单位冲激函数.ppt

第八章 傅里叶变换,8.2,单位冲激函数,8.2,单位冲激函数,二,、,单位冲激函数,的,概念,及,性质,三,、,单位冲激函数,的,Fourier,变换,一、,为什么要引入,单位冲激函数,一、,为什么要引入,单位冲激函数,理由,(1),在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要,函数，如,常数函数,、,线性函数,、,符号函数,以及,单位,阶跃函数,等等，,都不能,进行,Fourier,变换。,(3),周期函数,的,Fourier,级数与,非周期函数,的,Fourier,变,换都是用来,对信号,进行,频谱分析,的，它们之间能否,统一起来。,(2),在工程实际问题中，有许多,瞬时物理量,不能用通常,的,函数形式,来描述，如,冲击力,、,脉冲电压,、,质点的,质量,等等。,引例,在原来电流为零的电路中,某一瞬时,(,设为,t,=0),进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流,i,(,t,).,以,q,(,t,),表示上述电路中的电荷函数,则,一、,为什么要引入,单位冲激函数,当,t,0,时,i,(,t,)=0,由于,q,(,t,),是不连续的,从而在普通导数意义下,q,(,t,),在这一点是不能求导数的,.,如果我们形式地计算这个导数,则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度,.,为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克,(Dirac),的函数,简单记成,d,-,函数,:,有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,.,给定函数序列,t,定义,单位冲激函数,满足：,二,、,单位冲激函数,的概念及性质,1.,单位冲激函数,的,概念,(1),当 时，,(2),单位冲激函数 又称为,Dirac,函数,或者,函数,。,P192,单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而,是一,个,广义函数,(,或者,奇异函数,),，它不能用通常意义下的,“值的对应关系”来理解和使用，而总是,通过它,的,性质,注,来使用,。,（在极限与积分可交换意义下）,二,、,单位冲激函数,的概念及性质,2.,单位冲激函数,的,性质,(2),对称性质,函数为偶函数，即,(1),筛选性质,性质,设函数,是定义在 上的,有界,函数，,且在 处,连续,，,则,一般地，若 在 点连续，,则,P192,性质,8.1,P193,性质,8.2,函数的,图形表示,方式,非常特别,，通常采用一个从原点,出发长度为,1,的有向线段来表示，,同样有，函数 的冲激强度为,A,。,代表,函数,的,积分值,，,称为,冲激强度,。,二,、,单位冲激函数,的概念及性质,3.,单位冲激函数,的,图形,表示,t,1,t,1,t,A,其中有向线段的长度,三,、,单位冲激函数,的,Fourier,变换,由此可见，单位冲激函数包含,所有频率成份,，且它们具有,利用筛选性质，可得出,函数,的,Fourier,变换,：,即 与,1,构成,Fourier,变换对,相等的幅度，称此为,均匀频谱,或,白色频谱,。,t,1,w,1,P194,重要公式,称这种方式的,Fourier,变换是一种,广义的,Fourier,变换,。,在 函数的,Fourier,变换中，其广义积分是根据 函数的,注,性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，,三,、,单位冲激函数,的,Fourier,变换,按照,Fourier,逆变换公式有,解,例,求,f,(,t,)=1,的,Fourier,变换。,P194,例,8.7,修改,解,(1),(2),由 ，,有,+,w,P194,例,8.7,部分,P195,例,8.9,1,它是工程技术中最常用的函数之一。,解,已知,又,1,+,得,称 为,单位阶跃函数,，也称为,Heaviside,函数,，,注,P194,例,8.8,修改,休息一下,四,、,周期函数,的,Fourier,变换,定理,设 以,T,为周期，在,上满足,Dirichlet,条件，,则 的,Fourier,变换为,其中，,是 的离散频谱。,由 有,证明,P195,定理,8.3,附：,单位冲激函数的其它定义方式,方式一,令,则,t,方式二,(,20,世纪,50,年代，,Schwarz,),单位冲激函数 满足,其中，称为,检验函数,。,(,返回,),