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单击此处编辑母版标题样式,we,单击此处编辑母版文本样式,we,第二级,we,第三级,we,第四级,第五级,2004-4-11,Slide,*,高级微观经济理论,Advanced Microeconomic Theory,Slide,2,课案简介,授课教师：樊茂清,Email,：,fmq2119,Slide,3,课程简介,教材：,G.A.Jehle&P.Reny,Advanced Microeconomic Theory,参考书：,H.R.Varian,Microeconomic Analysis,A.,Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.Green,Microeconomic Theory,Ch 0.,导论,Slide,5,主流经济学的分析框架,四个分析层次,经济环境,个体行为分析,最优化原则,个体互动结果,均衡分析,福利分析,Slide,6,微观经济学的演变,古典经济学,边际革命（,1870,年代，门格尔，瓦尔拉斯，杰文斯）,Slide,7,微观经济学的演变,古典经济学的核心是初创于李嘉图，综合于穆勒的生产成本价值论。在很大的意义上，马克思的劳动价值论和剩余价值论同样归属于这一体系。,边际革命的意义在于力图把经济理论建立在主观意义之上，纳入主观心理的范畴。,边际主义者认为，经济学应该是研究享乐并使其最大化的科学；消费是实现和追求享乐的直接领域，因此消费才是经济学研究的基础和出发点。而消费又是通过个人的行为得以实现的，个人是消费的主体，于是，个人的消费行为被视为研究的重点。,分析个人消费心理成为经济分析的根本出发点和理论支点。,Slide,8,微观经济学的演变,边际主义者宣称，效用是人对物品满足自己欲望的一种估价，它纯粹是一种主观现象，决不存在于人的意识之外。,物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供应存在确定上限。,效用和稀缺性结合，就产生了价值现象。所谓价值，就是人对物品主观效用的评价，它显然也是纯粹的主观现象。,Slide,9,微观经济学的演变,门格尔在经济学的研究方法上，强调以抽象演绎法为主，辅以经验归纳法。这一主张是以承认经济规律的存在和能够被认识为前提的。,杰文斯和瓦尔拉斯主张并实际进行了将数学方法引入经济学的尝试，成为数理经济学的先驱。,二者对此后经济学方法论的发展起到了极其深远的影响。,Slide,10,微观经济学的演变,边际革命的扩展,：,（,1,）对边际效用价值论的深化和通俗化,（,2,）从基数效用论转向序数效用论,（,3,）边际生产力论的完成,（,4,）对包括边际效用论和边际生产力论在内的整个边际主义的不同形式的综合阐述。,对边际革命不同方向的扩展形成了不同的学派，瑞典洛桑学派、奥地利学派，以及所谓新古典经济学派，都是对边际革命的不同方向的扩展结果。,Slide,11,微观经济学的演变,边际主义学说与原本它要反对的英国古典学派传统的融合，最终形成了新古典经济学。这使边际主义从异端走向正宗，新古典经济学也成为近现代西方经济学的主流学派。,这一学派的创始者是马歇尔（,1890,，,经济学原理,）。,马歇尔的理论将价值论和供求论统一起来，提出“供求均衡价值论”，从而使原本针锋相对的古典经济学和边际主义理论相互融合，并以此为轴线建立起自己的学说体系。,马歇尔的理论体系直到,1930,年代受到来自于凯恩斯的挑战，二战后，凯恩斯主义部分取代了马歇尔理论中关于宏观的方面，从而使得新古典经济学在当代条件下采取了微观经济学的形式。,Slide,12,微观经济学的演变,萨缪尔森基本上全盘继承了马歇尔的理论体系，并吸收了凯恩斯关于有效需求的论述，从而建立起现代微观经济学的理论体系。,如果说边际主义革命是现代主流经济学的肇始的话，那么，博弈论的兴起和迅猛发展，就是微观经济学“二次革命”的契机。,博弈论的兴起，“正在改写着微观经济学”。,Slide,13,微观经济学的演变,一个粗略的学术谱系：,门格尔,庞巴维克,维塞尔,杰文斯,维斯蒂德,瓦尔拉斯,帕累托,奥地利学派,洛桑学派,古典经济学,马歇尔,萨缪尔森,新古典经济学,边,际,革,命,Slide,14,数学与经济学,提高经济学争论的效率，加速理论的创新。,形成统一的知识体系，便于交流、传承，以及知识的积累。