四边形面积二等分问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,待修改,待修改,待修改,待修改,待修改,濉溪县新城初级中学 沈源,四边形面积二等分问题,2014.11.16,对于任意四边形,ABCD,，如图。,M,N,我们可以任作一条直线,MN,交四边形的两边于,M,、,N,两点，则直线,MN,把四边形,ABCD,分成两部分。,现在把直线,MN,向右平移,细心的你一定会发现：,开始时是左边的面积较小，,后来是右边的面积较小，,在此过程中，必存在一个位置，直线,MN,移动到此位置时，把四边形,ABCD,分成面积相等的左、右两部分。,如何找到这个位置,?,请往下看。,如图，已知任意四边形,ABCD,，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。,（,1,）连结,AC;,解：,（,3,）取,AC,的中点,E,（,2,）连结,BD,（,5,）连结,DF.,则直线,DF,把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分。,B,A,D,C,E,F,（,4,）作,EFBD,交,BC,于点,F,；,连结,BE,、,DE,交点为,G;,证明：,S,ABE,=,S,ACE,E,为,AC,的中点,S,ADE,=,S,DCE,S,ABE,+,S,ADE,=,S,ACE,+,S,DCE,EFBD,S,BDF,=,S,BDE,S,BGF,=,S,DGE,S,四边形,BADG,+,S,四边形,BADG,+,S,BGF,=,S,DGE,S,五边形,BADEF,=S,四边形,DCFE,=,S,四边形,ABCD,=S,五边形,BADEF,=,S,四边形,BADF,S,四边形,ABCD,直线,DF,把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分。,已知任意四边形,ABCD,，求作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。,因为四边形是任意四边形，所以，我们不妨可以先考虑特殊四边形，分三种情况,:,（,1,）对角线互相平分的四边形，如图（,1,）：,此时，由于四边形是中心对称图形，所以，过对角线交点的任意一条直线都可以把四边形分成面积相等的两部分,（,2,）一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，,四边形ABCD,中，,P,为,AC,的中点，,Q,为,BD,的中点，,P,、,Q,不重合。此时,BD,平分四边形,ABCD,。,如图（,2,）：,注意,:,左图,BDAC,右图,BDAC,。,在这两个图中，除了,BD,CE,、,AF,也都能平分四边形,ABCD.,现在的问题是：能不能过四边形,ABCD,的边上的任意一点作直线，把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分？,答案是肯定的。过,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,肯定能做自不必说了。,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,之外呢？,过四边形,ABCD,的边上的任意一点,R,求作直线,RS,，把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分。,（,1,）,（,2,）,连结,RC,，作,ESRC,交,CD,于,S,，连结,RS,，如图（,1,）。,则,RS,即为所求。,连结,RD,，作,BSRD,交,CD,于,S,，连结,RS,，如图（,2,）。,则,RS,即为所求。,此为,R,在,E,、,B,之间时，,S,必在,C,、,D,之间。,（,1,）,（,2,）,此为,R,在,F,、,B,之间时，,S,必在,A,、,D,之间。,连结,RD,，作,BSRD,交,AD,于,S,，连结,RS,，如图（,1,）。,则,RS,即为所求。,连结,RD,，作,BSRD,交,AD,于,S,，连结,RS,，如图（,2,）。,则,RS,即为所求。,（1,）,（,2,）,当,R,在,F,、,C,之间时，,S,必在,A,、,E,之间。,连结,RA,，作,FSRA,交,AB,于,S,，连结,RS,，如图（,1,）。,则,RS,即为所求。,连结,RE,，作,CSRE,交,AB,于,S,，连结,RS,，如图（,2,）。,则,RS,即为所求。,综上所述，一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共三条，这三条直线把四边形的边分成六条线段。过这六条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。3,）对角线都不过另一条对角线的中点的四边形,如图（,3,）：四边形,ABCD,中，,P,为,BD,的中点，,Q,为,AC,的中点。,由例题可知：过四边形的每个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有四条。这四条直线把四边形的边分成八条线段，且每条直线都把原四边形分成一个三角形和一个小四边形。,图（,3,）中的,AE,、,BF,、,CG,、,DH,都能把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分,过四边形,ABCD,的边上的任意一点,R,求作直线,RS,，把四边形,ABCD,分成面积相等的两部分。,连结,RD,，作,HSRD,交,CD,于,S,，连结,RS,，如图（,3,）则,RS,即为所求。,当点,R,在,B,、,H,之间时，点,S,必在,F,、,D,之间，,R,从,B,移动到,H,时，,S,从,F,移动到,D,。,连结,RD,，作,HSRD,交,CD,于,S,，连结,RS,，如图（,3,）,则,RS,即为所求。,当点,R,在,H,、,E,之间时，点,S,必在,D,、,A,之间，,R,从,H,移动到,E,时，,S,从,D,移动到,A,。,连结,RA,，作,ESRA,交,AB,于,S,，连结,RS,，如图（,3,）,则,RS,即为所求。,当点,R,在,E,、,C,之间时，点,S,必在,A,、,G,之间，,R,从,E,移动到,C,时，,S,从,A,移动到,G,。连结,RG,，作,CSRG,交,AB,于,S,，连结,RS,，如图（,3,）,则,RS,即为所求。,当点,R,在,C,、,F,之间时，点,S,必在,G,、,B,之间，,R,从,C,移动到,F,时，,S,从,G,移动到,B,。,此时我们会发现线段,CF,和线段,GB,长度不一定相等，但两条线段上的点却存在一一对应的关系，这属于数学中引进无限的概念以后引发的一个新的悖论。这个问题有待于人们进一步去研究，在这里就不讨论了。,综上所述没有一条对角线过另一条对角线的中点的四边形，过每一个顶点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。这样的直线共四条，这四条直线把四边形的边分成八条线段。过这八条线段中每条线段上的每一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。所以，过这样的四边形的边上的任意一点都有一条直线把四边形分成面积相等的两部分。,我要说明的是：过四边形的边上的任意一点都能作一条直线把四边形分成面积相等的两部分。为了作出这样的直线，只要先作出过顶点且能把四边形面积二等分的四条直线及其与四边形的边的交点，弄明白这些交点把四边形的边分成了哪些线段，然后确定所给的任意点所在的线段，再就近构造梯形，（这个梯形一定要以四边形的一个顶点与过这个顶点且能把四边形面积二等分的直线与四边形的边的交点所连的线段为一条对角线，而所求作的直线就是过已知的任意点的梯形的另一条对角线所在的直线。）最后，画出梯形的另一条对角线就是所求,现在做个练习：,如图，已知任意五边形,ABCDE,，,求作直线,AF,，把五边形,ABCD,分成面积相等的两部分。,解：,如图：取,BE,的中点,O,连结,AO;,连结,CE,取,CE,的中点,P,，,过点,P,作,RSBD,交,BE,于,R,交,DE,于,S,；连结,DR,；,连结,BD,取,BD,的中点,Q,，,过点,Q,作,MTCE,交,BC,于,M,交,BE,于,T,，连结,CT,；,连结,OD,作,RHOD,交,CD,于,H,，连结,OH,；,连结,AH,作,OFAH,交,CD,于,F,连结,AF;,则,AF,即为所求。,