1、主要内容,矩阵乘积的行列式,第三节 矩阵乘积的行列式与秩,矩阵乘积的秩,一、矩阵乘积的行列式,定理,1,设,A,，,B,是数域,P,上的两个,n,n,矩,阵，那么,|,AB,|=|,A,|,B,|,，(1),即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘,证明,这个定理就是第二章第八节的,积.,用数学归纳法，定理,1,不难推广到多个因子的,情形，即有,推论,1,设,A,1,A,2,A,m,是数域,P,上的,n,n,矩阵，于是,|,A,1,A,2,A,m,|=|,A,1,|,A,2,|,|,A,m,|.,定义,9,数域,P,上的,n,n,矩阵,A,称为,非退,化的,，如果,|,A,|,0；,否则称为
2、退化的,.,显然，一,n,n,矩阵是非退化的充分必要条件,是它的秩等于,n,.,推论,2,设,A,，,B,是数域,P,上的,n,n,矩阵,矩阵,AB,为退化的充分必要条件是,A,，,B,中至少有,一个是退化的,.,二、矩阵乘积的秩,关于矩阵乘积的秩，我们有：,定理,2,设,A,是数域,P,上的,n,m,矩阵，,B,是,数域,P,上的,m,s,矩阵，于是,秩(,AB,),min,秩(,A,),秩(,B,).,即乘积的秩不超过各因子的秩,.,(2),证明,为了证明,(2),，只需要证明,秩(,AB,),秩(,A,),与,秩,(,AB,),秩(,B,),同时成立即,可,.,现在来分别证明这两个不等
3、式,.,设,令,B,1,B,2,B,m,表示,B,的行向量，,C,1,C,2,C,n,表示,AB,的行向量,.,由计算可知，,C,i,的第,j,个分量,和,a,i,1,B,1,+,a,i,2,B,2,+,a,im,B,m,的第,j,个分量都等于,因而,C,i,=a,i,1,B,1,+,a,i,2,B,2,+,a,im,B,m,(,i,=1,2,n,),即矩阵,AB,的行向量组,C,1,C,2,C,n,可经,B,的行向,量组线性表出,.,所以,AB,的秩不能超过,B,的秩，即,秩(,AB,),秩(,B,).,同样，令,A,1,A,2,A,m,表示,A,的列向量，,D,1,D,2,D,s,表示,A
4、B,的列向量,.,由计算可知，,D,i,=b,1,i,A,1,+,b,2,i,A,2,+,b,mi,A,m,(,i,=1,2,s).,这个式子表明，矩阵,AB,的列向量组可以经矩阵,A,的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后,者的秩，这就是说，,秩(,AB,),秩(,A,).,证毕,用数学归纳法，定理,2,不难推广到多个因子的,情形，即有,推论,3,如果,A,=,A,1,A,2,A,t,那么,秩(,A,),秩(,A,j,).,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,
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