,Slide,15,数学基础（一）,集合,实数集,n,维欧氏空间,iff x,i,y,i,i=1,2,n,Slide,16,数学基础（一）,Convex sets in R,n,is a convex set if for all we have,如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。,当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。,Slide,17,数学基础（一）,:,binary relation,between,S,and,T,Any collection of ordered pairs,s,与,t,存在特定关系,或,Slide,18,数学基础（一）,Completeness完备性）,A relation on S is complete if,for all elements x,y in S,Transitivity,（传递性）,A relation on S is transitive if,for any,three elements x,y,z in S,implies,。,Slide,19,数学基础（一）,度量与度量空间,欧氏空间,欧氏度量：,Slide,20,数学基础（一）,开邻域,闭邻域,Slide,21,数学基础（一）,例,1,：在,R1,上的邻域,Slide,22,数学基础（一）,上的邻域：,Slide,23,数学基础（一）,开集,如果 ，都 使 ，那么 是 上的开集。,Slide,24,数学基础（一）,闭集,S,如果,S,的补集,S,c,是开集，那么,S,是闭集。,Slide,25,数学基础（一）,定理：,一个集合 是一个闭集，当且仅当，对所有的序列 ，如果对任意的,m,有 ，那么，就有 。,Slide,26,数学基础（一）,Bounded Sets,（有界集）,A set,S,in R,n,is called bounded if it is entirely contained within some,That is,Slide,27,数学基础（一）,upper and lower bound,of S,in R,upper bound:,u,最小上界：上确界（,l.u.b.,）,lower bound:,l,最大下界,：下确界（,g.l.b.,）,Slide,28,数学基础（一）,定理,1.5,：,实数子集的上界与下界,1,、有界开集不包含上、下确界；,2,、有界闭集包含上、下确界。,Slide,29,数学基础（一）,Compact set,（紧集）,有界闭集,Ch1,消费者理论,Slide,31,1.,消费者理论,消费集,偏好关系与效用函数,消费者问题,间接效用函数与支出函数,需求函数性质,Slide,32,1.1,消费集,商品,i,及其数量,种类有限性,数量无限可分,消费组合（束）,Slide,33,1.1,消费集,商品定义,时点,:,今天的面包,VS,昨天的面包,地点,:,上海的面包与北京的面包,状态,:,生产期为,1,天的面包与生产期为,2,天的面包,Slide,34,1.1,消费集,例：跨期消费决策,两种商品：,第一期消费,第二期消费,Slide,35,1.1,消费集,消费集：,消费者可以,想象,自己可能消费的各种消费组合的集合。,反映自然的约束以及消费者关于商品的信息,Slide,36,1.1,消费集,休闲时间,24,面包,自然约束,(physical constraint),：总量约束,(i),Slide,37,1.1,消费集,1,3,2,汽车,汽油,(ii),自然约束,(physical constraint),：单位约束,Slide,38,1.1,消费集,更具一般性的消费集,Slide,39,1.1,消费集,消费集基本假设,Nonempty,：,is closed,凸性,(convex),Slide,40,1.1,消费集,可行集,B,在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。,反映制度、技术、个人能力等因素,Slide,41,1.2,偏好与效用,如何描述消费者的偏好？,Betham,：效用,可度量、可比较,Jevons,等：边际效用递减法则,需求规律,基数效用论,Slide,42,1.2,偏好与效用,序数效用论,Pareto(1896),、,Slutsky,1915,）,Hicks,（,1939,）,:,Value and Capital,Debru,（,1959,）,:,Theory of Value,公理化方法,Slide,43,1.2,偏好与效用,理性假设,the consumer,can choose,能够判断自己喜欢什么,and choices are,consistent,自己的偏好具有一致性,Slide,44,1.2.1,偏好关系,二元关系,(,binary relation,):,如果 ，有,那么 至少与 一样好。