学生-第八章-应力状态分析和强度理论.ppt

武汉大学土建学院,应力状态与强度理论,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 应力状态分析和强度理论,8,1,应力状态的概念,82,二向应力状态的解析法,83,二向应力状态的应力圆,84,三向应力状态简介,85,广义虎克定律,86,复杂应力状态下的变形比能,87,强度理论的概述,88,四种常用强度理论,强度条件是指构件不会失效或者处于安全应力状态的条件。从这些条件可以建立材料的工作应力和极限应力之间的关系。,如果构件的危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，可通过试验确定其极限应力，再除以安全系数得许用应力。,正应力强度条件,：,拉伸和压缩,弯曲,剪应力强度条件,：,扭转,剪切,研究目的,对于复杂应力状态，试验本身比较复杂，且工作量繁重，很难直接测得极限应力。,必须研究材料或构件在复杂应力状态下的破坏或失效规律。,在静载荷和室温条件下，大多数材料有两种失效形式,:,脆性断裂,塑性屈服,强度理论：,根据失效规律提出的关于引起材料破坏主要因素的种种假说或学说。,利用简单应力状态的实验结果建立复杂应力状态的强度条件。,一、应力状态,应力状态,在外力作用下，构件内任一点各个方向的应力情况称为该点的应力状态,（,State of Stress at,a,Given Point,）,。,围绕研究点截取出的,无限小,六面体,。,二、单元体,概念：,1,2,特点,：,(1),边长,：,(2),应力均布,(3),互相平行面上的正应力,相等,(4),满足,剪应力双生互等定理,81,应力状态的概念,例如图示矩形截面梁，为了研究某截面,m-m,上,A,、,B,和,C,三点的应力状态，取单元体如下：,原始单元体：各侧面上的应力情况为已知,三、主单元体、主平面、主应力,主面,(,Principal Plane,),：,剪应力为零的截面。,主应力,(,Principal Stress,）：,主面上的正应力。,主单元体,(,Principal,bidy,),：,各侧面上剪应力均为零的单元体,。,主应力排列规定：按代数值大小，,s,1,s,2,s,3,x,z,y,s,x,s,y,s,z,单向应力状态,（,Unidirectional State of,Stress,）,：,三个主应力中，只有,一个,数值不等于零的应力情况。,1,二向应力状态,（,Plane State of,Stress,）,：,三个主应力中，只有,两个,数值不等于零的应力情况。,2,四、应力状态分类,例如 前悬臂梁,A,点,例如 前悬臂梁,B,、,C,点,三向应力状态,（,ThreeDimensional State of,Stress,）,：,三个主应力数值,都,不等于零的应力情况。,3,举例：,A,点为单向应力状态,P,P,A,A,D,、,E,点为三向应力状态,快速加热或在高压液体中的钢球,B,、,C,点为二向应力状态,M,P,x,y,z,B,C,B,t,x,圆筒形薄壁容器侧壁上的应力状态,有内压力为 的流体，略去流体重量，壁厚 远小于圆筒直径 时，可认为壁内应力,沿厚度均匀分布,。,容器侧壁上任意一点的应力情况属于,二向应力状态,横截面上的正应力，即轴向应力为,纵截面上的正应力，即周向应力为,例如，用力,P,压于钢模内的橡胶圆柱，从,E,点取一单元体，它为三向应力状态,简化,一、二向应力状态的化简,s,x,s,y,x,y,z,O,s,x,s,x,s,y,x,y,s,x,s,y,O,s,x,s,y,8,3,二向应力状态的解析法,二、,任意斜截面上的应力规定：,截面外法线同向为正；,t,a,绕研究对象顺时针转为正；,a,逆时针为正。,x,y,x,y,S,设：斜截面面积为,S,，,由分离体平衡得,：,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：，得：,两个解 及 表示两个主平面的位置，且它们,相互垂直,）,三、正应力极值,（等价于剪应力 ）,说明：的平面上，正应力为极值，即 截面就是一个,主平面,，此时的 就是一个,主应力,。,主平面位置,：,x,轴与主平面外法,线的夹角,x,y,S,正应力极值,：,讨论：,2,1,3,大偏大，小偏小,偏向 、中代数值,较大,的一边,；,1),偏向 、中代数值,较小,的一边；,2),4,主应力 、,的方向由单元体上的应力情况直观判断。