机械绘图—平面的投影.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2-6,平面的投影,一、,平面的表示法,不在同一,直线上的,三个点,直线及,线外一,点,a,c,a,c,b,b,d,d,两平行直线,c,c,a,b,a,b,两相交,直线,平面,图形,c,a,b,a,b,c,c,a,a,b,b,c,c,a,b,a,b,c,1,、用几何元素表示平面,2,、平面的迹线表示法,V,H,P,P,V,P,H,P,V,P,H,V,H,Q,V,Q,H,Q,H,Q,V,Q,迹线,平面与投影面的交线。,用迹线表示的平面称为,迹线平面,P,H,平面,P,的水平面迹线,P,V,平面,P,的正面迹线,Q,为侧垂面,一般位置平面,x,z,y,p,x,p,z,p,Y,H,V,W,P,V,P,H,P,W,P,P,V,P,H,x,p,x,P,Y,H,p,Y,w,z,P,W,O,p,z,Y,H,Y,W,平行,垂直,倾斜,投 影 特 性,平面平行投影面,-,投影就把实形现,平面垂直投影面,-,投影积聚成直线,平面倾斜投影面,-,投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为,三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊,位置,平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,平面在三投影面体系中的投影特性,O,X,Z,Y,V,W,H,P,P,H,（,1,）铅垂面,投影特性：,1),abc,积聚为一条线,2),a,b,c,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3),abc,与,OX,、,OY,的夹角,反映,、,角的,真实大小,A,B,C,a,c,b,a,b,a,b,b,a,c,c,c,3.,投影面垂直面,O,X,Z,Y,铅垂面,的迹线表示法,P,P,H,用迹线表示的投影面,垂直面的投影,P,H,P,W,P,V,O,Z,X,Y,H,Y,W,P,H,O,Z,X,Y,H,Y,W,O,X,Z,Y,Q,Q,V,（,2,）正垂面,A,c,C,a,b,B,b,a,b,a,b,a,c,c,c,投影特性：,1),a,b,c,积聚为一条线,2),abc,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3),a,b,c,与,OX,、,OZ,的夹角,反映,、,角的,真实大小,O,X,Z,Y,正垂面,的迹线表示法,Q,Q,V,Q,V,O,Z,X,Y,H,Y,W,P,V,P,W,P,H,O,Z,X,Y,H,Y,W,O,X,Z,Y,S,W,S,（,3,）侧垂面,C,a,b,A,B,c,b,a,b,a,b,a,c,c,c,投影特性,1),a,b,c,积聚为一条线,2),abc,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3),a,b,c,与,OZOY,的夹角,反映,、,角的,真实大小,O,X,Z,Y,侧垂面,的迹线表示法,V,W,S,w,S,S,w,O,Z,X,Y,H,Y,W,P,H,P,V,P,W,O,Z,X,Y,H,Y,W,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,总结,类似形,类似形,积聚性,铅垂面,投影特性：,1,）,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面的真实倾角。,2,）,另外两个投影面上的投影为类似形。,为什么？,是什么位置的平面？,O,X,Z,Y,4.,投影面平行面：（,1,）水平面,C,A,B,a,b,c,b,a,c,a,b,c,c,a,b,b,b,a,a,cc,投影特性：,1),a,b,c,、,a,b,c,积聚为一条线，具有,积聚性,2),水平投影,abc,反映,ABC,实形,O,X,Z,Y,（,2,）正平面,投影特性：,1),abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有,积聚性,2),正面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,c,a,b,b,a,c,b,c,a,b,a,c,a,b,c,b,c,a,C,B,A,O,X,Z,Y,（,3,）侧平面,a,b,b,b,a,c,c,c,a,投影特性：,1),abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有,积聚性,2),侧面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,b,b,b,a,c,a,c,c,C,A,B,a,用,迹线表示,的,投影面平行面的投影,水平面,侧平面,正平面,P,V,P,W,O,Z,X,Y,H,Y,W,P,H,P,V