,读作：偏好于 。,Slide,45,1.2.1,偏好关系,偏好公理,1,：完备性,偏好公理,2,：传递性,Slide,46,1.2.1,偏好关系,定义,1.1,：,如果在消费集 上的二元关系 满足公理,1,和,2,，那么我们称它为,偏好关系,。,Slide,47,1.2.1,偏好关系,定义,1.2,：,strict preference relation,而且,读作：严格偏好于,定义,1.3,：,indifference relation,而且,读作：与 无差异,Slide,48,1.2.1,偏好关系,消费集的分划,弱偏好集：,严格偏好集：,无差异集：,Slide,49,1.2.1,偏好关系,消费集的分划,Slide,50,1.2.1,偏好关系,公理,3,：连续性,如果 都有 而且有 和 ，那么就有,和是闭 集。,连续,定理：,Slide,51,1.2.1,偏好关系,Slide,52,1.2.1,偏好关系,例,1,：字典序偏好,设 ，如果,或 ，并且,如：奥运会金牌榜,Slide,53,1.2.1,偏好关系,证明：字典序偏好不连续,(,反证法,),连续性,假设：,该偏好关系具有连续性,假设不成立,（,1,）,与结论,(1),矛盾,Slide,54,1.2.1,偏好关系,公理,:,局部非饱和性,使得 。,总存在改进福利的可能性,Slide,55,1.2.1,偏好关系,X,1,不满足公理,Slide,56,局部非饱和性,无差异集合是一条曲线，不存在无差异区域。,1.2.1,偏好关系,Slide57,X,3,（好的）商品越多越好！,X,2,Slide,58,1.2.1,偏好关系,公理,4,：严格单调性,，,如果有 那么有 ，,如果有,，那么有,严格单调性,局部非饱和性,Slide,59,X,2,X,3,X,1,1.2.1,偏好关系,无差异曲线斜率为负,严格单调性,Slide,60,1.2.1,偏好关系,公理 ：凸性,如果 ，那么,Slide,61,X,2,X,1,X,t,1.2.1,偏好关系,Slide,62,1.2.1,偏好关系,公理,5,：严格凸性,如果 和 ，那么,Slide,63,1.2.1,偏好关系,X,1,X,t,严格单调、凸性偏好,凸向原点的无差异曲线,Slide,64,X,1,X,t,严格单调、严格凸性偏好,严格凸向原点的无差异曲线,1.2.1,偏好关系,Slide,65,1.2.1,偏好关系,边际替代率,无差异曲线的斜率,凸偏好,边际替代率非递增,严格凸偏好,边际替代率递减,Ch 1.2.2,效用函数,Slide,67,数学基础：函数,连续性,如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。,严格定义：,PP406,R,到,R,的函数的连续性概念可以推广到两个度量空间之间的函数中。,函数,Slide,68,数学基础：函数,连续性（,Cauchy,）,在此定义中，函数的定义域不再在,R,中取值，而只是在,R,的一个子集中取值。,Slide,69,数学基础：函数,象与原象,（,inverse image,）,连续性与原象（定理,A1-6,）,Slide,70,数学基础：函数,定理,A1.7,：连续函数在紧集上的象（,image),是紧集,Slide,71,数学基础：函数,极值存在性定理（,Weierstrass,）,证明：,根据 定理,A1-7,，,f,（,x,）在,R,上是一个紧集，所以,f,（,x,）是闭且有界的，令,a,为其上确界，则,a,是,f,（,x,）的极限点；又因为,f,（,x,）是闭的，所以,a,属于,f,（,x,），即在,S,中存在某点,xd,，使得,f,（,xd,）,=a,。,Slide,72,数学基础：多变量函数的微分,梯度,(,gradient,),：,一阶微分：,二阶微分：,（海赛矩阵）,Slide,73,数学基础：矩阵,定义：,NN,矩阵,M,，如果 都有,半负定矩阵的特点是其每个特征值都是,0,或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。,那么，称,M,是,半负定矩阵,；,如果不等号严格成立，那么称,M,为,负定矩阵。,Slide,74,数学基础：拟凹函数,定义域是凸集的函数，若其任一上等值集（,Superior set,定义域中使函数值不小于某值的子集）是凸集，则该函数是拟凹的。