？,