lec1几何与代数绪论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,几何与代数,主讲,:,关秀翠,东南大学数学系,2010,年国家级精品课程,绪论,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“,几何与代数,”,和,“,高等数学,”,的区别,“,几何与代数,”,的基本思想方法,“,几何与代数,”,的主要内容,学什么？怎么学？,2,我想说,课程的重要性,工科基础,考研基础,思维训练,电子工程与信息类专业有十多门课程要用矩阵建模和解题，比如电路、数值计算方法、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动等。,考研高数一中线性代数占,22.5%,，高数占,55%,，概率统计占,22.5%,。,塑造学生内在素质,培养化繁为简的思考模式,培养分析问题的能力,培养发散思维,转化思想，训练思维的联想性,转换思考角度，训练思维的求异性,多角度看问题,探讨变换问题条件,3,4,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,期末成绩占,88%,作业成绩占,4%,合理分配时间,学习方法,数学试验占,4%,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样,学习,(,Study,not learn,),的人,_,Alvin Toffler(,未来学家,),应试型学习转为应用型学习,小论文,4%,被动学习转为主动学习,大学：学生是学习的主体，老师来引导,多动手，勤思考,深入体会思想方法，提高逻辑思维能力,培养,自学,能力,，独立分析问题,能力,和独立解决问题的,能力,要善于运用新学的知识和方法,5,6,武汉大学王林昌教授在谈到大一新生如何设计自己的大学之路时说，上大学有四项任务，一是要学会做人，二是要学会做事，三是要学会学习，四是要学会处理人际关系。,7,“,几何与代数,”,和,“,高等数学,”,的区别,高等数学的一个重要思想是把非线性的问题用线性问题来近似，那么线性问题的求解任务自然就交给了线性代数。,高等数学中有大量公式要记并使用，而线性代数无须记任何公式，注重理论推导来增强逻辑推理能力。,8,高等数学重解题技巧，几何与代数重思想轻技巧，重举一反三。,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“,几何与代数,”,的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独游戏谈向量空间,9,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应,.,10,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,古典几何作图的三大难题,:,有限次使用圆规和直尺,(,无刻度,),1,把任意角三等分；,2,作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；,3,作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的,2,倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢,?,它提出了如下三问：,11,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应,.,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺,(,无刻度,),1,把任意角三等分；,2,作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；,3,作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的,2,倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢,?,它提出了如下三问：,一问：尺规作图的功能是什么,?,12,功 能,工具,几 何,代 数,直尺,圆规,画直线,二元一次方程,画圆,特殊的二元二次方程,(,平方项系数相等，交叉项系数为,0),用解析几何求解古典几何作图的三大难题,一问：尺规作图的功能是什么,?,二问：几何作图的本质是什么,?,13,几 何,代 数,求一系列直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点,求一系列二元一次或,(,特殊,),二元二次方程的根,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺,(,无刻度,),1,把任意角三等分；,2,作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；,3,作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的,2,倍。,一问：尺规的作图功能,?,二问：几何作图的本质,?,三问：几何作图有解的充要条件是什么,?,代数：三类方程组的解有什么特点,?,三类方程组的根一定可以由原方程的系数，经过加、减、乘、除及开平方这,5,种运算表示出来。,都不可能！,14,空间解析几何的基本思想,用代数方法研究几何问题,几何与代数的关系：,数量关系,在三维空间中,:,空间形式,点,线,面，二次曲面,基本方法,坐标法,;,向量法,坐标,方程（组）,三维,n,维,15,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“,几何与代数,”,的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独游戏谈向量空间,16,从动物连连看谈等价分类,17,从数独游戏到杜勒魔方,18,Drer,魔方,：,4,阶，每一行之和为,34,，每一列之和为,34,，对角线（或次对角线）之和是,34,，每个小方块中的数字之和是,34,，四个角上的数字加起来也是,34.,版画创造时间：,1514,年,多么奇妙的魔方！