,Slide,75,数学基础：拟凹函数,证明：充分性,定理,f,(x),是拟凹函数Slide,76,数学基础：拟凹函数,必要性：,S,(,y,),是凸集,Slide,77,数学基础：拟凹函数,Slide,78,数学基础：拟凹函数,定理：连续可微函数,f,以下三个命题等价：,1,、,f,是凹的，,2,、对于,D,中所有,x,，,H,（,x,）是负半定的，,3,、对于一切,x0,属于,D,，,Slide,79,1.2.2,效用函数,定义,1.5,：,实值函数,u:R,R,是表示偏好关系 的效用函数,如果,存在性,唯一性,Slide,80,1.2.2.1,效用函数存在性,定理,1.1(P14),：代表偏好关系的实值函数的存在性,定义在 的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 表示,.,。,Slide,81,1.2.2.1,效用函数存在性,定理,1.1,证明思路,先构造一个实值函数,然后证明它满足效用函数的条件,Slide,82,I,、效用函数的构造,0,连续性,是非空闭集,(,上一讲公理,3),Slide,83,I,、效用函数的构造,严格单调性,那么,都有,如果,那么,都有,如果,完备性,（,A,是有下界闭集,）,（,B,是有界闭集,）,Slide,84,I,、效用函数的构造,而且 是唯一的。因为：,假设,（严格单调性）,（传递性）,存在唯一的 使得,Slide,85,I,、效用函数的构造,0,u(x)ex,Slide,86,至此我们证明出，对于每个,x,属于,R,，正好存在一个函数,u,（,x,），使得,u(x)ex,。,到此为止,我们构造了一个效用函数,它给,X,中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。,Slide,87,II,、是效用函数,由,式得到,（传递性）,（严格单调性）,u,(x),是表示偏好关系 效用函数,Slide,88,III,、是连续函数,效用函数,u,(x),在开区间,(a,b),上的逆映射,(,原象,),（定义）,（单调性）,（传递性）,是,开集,（因为,的补集是闭集）,Slide,89,III,、是连续函数,定理,A1.6,：（,P409,）,连续,是开集,，在任意开集,的逆映射 在,是开集,连续,Slide,90,1.2.2.2,效用函数的唯一性,正单调变化,其中,在 的取值范围上是,严格递增函数,。,Slide,91,1.2.2.2,效用函数的唯一性,定理,1.2,：效用函数对正单调变化的,不变性,实值函数,u,(x),能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当,v,(x),是,u,(x),的正单调变换,v,(x),也能够表示该偏好关系。,Slide,92,1.2.2.2,效用函数的唯一性,设,表示的是偏好关系 的结构,。,Slide,93,效用函数与无差异曲线,无差异集：,1.2.2.3,效用函数的性质,Slide,94,上等值集,(Superior Set),【,严格上等值集,】,1.2.2.3,效用函数的性质,Slide,95,1.2.2.3,效用函数的性质,严格递增,严格单调,Slide,96,1.2.2.3,效用函数的性质,拟凹,具有凸性,严格拟凹,具有严格凸性,Slide,97,1.2.2.3,效用函数的性质,处处具有可导性,无差异曲线光滑（,smooth,）,无差异关系是,X,X,上的光滑流形。,边际效用,（偏好单调性）,（偏好严格单调性）,【,几乎处处成立,】,Slide,98,1.2.2.3,效用函数的性质,是凹函数,拟凹 边际效用递减,Slide,99,1.2.2.3,效用函数性质,海塞矩阵 满足,本章,PPT,，,P73,凹,Slide,100,1.2.2.4,效用函数实例,2X,1,X,1,2X,0,X,0,位似偏好,(homothetic preference),Slide,101,1.2.2.4,效用函数实例,位似偏好效用函数,如果 是位似偏好，那么就可以用一个,一次齐次,效用函数来表示。,位似偏好,：,证明：,Slide,102,1.2.2.4,效用函数实例,位似偏好效用函数,如果 是位似偏好，那么就可以用一个,一次齐次函数的正单调变换,来表示。