,3),时，,x,y,s,x,s,y,O,t,x,三、剪应力极值,其解 及 ，表示最大及最小剪应力所在的平面也,相互垂直,。,剪应力极值,：,（主剪应力方向可由单元体的主应力方向直观判断）,说明：,最大、最小剪应力所在平面与主平面各成 角,。,四、互相垂直的两截面上的应力关系,已知,得,：,例：,分析受扭构件的破坏规律。,解：,确定危险点并画其原,始单元体,求极值应力,t,x,y,C,t,yx,M,C,x,y,O,t,xy,t,yx,低碳钢,铸铁,破坏分析,MPa,200,;,MPa,240,:,=,=,s,s,t,s,低碳钢,例,1,已知图示单元体中 求主应力大小及方向，并画出主应力单元体。,解：,例,2,已知矩形截面梁某横截面上的弯矩及剪力分别为,M,10KNm,，,Q,120KN,，,试绘出下图所示截面上,1,，,2,，,3,，,4,各点应力状态的单元体，并求其主应力。,1,2,3,4,解,：,第一点：,主应力,：,（单向受压应力状态）,2,第二点：,第三点,：,3,主应力：,（纯剪切应力状态）,主应力：,第四点：,3,（二向应力状态）,（单向受拉应力状态）,主应力：,4,对上述方程消去参数（,2,），得：,一、应力圆（,Stress Circle,）,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,s,y,t,xy,s,x,s,a,t,a,a,x,y,O,t,n,此方程曲线为圆,应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：,Otto Mohr,引入）,84,二向应力状态的应力圆,应力圆,二、应力圆的画法,点面对应；转向一致；转角二倍。,四、在应力圆上标出极值应力,O,C,s,a,t,a,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),x,2,a,1,2,a,0,s,1,s,2,s,3,s,3,s,1,s,2,B,A,C,2,s,0,例,3,求图示单元体的主应力及主平面的位置。,(,单位：,MPa),A,B,1,2,解：,主应力坐标系如图,AB,的垂直平分线与,s,a,轴的交点,C,便是圆心，以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆,应力圆,0,s,a,t,a,(MPa),(MPa),O,20MPa,在,坐标系内画出点,s,3,s,1,s,2,B,A,C,2,s,0,s,a,t,a,(MPa),(MPa),O,20MPa,主应力及主平面如图,1,0,2,A,B,解法,2,解析法：分析,建立坐标系如图,60,x,y,O,由平衡原理推导得,：,其中：,n,斜截面外法线方向,一、三向应力状态任一斜截面上的应力公式,84,三向应力状态简介,二、正应力的极值,由 、的公式可以证明：,应力圆,表示与 相平行的各斜截面上的应力,应力圆,表示与 相平行的各斜截面上的应力,应力圆,表示与 相平行的各斜截面上的应力,与 与三个主应力都不平行的任意斜截面上的应力的,K点，必落在三个圆所构成的蓝色区域内,二、最大剪应力,t,max,其它两个主应力在,xy,平面上,是一个主应力,解：,三个主平面两两正交,例,3,已知,求,：,x,y,O,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力应力单位为,MPa,）。,解：,解,：,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为,MPa,）。,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为,MPa,）。,解：,一、单轴拉伸下的应力,-,应变关系,二、纯剪切时的应力,-,应变关系,x,y,z,x,y,85,广义虎克定律,三、复杂状态下的应力,-,应变关系,在,小变形,、,线弹性,范围内，应力与应变成,线性,关系，所以可用叠加,原理来计算第一主应力方向上的线应变。