1、单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,约束、自由度与广义坐标,一、问题的提出,物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成,自由系统,与,非自由系统,。,研究约束质点系的力学问题，必须阐明,约束，自由度与,广义坐标,的概念。,二、约束,1.,约束概念,约束,就是限制物体任意运动的条件。,刚体,静力学,研究约束,是探究,约束的原因,-,约束力,运动学,研究约束,是探究,约束的结果,-,运动的限制,2.,约束方程,(1),坐标,确定一个自由质点在空间的位置需要三个,独立,参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称,坐标,。,(2),位形,对于由,n,个
2、质点组成的自由质点系，则需要,3,n,个独立坐标，这,3,n,个的坐标集合称为质点系的,位形,。,(3),约束方程,约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间,t,之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为,约束方程,。,3.,约束分类与约束方程一般形式,n,个质点组成的质点系，,约束方程的一般形式,为：,(,r,=1,s,),约束方程的个数为,：,s,约束方程中不含,:,时为,几何约束,(,完整约束,),反之为非完整约束。,约束方程的特例,:,约束方程中不含,:,时间显含,t,时为,定常约束,反之为非定常约束。,约束方程中,以等号表示时,:,为,双面,（固执）,约束,反之为单面（
3、非固执）约束。,几何约束,x,y,O,A,z,x,y,z,M,曲面上的质点：,单摆,:,运动约束,几何约束,运动约束,纯滚动的圆轮：,定常几何约束,x,y,O,A,z,单摆,:,非定常几何约束,单摆,OA,为刚性杆：,x,y,O,A,z,OA,为柔绳：,双面约束,：在约束方程中用严格的,等号表示的约束。,单面约束,：在约束方程含有不等号,表示的约束。,完,整,约,束,1.,位移约束,-,全部几何约束,2.,运动约束可积分,-,纯滚动的圆轮,;,非,完,整,约,束,运动约束不可积分,-,如碰撞系统,摩擦系统等,.,静力学问题中的约束都是,定常几何约束,。,本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。
4、三、广义坐标、自由度,自由度,：,唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数,平面质点,:,空间质点,:,广义坐标,：,用以确定质点系位置的独立参变量,i,=1,2,n,n,个质点，,一般地：,自由度为,k,，,取广义坐标：,1.,基本概念,自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数,与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标,2.,自由刚体的自由度,最简单的刚体由,4,个质点用,6,根刚杆组成几何不变体,(,形如四面体,),，则自由刚体的自由度为：,此后每增加一个质点就增加,3,根刚杆。,连接质点的刚杆数为：,每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：,自由度数为：,n,4,3.,自由刚体的
5、广义坐标,基点的直角坐标,和欧拉角,或卡尔丹角,自由刚体的,广义坐标。,组成的,6,个独立参变量就是,它们被用于描述刚体的,位形。,4.,受约束刚体的自由度,设刚体数为,n,，则,k,=6,n,-,S,4,、约束刚体的自由度与广义坐标,约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。,刚体约束情况,自由度,广义坐标,刚体上一轴被约束,（,定轴转动,）,1,刚体上一点被约束,（,定点运动,）,3,刚体被限制作平面平行运动（,自由的平面运动,）,3,刚体被限制作平行移动（,平移,）,3,四 实例,:,机构如图,轮,C,作纯滚动,3.,约束方程,(
6、在点,O,建立直角坐标,),1.,刚体数目,3;,2.,定轴转动刚体,OA,;,平面运动刚体,AB,及轮,C,;,结论,:8,个约束方程,4.,广义坐标,5.,自由度计算,广义坐标数为,:3,n,-,s=,1,即,:,自由度,约束方程数,或,刚体数,n,=3,6.,选广义坐标为,:,自由度恒等于广义坐标数,广义坐标,自由度,本例为质点与刚体,五 总 结,(1),检查刚体,(,质点,),数目,n,。,(2),检查各刚体的运动形式,。,(3),列写出约束方程。,(4),计算自由度,确定广义坐标,。,(a),空间刚体系,k,=6,n,-,s,空间质点系,k,=3,n-s,(b),平面刚体系,k,=3,n-s,平面质点系,k,=2,n-s,
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