,Slide,103,1.2.2.4,效用函数实例,拟线性偏好,(quasilinear preference),偏好关系 是相对于商品,1,的拟线性偏好，如果,其中,Slide,104,1.2.2,效用函数实例,拟线性偏好效用函数,Slide,105,1.2.2,效用函数实例,CES,（,constant elasticity of substitution,）效用函数,Slide,106,Ch 1.3,消费者问题,Slide,108,Ch 1.3,消费者选择问题,最优解的性质,最优解的充分必要条件,Slide,109,数学基础,约束最优化求解：拉格朗日方法,受约束于,可构造拉格朗日函数，用无拘束三变量函数替代两变量函数：,Slide,110,拉格朗日定理（定理,A2-16,）,设,f,（,x,）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设,x*,是,D,的一个内点并且,x*,是,f,的一个最优值点（最大值或最小值）；,f,受到 的约束，如果梯度向量,是线性独立的，那么总会存在,m,个不同的数 使得,Slide,111,定理,A2-19,受非负性条件约束的实值函数最优化的必要条件：,设,f(x),是连续可微的,1.,如果在 的约束下,x*,最大化了,f(x),那么,x*,满足,:,Slide,112,定理,A2-19,续,2.,如果在 的约束下,x*,最小化了,f(x),那么,x*,满足,:,Slide,113,Kuhn-Tucker,条件（定理,A2-20,）,受不等式条件约束的实值函数最优化的（,Kuhn-Tucker,）必要条件,设,f,（x,）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设,x*,是,D,的一个内点并且,x*,受到条件 约束的,f,的最优解（最大值或最小值解）。,如果与所有束紧约束相关的梯度向量 是线性独立的，那么必存在唯一的向量 使得（,x*,，）满足,Kuhn-Tucker,条件：,Slide,114,Ch 1.3,消费者选择问题,分析框架,偏好关系：,消费集：,可行集：,最优化选择：,Slide,115,Ch 1.3,消费者选择问题,假设,1.2,消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。,消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值函数 表示。,形式理性,Slide,116,Ch 1.3,消费者选择问题,可行集,预算,行动规则,制度、政府规制等,交易规则：完全竞争性市场,可行集：,Slide,117,Ch 1.3,消费者选择问题,例：跨期消费选择,Slide,118,Ch 1.3,消费者选择问题,收入,：,利率：,例：跨期消费选择,预算约束：,（未来值形式）,Slide,119,Ch 1.3,消费者选择问题,借不到钱,融资约束,贷款利率,r,c,存款利率,r,s,0,是,MP,的唯一解，而且对,a,可微。为该问题的拉格朗日函数，,是满足,Kuhn-Tucker,条件的解。那么有,（等式右边表示拉格朗日函数关于参数,aj,的偏导数，它在点（,x(a),，,(a),）处取值 ）,Slide,146,包络定理的含义,定理说明了如下情况：,当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩,-,塔克条件的解处给该导数取值。,证明：略,Slide,147,1.4.1,间接效用函数,Slide,148,1.4.1,间接效用函数,定义在消费集上的效用函数,直接效用函数,u,(x),定义在,(p,y,),上的函数,间接效用函数,v,(p,y,),当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？,Slide,149,1.4.1,间接效用函数,性质,1,：,在 上连续,最大化定理,约束函数是,p,y,的连续函数,性质,2,：,是,(p,y,),的,0,次齐次函数,Slide,150,1.4.1,间接效用函数,性质,3,、,4,：,是,y,的严格递增函数，,p,的递减函数。,证明：构建拉格朗日函数,令 为最大化问题的解，则根据拉格朗日定理得出存在一个 使得下式成立：,易得,0,Slide,151,性质,3,、,4,根据包络定理,因此,v(p,y),关于,y,是递增的,.,同样根据包络定理有,:,因此,v(p,y),关于,p,是递减的,.,Slide,152,1.4.1,间接效用函数,性质,5,：是,(p,y,),的拟凸函数,拟凸,令,Slide,153,14.1,间接效用函数,假设不成立，那么,即,与,矛盾,Slide,154,性质,6:Roy,恒等式：,消费者对物品,i,的马歇尔需求只是间接效用函数关于,p,i,的偏导数与其关于,y,的偏导数的比率的负数。