,Drer,魔方,该魔方出现在德国著名的艺术家,Albrecht Drer,于,1514,年创造的版画,Melancolia,。,从杜勒魔方到向量空间,19,4,阶,Drer,魔方,：,行和,=,列和,=,对角线（或次对角线）之和,=,每个小方块之和,=,四个角之和,.,铜币铸造时间：,1514,年,多么奇妙的魔方！,你想构造,D,rer,魔方吗？,D,rer,魔方有多少个？,如何构造所有的,D,rer,魔方？,1,22,17,18,12,23,17,6,25,3,15,15,20,10,9,19,和为,58.,Drer,魔方,20,从杜勒魔方到向量空间,4,阶,Drer,魔方,：,行和,=,列和,=,对角线（或次对角线）之和,=,每个小方块之和,=,四个角之和,.,你想构造,D,rer,魔方吗？,D,rer,魔方有多少个？,如何构造所有的,D,rer,魔方？,A,=,B,=,设,A,B,是任意两个,Drer,魔方，,对任意实数,k,，,kA,是,Drer,魔方吗？,A+B,是,Drer,魔方吗？,Drer,魔方,1,22,17,18,12,23,17,6,25,3,15,15,20,10,9,19,21,从杜勒魔方到向量空间,你想构造,D,rer,魔方吗？,D,rer,魔方有多少个？,如何构造所有的,D,rer,魔方？,设,A,B,是任意两个,Drer,魔方，,对任意实数,k,，,kA,是,Drer,魔方吗？,A+B,是,Drer,魔方吗？,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个,Drer,魔方的任意的线性组合仍是,Drer,魔方。,记,D,=,A,=(,a,ij,),R,44,|,A,为,Drer,魔方,则,D,构成一个向量空间，称为,Drer,魔方空间,.,无穷多个,求出魔方空间的一组,基,基的任意线性组合都构成一个,Drer,魔方,.,Drer,魔方空间,22,从杜勒魔方到向量空间,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“,几何与代数,”,和,“,高等数学,”,的区别,“,几何与代数,”,的基本思想方法,“,几何与代数,”,的主要内容,学什么？怎么学？,23,线性代数的主要内容,一、主要任务,解,线性方程组,线性方程组,方程间,的关系,向量间,的关系,矩阵的性质和运算,行列式,的运算,返回,考虑,再学,方程对应一个向量,再学,向量组构成矩阵,再学,方阵,再学,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,矩阵的秩,核心工具初等变换,24,线性方程组：,(2),2,(1),可得,：,1/3,(2),可得,：1),(2),可得,：,高斯消元法：,(2),+,k,(1)(,k,0,),k,(2),(,k,0,),(1),(2),初等变换,线性代数的核心工具,返回,25,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,26,学什么？怎么学？,27,研究式的教与学,几代知识点较零散，力求弄清知识点的产生和前后联系，增强整体感,加强几代对我们的思维训练和能力训练,掌握三基,基本概念,(,定义、符号,),、,基本理论,(,定理、公式,),、基本方法,(,计算、证明,),做好预习复习,体会思路，学会总结,多看多练多想,深入体会思想方法，提高逻辑思维能力,按时完成作业,A,B,C,每周二课前交作业，每周四晚有答疑，在J8-4,楼专用教室,趣味思考题、小论文,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“,几何与代数,”,和,“,高等数学,”,的区别,“,几何与代数,”,的基本思想方法,“,几何与代数,”,的主要内容,学什么？怎么学？,28,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶、三阶行列式,一,.,二元线性方程组与二阶行列式,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,a,12,b,2,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,2,=,a,11,b,2,b,1,a,21,当,a,11,a,22,a,12,a,21,0,时,a,11,x,1,+,a,12,x2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,x,1,=,b,1,a,22,a,12,b,2,a,11,a,22,a,12,a,21,x,2,=,a,11,a,22,a,12,a,21,a,11,b,2,b,1,a,21,.,1.1,二阶、三阶行列式,29,经济政策模型,a,11,a,12,a,21,a,22,记,D,=,b,1,a,12,b,2,a,22,D,1,=,a,11,b,1,a,21,b,2,D,2,=,则当,D,0,时,=,D,1,D,=,D,2,D,.,a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2x,1,=,b,1,a,22,a,12,b,2,a,11,a,22,a,12,a,21,方程组有唯一确定的解,x,2,=,a,11,a,22,a,12,a,21,a,11,b,2,b,1,a,21,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶、三阶行列式,=,a,11,b,2,b,1,a,21,二阶行列式的对角线法则,Cramer,法则,例,30,=,a,11,a,22,a,12,a,21,n,元线性方程组与,n,阶行列式,31,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,13,x,3,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,23,x,3,=,b,2,a,31,x,1,+,a,32,x,2,+,a,33,x,3,=,b,3,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,问题,1,：,2,元线性方程组的,Cramer,法则能否推广到,n,元？