,1,当 单独作用时，沿第一主应力方向上的线应变,2,当 单独作用时，沿第一主应力方向上的线应变,2,当 单独作用时，沿第一主应力方向上的线应变,当 、共同作用时，沿第一主应力方向上的线应变,复杂应力状态应力应变的关系,同理：,广义虎克定理,上述定律只有材料是各向同性，且处于线弹性范围内才成立。,四、体积应变,式中：,体积应变,变形后的体积,变形前的体积,取一主应力单元体，如左图。,x,y,z,O,忽略高阶微量后得：,若用主应力表示，则：,可见体积应变，只决定于三个主应力之和,令,平均主应力,则,例,4,在一体积较大、变形可以忽略不计的钢块上开一槽，宽,高 ，槽内嵌一 的铝块，已知铝 ，受到 的作用，求其三个主应力。,解,：,？,1,、图示直径,d=50mm,的橡皮圆柱置于钢模,B,内，用力加压，已知,P=4.6kN,，,橡胶的泊松比,=0.45,，试求橡胶圆柱和钢模之间的压强,p,。,2,、图示微体，已知,a=250mm,，,b=c=150mm,，,x,=-50MPa,y,=-40MPa,z,=-36MPa,E=200GPa,=0.3,试求：,（,1,）微体各尺寸的改变量,a,，,b,，,c,（,2,）体积改变量,V,（,3,）最大剪应力,max,.,思考题,一、单向应力状态下的比能,二、三向应力状态下的比能,在,小变形,、,线弹性,情况下，各力的,先后次序,对物体的,最后变形无影响,。,假设三个主应力同时按比例由零逐渐增加至最终值，并由此来计算变形能。,86,复杂应力状态下的变形比能,三、体积改变比能与形状改变比能,体积改变比能,形状改变比能或歪形能,只改变体积,只改变形状,2,3,1,图,a,图,c,3,-,m,1,-,m,2,-,m,m,图,b,m,m,x,y,O,例,4,已知,求：,解：,一、引子：,1,、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,脆性材料拉断,脆性材料扭断,87,强度理论的概述,脆性材料的强度条件：,混凝土和石料受压破坏,塑性材料的强度条件：,塑性材料受拉,塑性材料受扭,2,、组合变形杆将怎样破坏？,M,P,能否和单向受力一样通过实验而得？,实践证明行不通！,多,（,1,）在复杂应力状态下，材料破坏不仅与各个主应力有关，而且和它们之间的比值也有关，实际上，工程中的受力构件其主应力组合有无限多种，无法一一进行实验。,难,（,2,）到目前为止，实现复杂应力状态的试验机及测试手段仅有有限的几种，对于众多的主应力组合，在技术上难以实现。,二、建立强度理论的目的：,解决复杂应力状态下材料破坏的判据和准则,建立相应强度条件，通常称这些学说和假说为强度理论。,在静载荷和室温条件下，大多数材料有两种,破坏失效,形式,:,脆性断裂,塑性屈服,(1),判别材料在复杂应力状态下,是否破坏,的理论；,(2),解释材料在复杂应力状态下,破坏机理,的假说。,二、建立强度理论的依据,破坏原因,单向受力的实验结果,复杂应力状态下的强度问题,一般认为：,(1),脆性材料,发生,脆性破坏,，如铸铁、石材；,(2),塑性材料,发生,塑性屈服,，如低碳钢。,(3),三向压缩,状态下为,塑性屈服,(4),三向拉伸,状态下为,脆性破坏,（一）、最大拉应力（第一强度）理论：,认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,一,.,断裂破坏的强度理论,88,四种常用强度理论,失效条件,1,、破坏判据：,2,、强度准则,：,式中 为单向拉伸的许用应力,3,、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。实践证明：,此理论对于脆性材料的单向、二向和三向拉伸相当符合。如存在压应力时，只要最大压应力的绝对值不超过拉应力，此理论也能近似使用,。,图示铸铁微体，能否用第一强度理论？,(,二,),、最大拉应变（第二强度）理论：,认为构件的脆断是由最大拉应变,max,引起的。,无论材料是处于单向、二向或三向应力状态，,当最大拉应变,max,达到,单向拉伸,试验下的极限应变时，构件就断了。,1,、破坏判据：,其中,对于单向受力的脆性材料，由实验可知，直到断裂，材料基本符合虎克定律（如图式），即,2,、强度准则,：,由广义胡克定理,3,、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。