傅里叶变换Fourier transform.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,傅立叶变换,傅里叶生平,1768,年生于法国,1807,年提出,“,任何周期信号都可用正弦函数的级数表示,”,1822,年发表,“,热的分析理论,”,，首次提出,“,任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示,”,傅立叶变换,傅立叶级数,傅立叶变换,狄拉克函数,本章小结,傅立叶级数,三角级数,定义,由周期为,2,的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数,基本函数族,组成：,1,，,cos,(,nx,),，,sin(,nx,),性质：任意两个在一个周期上的积分等于,0,，称为正交性；,傅立叶级数,傅立叶展开,傅立叶展开定理：,周期为,2,的函数,f(x),可以展开为三角级数，,展开式系数为,狄利克雷收敛定理,收敛条件,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；,在一个周期内至多只有有限个极值点。,收敛结果,当,x,是,连续点时，级数收敛于该点的函数值；,当,x,是,间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,傅立叶级数,展开举例,对称函数,对奇函数：,对偶函数,：,函数,展开式,sgn,(x),(4/,)(sin x+sin3x/3+sin5x/5+,),x,2(,sin x,sin2x/2+sin3x/3,sin4x/4+sin5x/5+,),|,x|,/2,(4/,)(,cos,x+cos3x/3,2,+cos5x/5,2,+,),典型周期函数,(,周期为,2,),傅立叶级数,傅立叶展开的意义：,理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；,应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。,例如：对称方波的傅立叶展开,傅立叶级数,重要推广,推广,1,：,问题：把周期为,T=,2L,的函数,f(t),的展开：,方法：对基本公式作变换,xt/L,，,傅立叶级数,推广,2,问题：把定义在,-L,L,上的函数,f(t),展开；,方法：,先把它延拓为周期函数,(,即把它当成是一个周期,为,2L,的函数的一部分,),，,再按推广,1,展开；,注意：所得到的级数仅在原定义范围中与,f(t),一致。,延拓前,延拓后,傅立叶级数,推广,3,问题：把定义在,0,L,上的函数,f(x),展开；,方法：,先把它延拓为,-L,L,上的奇函数或偶函数，,再按推广,2,把它延拓为周期函数，,最后按推广,1,展开；,注意：所得到的级数仅在原定义范围中与,f(x),一致。,公式：,傅立叶级数,展开的复数形式,展开公式：,基本函数族：,正交性：,展开系数：,傅立叶变换,非周期函数的傅立叶展开,问题：,把定义在（，）中的非周期函数,f,(,x,),展开；,思路：,把该函数定义在（,L,，,L,）,中的部分展开，再令,L,；,实施：,展开公式,展开系数：,困难,展开系数,c,n,为无穷小；,幂指数,n,x,/L,不确定。,傅立叶变换,解决方法：,把,n,/L,作为新变量，即定义,n,=,n,/L,；,把,c,n,L/,作为新的展开系数，即定义,F(,n,)=,c,n,L/,.,公式的新形式：,展开公式：,展开系数：,取极限：,傅立叶变换：,傅立叶积分：,傅立叶变换,例题,1,矩形函数的定义为,求矩形脉冲,x,(t)=,rect,(t/2T,1,),的傅立叶变换。,解：,傅立叶变换,例题,2,将矩形脉冲,f,(t)=,h,rect,(t/2T),展开为傅立叶积分。,解：,先求出,f,(t),的傅立叶变换,代入傅立叶积分公式，得,例题,3,求对称指数函数,f(t),的傅立叶变换,傅立叶变换,傅立叶变换,傅立叶变换的意义,数学意义,从一个函数空间,(,集合,),到另一个函数空间,(,集合,),的映射；,f(x),称为变换的原函数,(,相当于自变量,),，,F(),称为象函数。,应用意义,把任意函数分解为简单周期函数之和，,F(),的自变量为频率，函数值为对应的振幅。,物理意义,把一般运动分解为简谐运动的叠加；,把一般电磁波,(,光,),分解为单色电磁波,(,光,),的叠加。,物理实现,分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；,记录方式：,(,用照相底版,),摄谱仪、,(,用光电探测器,),光度计。,傅立叶变换,傅立叶变换的性质,一般假定,f(x)F(),，,g(x)G(),奇偶虚实性f(x),为偶函数，,F()=f(x)cos(x)dx/(2),为实,函数；,f(x),为,奇函数，,F()=-if(x)sin(x)dx/(2),为虚函数,线性性质,k f(x)k F(),；,f(x)+g(x)F()+G(),分析性质,f,(x)iF(),；,傅立叶变换,位移性质,f(x-a)exp(-ia)F(),；,exp(ix)f(x)F(-),相似性质,f(ax)F(/a)/a,；,f(x/b)/b F(b),。,卷积性质,f(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G(),；,f(x)g(x)F()*G()F()G(-)d,对称性质,正变换与逆变换具有某种对称性；,适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。,傅立叶变换,应用举例,傅立叶变换,推广,推广,1,问题：把定义在,0,),上的函数,f(t),展开；,方法：,先把它延拓为,(-,),上的奇函数或偶函数，,再按公式进行傅立叶变换；,注意：,偶函数满足条件,f(0)=0,，,形式为,f(|t|),；,奇函数满足条件,f(0)=0,，,形式为,sgn(t)f(|t,|).,结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与,f(t),一致。,傅立叶变换,推广,2,问题：多元函数的傅立叶变换,公式：,狄拉克函数,概念,问题,质点的密度函数如何表示？,思路,质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；,一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为,h,rect(,h,x,),的物体在宽度,d=1/,h,趋向零时的极限；,极限密度为,(x)=,lim,h,h,rect(,h,x,),一般定义,狄拉克函数,狄拉克函数,性质,奇偶性质,(-x)=(x),，,(-x)=(x),分析性质,选择性质,f(x),(x-a),dx,=f(a),，,f(x),(x-a),dx,=-f(a),变换性质,狄拉克函数,狄拉克函数的应用,描述功能,位于,x=a,处质量为,m,的质点，质量线密度为,m(x-a),；,位于,x=a,处电量为,q,的点电荷，电荷线密度为,q(x-a),；,位于,t=a,时刻强度为,I,的脉冲信号，信号函数为,I(ta),；,分解功能,质量密度为,(x),的物体，可分解为质点的空间叠加,(x)=,(a)(a-x)da,电荷密度为,(x),的带电体，可分解为点电荷的空间叠加,(x)=,(a)(a-x)da,信号函数为,(t),的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加,(t)=,(a)(a-t)da,狄拉克函数,计算功能,计算函数在间断点的导数,；,计算特别函数的傅立叶变换。,例题,1,计算,f(x)=,sgn(x,),的导函数。,解：,sgn(x,)=2 H(x)-1,sgn(x,)=2 H(x)=2(x),例题,2,计算,f(x)=|x|,的,傅立叶变换。,解：,狄拉克函数,狄拉克函数的,推广,问题：,三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。,三维狄拉克函数：,(,r,)=(x,y,z)=(x)(y)(z),应用,位于,r=a,处质量为,m,的质点，质量体密度为,m(,r-a,),；,位于,r=a,处电量为,q,的点电荷，电荷体密度为,q(,r-a,),；,本章,小结,傅立叶级数,周期函数的三角展开公式；,基本三角函数的性质。,傅立叶变换,非周期函数的三角展开公式；,傅立叶变换的性质。,狄拉克函数,狄拉克函数概念；,狄拉克函数性质；,狄拉克函数功能。,作 业,P73,6-2,6-4,:(3),6-5:(1),6-6:(3),6-7:(1),