地图制图学课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 地图投影的基本理论,3-2 Principle Theory of,Map Projection,一、地图投影的一般方程,(Regular equations of map projection),地图投影的一般方程,其中：,x,y-,-,该点投影平面的纵横坐标；,B,L,-,该点在地球椭球面上的大地经纬度。,条件：函数为单值、连续、有界。,二、地图投影变形,Distortion of map projection,投影变形：,由曲面向平面投影时引起的经纬网几何特征的变化,。,角度未变化，经线按同一比例缩小，纬线比例不同，面积变化。,除中央经线外，其它经线不正交，同纬线上弧长不等。,各经线、纬线上弧长均不等。,1.,长度比,(Proportion of length),与,长度变形,(Length distortion),长度比,投影面上某一方向上无穷小的线段,ds,与原面上对应的无穷小的线段,ds,之比。,长度相对变形,v,(%),：,长度比,不仅随点位不同而变化，而且同一点上随方向变化而变化。,2.,面积比,(Proportion of area),投影面上某区域无穷小面积与原面上对应的无穷面积之比。,面积变形,（,Area distortion,),3.,角度变形,（,Angular distortion,）,投影面上过某点的任意两方向线的夹角,u,与地球椭球面上相应两方向线夹角,u,的差，即：,时，投影后角度增大；,时，投影后角度减小；,时，无变化，无角度变形。,角度变形随点位和方向的变化而变化。,在某一方向上其角差达到最大值，为该点的角度最大变形。,4.,标准纬线,(standard parallel),投影面与地球某纬线圈相切，该纬线投影后无变形。称为标准纬线。,圆锥投影,圆柱投影,5.,主比例尺,(major scale),地图制图时，将球面按一定比率缩小再投影到平面上，这个小于,1,的常数比率，称为地图的主比例尺,/,普通比例尺。,局部比例尺,：,主比例尺之外其它部分采用的比例尺。,三、主方向与变形椭圆,Principal Direction&Distortion Ellipse,1.,主方向,(Principal Direction),曲面上过一点的一组正交方向，投影到平面后变形，一般不再保持正交，但总有一组正交方向投影后仍然保持正交，称为主方向。,底索定律,(,Tissots,Law),无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线在投影面上仍然能保持其正交关系。,这一对方向线,主方向线。,2.,变形椭圆,(Ellipse of Distortion),地面上无穷小圆（微分圆）投影在平面上一般被描述为一无穷小椭圆，因有变形，故称,变形椭圆,。,又称底索指线或底索曲线,（,Tissots,Indicatrix,),。,（,2-4,）,（,2-5,）,（,2-6,）,3.,最大与最小长度比,（,maximum&minimum Proportion of lengths),球面上一组正交的经纬线方向，投影后为平面上变形椭圆的一组共轭直径。其中，必有一组为变形椭圆的长半径和短半径。,即：球面上主方向投影后是变形椭圆的长短方向，且保持最大和最小长度比。,4.,主方向的性质,球面上的正交线投影后仍然正交；,投影后具有最大长度比,a,和最小长度比,b,。,5.,阿波罗尼奥斯定理,（,law of Apollonius),变换后：,古希腊,数学家，,约前,262,约前,190,。,6.,变形椭圆的变形规律,四、地图投影变形计算,Distortion Computing for Map Projection,1.,长度比公式,(formulas of length proportion),方位角为,方向上长度比公式：,当 时，,沿经线方向长度比,m,：,当 时，,沿纬线方向长度比,n,：,2.,面积比公式,(formulas for proportion of area),球面上无穷小球面梯形,ABCD,的面积,dF,，在投影平面上对应为无穷小,A B C D,的面积,dF,，则：,所以,：,其中：,m,经线长度比；,n,纬线长度比；,经纬线间夹角。,或者：,其中：,a,最大长度比；,b,最小长度比。,3.,角度变形公式,(formulas of angular distortion),最大角度变形：,五、地图投影条件,Conditions of map projection,三种变形：长度、面积和角度。,1.,等角投影条件,等角,(,正形、相似,),投影,(,Conformal projection,),投影面上某点的任意两方向线夹角与在椭球面上相应夹角相等的投影。,条件,令投影面上任意点角度最大变形,=0,。,即：,a,=,b,。,2.,等积投影条件,等积投影,(,Equivalent Projection,),投影面上任意图形面积与椭球面上相应图形面积相等的投影，即,面积比：,p,=1,。,条件,ab,=1,3.,等距投影条件,等距投影,(,Equidistant projection,),沿变形椭圆的一个主方向长度比为,1,的任意投影。,条件,经线长度比：,m,=1,。,六、地图投影分类,Classification,of Map Projections,1.,按投影变形性质,(by distortion qualities),等角投影,(,Conformal projection,),等积投影,(Equivalent Projection),任意投影,(Arbitrary projection),特例：,等距投影,(Equidistant projection),等角投影,等积投影,等距投影,与,阿拉斯加,比较,等角投影中,巴西,三种投影的变形椭圆比较,2.,按正轴投影经纬线形状分类,(by shapes of the geographical mesh),方位投影,（,Azimuthal,or Zenithal projection),以平面为投影面，并与地球体面相切或相割，将球面上经纬网投影到平面上的投影。,正方位投影 横方位投影 斜方位投影,正方位投影,经纬线形状：,特点：,投影中心为极点，纬线为同心圆，经线 为同心圆的半径，两条经线间的夹角与相应经差相等。,适合制作：,两极地区地图。,圆柱投影,(Cylindrical Projection),以圆柱面为投影面，并与地球面相切或相割，将球面上经纬网投影到圆柱面上，再沿母线将圆柱面展为平面的投影。,正轴圆柱投影,横轴圆柱投影,斜轴圆柱投影,圆 柱 投 影,特点：,纬线为一组平行直线，经线为垂直于纬线的另一组平行直线，两经线的间隔与相应经差成正比。,圆 柱 投 影,圆锥投影,（,Conical projection,）,以圆锥面为投影面，并与地球体面相切或相割，将球面上经纬网投影到圆锥面上，再沿母线将圆锥面展为平面的投影。,斜轴圆锥投影,正轴圆锥投影,横轴圆锥投影,特点：,纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间夹角与相应经差成正比。,正圆锥投影经纬线形状,其它投影,伪方位投影,（,Pseudo-,azimuthal,projection),在方位投影基础上，保持纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线改为对称于中央经线的曲线。,伪圆柱投影,(Pseudo-cylindrical projection),在圆柱投影基础上，保持纬线为平行直线，其余经线为对称凹向中央经线的曲线。,伪圆锥投影,（,Pseudo-conical projection),在圆锥投影基础上，保持纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线为对称凹向中央的曲线。,多圆锥投影,（,Poly-conical projection),以若干大小不同的同轴圆锥体面为投影面，分别切于地球体面某纬线进行各自投影，将球面上经纬网投影到圆锥体面上，再沿某一共同母线展为平面，并沿中央经线将各投影产生的纬度带经纬网接合起来的投影。,三种投影的变形情况,作业,计算下面四点围成的椭球表面梯形的面积和边长。,B1=42,0,00 B2=42,0,01,L1=121,0,30 L2=121,0,31,2.,计算该四点投影到高斯平面上的面积,(,中央子午线分别为,121,0,30,和,120,0,。,3,、计算该投影的面积比,p=?,和长度比,m,和,n,