概论统计 浙大 第十八讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,区间估计,正态总体均值与方差的区间估计（,1,）,我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的,可靠程度,相信它包含真参数值,.,这里所说的,“,可靠程度,”,可用概率来度量的，称为置信概率、置信度或置信水平,.,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数,.,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值。,它没有反映出这个近似值的误差范围,.,2,置信水平的大小是根据实际需要选定的,.,例如，通常可取置信水平,=0.95,或,0.9,等,.,根据一个实际样本，由给定的置信水平，我,小的区间 ，使们求出一个尽可能,置信区间,.,称区间 为 的,置信水平为,的,3,寻找置信区间的方法,一般是从确定,误差限,入手,.,使得,称,为 与,之间的误差限,.,我们选取未知参数的某个估计量 ，根据置信水平 ，可以找到一个正数,，,只要知道 的概率分布，,由不等式,可以解出 ：,4,设,0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点 为,X,的概率分布的上 分位数,.,标准正态分布的,上 分位数,分位数：,其他分布的分位数：,5,一、置信区间定义,满足,设 是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的两个统计量,则称区间 是,的,置信水平,（置信度、,置信概率）为,的置信区间,.,分别称为置信下限和置信上限,.,6,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间,长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则,.,1.,要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率 要尽可能大,.,即要求估计尽量可靠,.,可靠度与精度是一对矛盾，,一般是在保证可靠度的条件下,尽可能提高精度,.,两个,要求,7,N,(0,1),选,的点估计为,求参数 的置信度为 的置信区间,.,例,1,设,X,1,X,n,是取自,的样本，,二、置信区间的求法,明确问题,是求什么参数的置信区间,?,置信水平是多少？,寻找未知参数的,一个良好估计,.,解：,寻找一个待估参数和,估计量的函数，要求,其分布为已知,.,有了分布，就可以求出,U,取值于任意区间的概率,.,8,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平,(,大概率,),根据,U,的分布，,确定一个区间,使得,U,取值于该区间的概率为,置信水平,.,使,为什么,这样取,？,9,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,从中解得,10,也可简记为,于是所求,的,置信区间为,11,求置信区间的一般步骤如下,:,1.,明确问题,是求什么参数的置信区间,?,置信水平,是多少,?,2.,寻找参数 的一个良好的点估计,T,(,X,1,X,2,X,n,),称,S,(,T,),为,枢轴量,.,3.,寻找一个待估参数 和估计量,T,的函数,S,(,T,),且其分布为已知,.,12,4.,对于给定的置信水平,，根据,S,(,T,),的分布，确定常数,a,b,，,使得,P,(,a,S,(,T,),b,)=,5.,对“,a,S,(,T,),b,”,作等价变形,得到如下,形式,:,则 就是 的,100(,),的置信区间,.,13,三、正态总体均值与方差的区间估计,且设,X,1,X,2,X,n,为总体 的样本,和样本方差,.,分别是样本均,14,15,例,1.,已知某地区新生婴儿的体重,X,随机抽查,100,个婴儿,得,100,个,X,1,X,2,X,100,的区间估计,求,（置信水平为,）,.,体重数据,因方差未知，取,对给定的置信度,确定分位数,使,解16,均值 的置信水平为 的区间估计,.,即为,从中解得,即,17,18,的区间估计,求,（置信水平为 ）,.,例,2.,已知某地区新生婴儿的体重,X,随机抽查,100,个婴儿,得,100,个,X,1,X,2,X,100,体重数据,取,对给定的置信度,确定分位数,使,解,19,于是 即为所求,.,解得,20,N,(0,1),取,由标准正态分布表，对任意,a,、,b,，,我们可以求得,P,(,a,U,b,),.,例如，设,X,1,X,n,是取自,的样本，,求参数 的置信水平为 的,置信区间,.,给定样本，给定置信水平，,置信区间也,不是唯一,的,.,对同一个参数，可以构造许多置信区间,.,21N,(0,1),例如，由,P,(-1.96,U,1.96)=0.95,我们得到,均值 的置信水平为,的,置信区间为,22,这个区间比前面一个要长一些,.,置信区间为,我们得到,均值 的置信水平为,的,或由,23,我们总是希望置信区间尽可能短,.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间,.,任意两个数,a,和,b,，,只要它们的纵标包含,f,(,u,),下,95%,的面积，就确定一个,95%,的置信区间,.,24,在概率密度为单峰且对称的情形，当,a,=-,b,时求得的置信区间的长度为最短,.,a,=-,b,25,即使在概率密度不对称的情形，如,分布,，,F,分布,，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间,.,我们可以得到未知参数的的任何,置信水平小于,1,的,置信区间，并且,置信水平越高，相应的,置信区间,平均长度,越长,.,26,例,3,某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了,30,天,其总金额的平均值是,170,元，标准差为,30,元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为,0.95,）,.,解：,设每天职工的总医疗费为,X,，,近似服从正态分布,大样本，由中心极限定理，,E,(,X,)=,D,(,X,)=,未知，用样本标准差,S,近似代替,.,27,取枢轴量,近似,N,(0,1),分布,对给定的置信水平,确定分位数,使,得均值 的置信水平为 的区间估计为,159.27,180.74,将,=170,S,=30,=1.96,n,=30,代入得,28,