,根据包络定理，,根据性质,3,，有,Slide,155,1.4.1,间接效用函数,例,Slide,156,1.4.2,支出函数,在给定价格,(,p,1,p,2,),下，实现效用水平,u,，,至少,需要多少预算（支出）？,u,x,1,x,2,u,(,x,1,x,2,)=,u,等支出线,Slide,157,1.4.2,支出函数,支出最小化问题,(EMP),希克斯需求函数,Slide,158,1.4.2,支出函数,希克斯需求函数,x,h,(p,u,),在价格,p,下，实现效用水平,u,，支出最小的消费束。,Slide,159,x,1,x,2,x,h,补偿需求曲线,Slide,160,Hicksian demand function,对于不同的无差异曲线，,对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。,在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用都相等。,显然，在给定价格体系,p,和效用水平,U(x),之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设,。,Slide,161,1.4.2,支出函数,支出最小化问题解的存在性、唯一性,支出函数的性质,Slide,162,存在性定理,设消费集合,X,是向下有界的非空闭集，,是连续的偏好，则对任何价格向量 及任何 ，都有 （即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。,Slide,163,唯一性定理,设消费集,X,是凸集,是连续的严格凸偏好,则对于符合条件,e(p,x)e*(p),的任何价格体系,p,和消费向量,希克斯需求集合,中最多只有一种消费方案,.,因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的,.,Slide,164,存在性定理的证明,是连续函数,是连续函数,是闭集,Slide,165,续,E,有下界,是闭集,2,.,1,.,存在,最小值，即,Slide,166,唯一性定理的证明,u,(x),是严格拟凹函数,假设,x,1,x,2,都是,EMP,的最优解,u,(x,t,),u,px,t,=px,2,=e,存在,ku,pkx,t,e,如果偏好满足假设,1.2,，那么,EMP,最优解唯一,证明：,u,(x),是连续函数,与假设矛盾,Slide,167,支出函数,e(p,u),的性质,如果,u(.),是连续且严格递增的,那么由最小值函数定义的,e(p,u),则是,:,性质,1,：当效用水平取最低值时，支出函数值为,0,。,偏好（严格）递增,性质,2,：在 是连续函数,(,最大化定理,),Slide,168,1.4.2.2,支出函数性质,性质,3:,对,是,u,的严格递增函数，而且无上界。,证明,:,假设,非严格递增，令,u,1,0,根据包络定理：,性质,4,：支出函数是价格的递增函数。,Slide,171,1.4.2.2,支出函数性质,性质,5,：,价格的一次齐次函数,Slide,172,1.4.2.2,支出函数性质,性质,6,：,是价格的凹函数,证明：,Slide,173,1.4.2.2,支出函数性质,性质,7:,Shephard lemma,证明见性质,4.,Slide,174,1.4.2.2,支出函数性质,例,:,求与 对应的支出函数,解,:,求拉格朗日函数的一阶条件并消去,得到,于是可得支出函数,Slide,175,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,定义,定义,（,1.17,）,（,1.16,）,1,、,2,、,Slide,176,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,支出最小化,要达到效用,u,，最小的支出是,e(p,u),效用最大化,支出为,y,时效用最大取值为,u,支出为,y,时总能实现效用,u,y,最小支出,e(p,u),效用最大化,在支出为,y,的条件下能达到的最大效用是,u,支出最小化,实现效用,u,的最小支取值为,e(p,u),当开支取值为,e,时总能实现,u,开支取值为,e(p,u),时带来的效用,v(p,e(p,u)u,Slide,177,1.43,间接效用与支出函数的关系,定理,1.8,：,假设 连续且严格递增，如果 和 