实践证明：,此理论对砖石以及最大压应力的绝对值大于拉应力的脆性,材料比较符合,认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。,无论材料处于单向、二向或三向应力状态，,当最大剪应力达到,单向拉伸,试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,1,、屈服判据,：,二,.,屈服破坏的强度理论,（三）、最大剪应力（第三强度）理论：,2,、强度准则：,3,、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。由于此公式形式简单，所以工程上普遍适用。其缺点是没有考虑,2,的影响。,认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。,无论材料处于单向、二向或三向应力状态，,当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,1,、屈服判据：,2,、强度准则,（四）、形状改变比能（第四强度）理论：,3,、适用范围：对塑性材料，比第三强度理论与试验结果吻合得更好。,r,称为相当应力。,三,.,四个强度理论的一致性,四个强度理论可以写成统一的形式,r,r,第四强度理论,形状改变比能理论,第一强度理论,最大拉应力理论,第二强度理论,最大拉应变理论,第三强度理论,最大剪应力理论,第一类,（脆性断裂失效）,第二类,（塑性屈服失效）,强度理论,相当应力,四、平面应力下强度理论的简化,第一强度理论：,1,当 时，,当 时，,2,第二强度理论：,当 时，,当 时，,3,第三强度理论：,4,第四强度理论：,五、强度计算的步骤：,1,、外力分析：确定所需的外力值。2,、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3,、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，,求主应力。,4,、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行,强度计算。,例,5,已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如下图，若,，试校核该点处的强度是否安全。,x,y,O,解：,是脆性材料，,用第一强度理论判别,此危险点的强度足够,例,6,铸铁受力构件危险点处的应力状态如图所示，他适合用哪个强度理论？已知,0.3,，,40MPa,解：绘制三向应力圆,由三向应力圆可知，三个主应力分别为：,由于最大压应力绝对值大于最大拉应力，可用第二强度理论。,符合强度要求。,解：,危险点,A,的应力状态如图：,例,7,直径为,d,=0.1m,的圆杆受力如图,T,=7kNm,P,=50kN,为,铸铁构件,，,=40MPa,试,用第一强度理论校核,杆的,强度,。,故，,满足,强度要求,。,P,P,T,T,A,A,s,t,例,9-1,已知铸铁元件上危险点的应力状态，请校核该点的强度,.,已知,=30MPa,。,解,：针对铸铁元件，选择第一强度理论,max,=,1,计算主应力,显然,1,29.28MPa,2,3.72MPa,3,0,max,=,1,=29.28MPa,=,30MPa,于是,该点满足强度要求。,例,9-2,已知应力状态的,和,.,写出,r3,和,r4,的表达式,.,解：首先计算主应力,因此,本章结束,（,1,）强度条件中的 代表单向拉伸时材料的许用应力。,（,2,）,塑性材料,抵抗滑移能力,通常,低于抵抗断裂能力，所以,一般用第三或第四强度理论,；,脆性材料,抵抗断裂的能力,通常,低于抵抗滑移的能力，所以,一般用第一或第二强度理论,。在实际工程中，对塑性材料而言，究竟采用第三或第四强度理论，这与所论构件的工程设计规范有关。例如，钢梁的强度计算常采用第四强度理论，而对承受内压的钢管，在进行强度计算时常采用第三强度理论。不过在许多情况下，依个人偏爱而定。,（,3,）实验表明：材料的破坏（或失效）不仅取决于材料是塑性材料或脆性材料，而且与其所处的应力状态、温度和加载速度等因素有关。严格地说，在使用强度理论时，应区分为,脆性状态和塑性状态,。前者使用第一或第二强度理论，后者使用第三或第四强度理论。,