,问题,2,：,n,阶行列式的定义和计算？,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,教 学 内 容,学时数,1.1,二阶、三阶行列式,1,1.2,n,阶行列式,1,1.3,行列式的性质和计算,4,1.4,线性方程组的求解,2,32,1.1,二阶、三阶行列式,一,.,排列的逆序数,二,.,n,阶行列式,的定义,三,.,行列式的转置,第一章 行列式和线性方程组的求解1.2,n,阶行列式,33,三阶行列式的对角线法则,a,1,a,2,a,3,b,1,b,2,b,3,c,1,c,2,c,3,=,a,1,b,2,c,3,每项都是三个元素的乘积,.,每项的三个元素位于不同的行列,.,问题,:,能用对角线法则计算四阶行列式吗,?,a,1,a,2,a,3,a,4,b,1,b,2,b,3,b,4,c,1,c,2,c,3,c,4,d,1,d,2,d,3,d,4,对角线法则可得,八,项的代数和；,每项是,四,个位于不同行列的元素乘积,产生矛盾,否,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶、三阶行列式,a,1,b,3,c,2,34,可得,4,！,=24,项的代数和,a,2,b,3,c,1,+,a,3,b,1,c,2,a,3,b,2,c,1,a,2,b,1,c,3,二,.,三阶行列式的特点,每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积,.,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,=,a,1,1,a,2,2,a,3,3,+,a,1,2,a,2,3,a,3,1,+,a,1,3,a,2,1,a,3,2,a,1,1,a,2,3,a,3,2,a,1,2,a,2,1,a,3,3,a,1,3,a,2,2,a,3,1,.,将行标按,1,2,3,排好，列标恰好对应于,1,2,3,的,6,种排列,.,代数和的符号与列标排列的逆序数有关,.,(,1),1,对换,2,次,对换,1,次,(,1),2,问题,:,如何利用二三阶行列式的,其他特点计算四阶以上行列式,?,对换的次数,称为逆序数,.,(,1),0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶、三阶行列式,35,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,排列,j,1,j,2,j,3,的逆序数,对所有不同的三级排列,j,1,j,2,j,3,求和,a,11,a,12,a,21,a,22,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶、三阶行列式,=,a,1,1,a,2,2,a,3,3,+,a,1,2,a,2,3,a3,1,+,a,1,3,a,2,1,a,3,2,a,1,1,a,2,3,a,3,2,a,1,2,a,2,1,a,3,3,a,1,3,a,2,2,a,3,1,36,问题：如何定义排列的逆序数,.,1.,逆序数,逆序：,违反从小到大的正常顺序,一个,排列的,逆序数,:,所有数的逆序数的总和,.,奇,(,偶,),排列：,逆序数为奇,(,偶,),数的排列,.,逆序数,k,：,设,i,1,i,2,i,k,i,n,是,1,n,的一个排列,则,i,k,在此排列中的逆序数,k,为,排在数,i,k,之前,(,后,),比,i,k,大,(,小,),的数的个数,.,三,.,排列的逆序数与奇偶性,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,对换,(,变成,12,n,),的次数称为逆序数,.,37,计算方法不同逆序数可能不同，但其奇偶数相同,.,例,1.,求下列排列的,逆序数,(1),32514,(2),n,(,n,1)(,n,2)321,(3)(2,n,)(2,n,2),4213,(2,n,3)(2,n,1).,逆序数,k,：排在数,i,k,之前,(,后,),比,i,k,大,(,小,),的数的个数,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,38,1.1-2,方阵的行列式,一,.,二元线性方程组与二阶行列式,三,.,排列的逆序数与奇偶性,四,.,n,阶行列式的定义,二,.,三阶行列式的特点,第一章 行列式和线性方程组的求解,对角线法则,39,逆序数：排在数,i,k,之前,(,后,),比,i,k,大,(,小,),的数的个数,.,对换,(,变成,12,n,),的次数称为逆序数,.,作业及预习提示,(,A,),填空题选择题：作为课下练习,一,.(A)1(1-4),(B),1,2,3,(,B,),留作业,每周二交作业,(,C,),课下提高题：有时间的话尽量做,预习：,1.3,节,40,趣味思考题一：数数的本质是什么？,趣味思考题二,试证明在二维平面上，,2,阶,行列式 的绝对值是以,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),为邻边的平行四边形的面积。,提示：在二维平面上，,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),(1),试计算,=,(,a,12,a,22,)=,=,(,a,11,a,21,),时的平行四边形面积；,(3),试说明,与,D,的关系；,(2),试说明,与,D,的关系；,41,