分别是消费者的间接效用函数和支出函数，那么，对,有：,Slide,178,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,假设,e,(),连续性,(1.17),这是不可能的,证明：,v,(),是,y,的严格递增函数,Slide,179,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,（,1.17,）,:,假设,证明：,v,(),连续,这是不可能的,Slide,180,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,定理,1.9,：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性,在假设,1.2,下，对于所有,有,:,Slide,181,1.4.3,间接效用与支出函数的关系,证明：,定理,1.8,Slide,182,对偶性的内涵,从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此,.,马歇尔需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化,.,因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题,.,1.5,需求函数性质,Slide,184,Relative prices and real income.,relative price,prices the good by some other good,not money.,real income,is the maximum number of units the consumer can consume if he spends all his money income.,Slide,185,1.5,需求函数的性质,定理,1.10:,0,次齐次和预算平衡,在假设,1.2,下,x(p,y,),是,(p,y,),的,0,次齐次函数,x(,t,p,ty,),x(p,y,)for all,t,0,满足预算平衡：,p x(p,y,)=,y,Slide,186,1.5,需求函数的性质,相对价格形式,令,x(p,y,)=x(,t,p,ty,),相对价格：,实际收入：,对,n,种商品中每一种商品的需求只依存于,n-1,个相对价格与消费者的实际收入。,Slide,187,1.5.2,收入效应与替代效应,希克斯分解,替代效应,(,SE,),：,在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所引起的需求量的变化。,收入效应,(,IE,),：总效应,(,TE,),与替代效应的差。,TE=SE+IE,Slide,188,x,1,x,2,x,h,TE,IE,SE,1.5.2,收入效应与替代效应,Slide,189,1.5.2,收入效应与替代效应,Slutsky,方程,收入效应,替代效应,Slide,190,Slutsky,方程,对偶性,记：,对偶性,Shepard,引理,Slide,191,Slutsky,方程,Slide,192,1.5.2,收入效应与替代效应,是,p,的,凹,函数,(,支出函数性质,6),定理,1-12,：负的自替代效应,Shepard,引理,Slide,193,1.5.2,收入效应与替代效应,Normal goods,inferior goods,Giffen Goods,Slide,194,1.5.2,收入效应与替代效应,Normal goods,inferior goods,Giffen Goods,Slide,195,需求规律,定理,1-13:,正常商品,自身价格的下降将导致需求的增加。如果自身价格下降导致需求减少，那么该商品必定是劣质商品。,Slide,196,Income and Substitution effects:Normal Good,Food(units,per month),O,Clothing,(units per,month),R,F,1,S,C,1,A,U,1,The income effect,EF,2,(from,D,to,B,)keeps relative,prices constant but,increases purchasing power.,Income Effect,C,2,F,2,T,U,2,B,When the price of food falls,consumption increases by,F,1,F,2,as the consumer moves from A to,B.,E,Total Effect,Substitution,Effect,D,The