概率统计简明教程(同济)Chapter2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,Chapter 2,事件的概率,对于一般的随机事件,它在一次随机试验中可能发生,也可能不发生,.,我们常常希望知道该事件在一次试验中发生的可能性大小,如,一批产品的,次品率,:5%(,P7,)?,某射手的,命中率,等,:0.9,?,它们就是该事件的概率,.,第一节 概率的概念,概率的存在性,?,共识,:,尽管随机事件发生与否具有随机性,但在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的,且可以度量,.,概率的统计定义,?,在一次随机试验中,随机事件,A,发生的可能性大小称为事件,A,的概率,记为,P,(,A).,上述概率的直观定义源于随机事件频率的研究,.,在,n,次试验中事件,A,发生的频率,f,n,(,A,)=,A,出现的次数,/,试验次数,n,.,随着试验次数的增加,频率具有稳定性,.,就抛一枚均匀的硬币来说,随机事件,A,:“,正面朝上,”,A,发生的频率在,0.5,附近波动,且越来越接近,0.5,这时,P,(,A,)=0.5.,概率就是频率的稳定值,它揭示的随机事件发生的,统计规律性,.,实际用处,:,当试验次数较大时,可用事件的频率作为概率的近似值,.,思考,如何实现,P,(,A,)?,概率的统计定义并未给出任何计算概率的方法和规则,.,概率的统计定义直观,但在理论上是不严格的,(参见本章第四节,).,思考,频率具有哪些的性质,?,(1),(2),(3),(,i,j,),概率具有哪些的性质,?,(1),(2),(3),(,i,j,),第二节 古典概型,(,概率模型,),古典概型,:,(1)(,有限性,),试验只有有限个可能结果,;,(2)(,等可能性,),每个试验结果出现的可能性相同,.,由有限性,可设试验共有,n,个可能结果,.,由等可能性知,每个试验结果出现的可能性为,1/,n,.,若随机事件,A,包含,k,个试验结果,则,A,的概率为,n,=?,k,=?,计数要用到加法原理和乘法原理,.,例,1(P8),Solution,A,=,两件都是次品,B,=,第一件是次品,第二件是正品,.,放回抽取,:,不放回抽取,:,例,2(P9),Solution,A,=,不重复的六位数,B,=,末位数是,8,的六位数,.,例,3(,女士品茶问题,),Solution,A,=10,次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后顺序,小概率事件的“实际推断原理,”,:,小概率事件在一次试验中不会发生,.,例,4(,抽奖券问题,),Solution,A,=,第,k,位顾客中奖,课堂,:P15,1,2,3.,补例,1,掷两枚骰子,求事件,A,为出现的点数之和为,3,的概率,.,S,=2,3,12?,S,=(1,1),(1,2),(6,6)(OK!):|,S,|=36,；,A,=(1,2),(2,1).,补例,2,对于一元二次方程,x,2,+,Bx,+,C,=0,其中系数,B,和,C,取值是随机的,分别取将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,求方程有不同实根的概率,.,Hint,(1)|,S,|=36;,(2),B,2,/4,C,:|,A,|=17.,第三节 几何概型,几何概型,:,(1)(,无限性,),试验结果无限,;,(2)(,等可能性,),每个试验结果出现的可能性相同,(,?,).,设所考虑的,(,区间,平面,空间,),区域为,(,?,),试验结果是,内的随机点,用事件,A,表示试验结果落在,的一个子区域,S,A,内,则,例,5(P10),Solution,用,T,表示乘客到达时刻,记,A,=,乘客等候不到,5min,上车,B,=,乘客等候超过,10min,上车,例,6(Buffon,投针问题,),针与,OM,的夹角为,.,第四节 概率的公理化定义,Kolmogorov(1933):,公理,1(,非负性,),公理,2(,规范性,),公理,3(,可列,可加性,),(,i,j,),称,P,(,A,),为事件,A,的概率,.,未解决如何确定概率的问题,.,由概率的公理化定义可以得出概率的以下性质,.,性质,1,P,(,)=0.,Proof,P,(,)=,P,(,),P,(,)=,P,(,)+,P,(,)+,P,(,)+,P,(,)+,P,(,)+,P,(,)+=,P),性质,2,Proof,=,A,性质,3(,有限可加性,),两两不相容事件,A,1,A,2,A,n,:,Proof,A,1,A,2,A,n,性质,4(,减法公式,),P,(,A,-,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,),Proof,A,B,=,A,AB,.,(1),A,=(,A,-,B,),AB,(2)(,A,-,B,),AB=,由性质,3,知,推论,若,A,B,则,P,(,B,-,A,)=,P,(,B,),P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,),0,.,性质,5(,加法公式,),P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,AB,),Proof,A,B,=,(,A,B,),B,由性质,3,得,推广,(see below)?,(I),(II),例,7(P13,),例,8(,生日问题,),A,=,n,个人中没有,2,人生日相同,B,=,n,个人中有,2,人在同一天,课堂,:P16,10,11.,作业,:P15,4,5,6,7,8,9,