substitution effect,F,1,E,(from point,A to D,),changes the,relative prices but keeps real income,(satisfaction)constant.,Slide,197,Food(units,per month),O,R,Clothing,(units per,month),F,1,S,F,2,T,A,U,1,E,Substitution,Effect,D,Total Effect,Since food is an,inferior good,the,income effect is,negative.However,the substitution effect,is larger than the,income effect.,B,Income Effect,U,2,Income and Substitution effects:Inferior Good,Slide,198,1.5.2,收入效应与替代效应,定理,1-14:,对称性替代项,e,(p,u,),二次连续可微,Shepard,引理,Slide,199,1.5.2,收入效应与替代效应,定理,1.15,：负半定替代矩阵,Slide,200,1.5.2,收入效应与替代效应,是,p,的凹函数,负半定,Slide,201,1.5.2,收入效应与替代效应,定理,1.16,：负半定对称斯勒茨基矩阵,Slide,202,Application,定理,1-10,和,1-16,可用于对理论或实证模型进行检验,.,消费者需求满足齐次性和预算平衡性的要求,以及,斯勒茨基矩阵必须是对称的和负半定的要求,为实际估算马歇尔需求方程组中参数的设定规定了一系列严格的限制,(,当然,在这种情况下,消费者必须是理性的价格接受者,).,Slide,203,1.5.3,弹性分析,收入弹性,价格弹性,收入份额,Slide,204,消费者需求的加总,定理,1-17:,设,x(p,y),是消费者的马歇尔需求,则如下关系必须在收入份额,需求的价格弹性与收入弹性间成立,:,1.Engel aggregation:,它表明收入份额加权的收入弹性之和为,1.,2.Cournot aggregation:,它表明加权的自身需求价格弹性与交叉需求价格弹性总可以某种特殊方式加总,.,Slide,205,恩格尔加总,Slide,206,古诺加总,Slide,207,To sum up,定理,1.10-1.17,共同给出了一个有关效用最大化行为的逻辑含义的说明,:,齐次性告诉我们需求必将对等比例的价格与收入的同时变动做出反应,预算平衡性则要求需求耗尽消费者的收入,.,斯勒茨基方程告诉我们,针对一般性的价格变化,需求的变化数量和方向将怎样,(,它还考察了那些不可观测到的需求变化是如何具体影响需求总量,从而使需求量表现为我们最终观测到的实际变化,).,最后,加总关系提供了有关需求量如何在整个需求函数方程组中被“放到一起”的技巧,.,Slide,208,Ch 2,消费者理论专题,Slide,210,数学基础,超平面（,hyperplane,）,a hyperplane is any codimension-1 vector subspace of a vector space.,Equivalently,a hyperplane,V,in a vector space,W,is any subspace such that W/V is one-dimensional.,Slide,211,欧拉定理,当且仅当如下式子成立时，,f(x),是,k,次齐次性的,:,Slide,212,Ch 2,对偶性,可积性,显示偏好,不确定性,Slide,213,2.1,对偶性深入分析,偏好,EMP,UMP,Slide,214,2.1.1,支出与偏好,它可能是、也可能不是一个支出函数。,满足什么条件时是支出函数从消费者的支出行为能否还原其偏好关系？,在前面一章，我们的支出函数构造思路是：,效用函数,EMP,支出函数,而在本章我们的思路正相反：,支出函数,效用函数,Slide,215,定理,1.7,：支出函数的性质,1.,在 连续,2.,对,是,u,的严格递增函数，而且无上界。,3.,是价格的递增函数。,4.,是价格的凹函数,5.,是价格的一次齐次函数,Slide,216,命题,1,：,（本节所要说明的问题）,如果,E,(p,u,),满足定理,1.7,：,1-5,性质，那么它就是某一偏好的支出函数。换言之，与此支出函数相对应的效用函数必然存在。,等价提法：能够构造一个效用函数,u,(),，使得,E