,O,Z,X,Y,H,Y,W,P,H,P,W,O,Z,X,Y,H,Y,W,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影面平行面,总结,O,X,Z,Y,5.,一般位置平面,a,b,c,c,a,b,b,a,a,a,b,b,c,c,b,a,c,A,B,C,投影特性：,(1),abc,、,a,b,c,、,a,b,c,均为,ABC,的类似形,(2),不反映的真实角度,a,b,c,a,c,b,a,b,c,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例,：正垂面,ABC,与,H,面的夹角为,45,，已知其水平投影,及顶点,B,的正面投影，求,ABC,的正面投影及侧面,投影。,思考：此题有几个解？,45,O,X,Z,Y,P,w,P,V,P,H,V,H,W,A,B,在一般位置平,面上，可以作出无,数条与三个投影面,互相平行的直线,思考：,在空间,任意平,面上,，是否可以作,出无数条与三个投,影面互相平行的直,线,？,讨论：,过一般位置平面内的一点能否,作投影面平行线？,V,H,V,H,a,b,b,a,S,ba,a,b,A,B,结论,：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。,过一般位置直线,AB,作,铅垂面,P,H,过一般位置直线,AB,作,正垂面,S,V,P,P,H,S,V,A,B,讨论：,过一般位置直线能否作投影面的垂直面？,作图：,过一般位置直线作投影面的垂直面。,(,迹线表示法,),b,a,S,V,Q,W,P,H,O,Z,X,Y,H,Y,W,a,b,a,b,作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。,(,几何元素表示法,),m,n,(,n,),(m),O,X,O,X,铅垂面,正垂面,e,f,f,e,e,f,f,e,讨论并作图：,过正垂线可作哪些平面？,(,迹线表示法,),P,V,S,V,Q,VR,V,（,a,）,给题,（,c,）,作侧平面,（,b,）,作水平面,（,d,）,作正垂面 （有无穷多个,）,O,X,O,X,O,X,O,X,m,n,m(n),m,n,m(n),m,n,m(n),m,n,m(n),P,H,S,H,g,g,（,a,）,给题,（,c,）,作正垂面,（,b,）,作正平面,（,d,）,作一般位置平面,（有无穷多个）,讨论并作图,过正平线可作哪些平面？,(,迹线表示法,),O,X,O,X,O,X,O,X,f,e,f,e,f,e,f,e,f,e,f,e,f,e,f,e,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：,平面上取任意直线,M,N,A,B,M,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,a,b,c,c,a,a,b,c,b,c,a,m,n,n,m,例,1,：已知平面由直线,AB,、,AC,所确定，试,在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,d,d,有多少解？,b,例,2,：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距离为,10mm,。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,面上取点的方法：,k,a,b,c,a,b,c,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,k,首先面上取线,c,k,k,c,例,2,：,已知,AC,为正平线，,补全平行四边形,ABCD,的水平投影。,解法一,解法二,b,b,d,a,a,d,b,c,d,a,a,d,b,c,d,e,d,e,m,m,例,3,：在,ABC,内取一点,M,，并使其到,H,面,V,面的,距离均为,10mm,。,b,c,X,b,c,a,a,O,P,P,H,C,D,a,S,A,E,二、平面的最大斜度线（,对某一投影面而言,）,平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的 迹线）的直线。,平面的最大斜度线,是平面上对某个投影面倾角最大的直线。,它与投影面,的倾角,反映该平,面与投影面的倾,角。,H,b,b,平面,对,H,面,的最大斜度线,平面的最大,坡度线。,最大斜度线的几何意义,用来测定平面对投影面的角度。,例,7,：,试作,AC,平面上的最大坡度线,B,。,d,a,d,a,c,c,O,X,平面的最大坡度线,练习：,求作,ABC,平面上对水平面的最大斜度线,BE,。,b,d,d,e,e,O,X,c,a,a,b,c,例,：在,上题,中，,求,ABC,平面与水平投影面的夹角,。,be,BE,b,b,d,d,e,e,O,X,c,a,a,b,c,a,a,例：已知直线,EF,为某平面对,H,面的最大斜度线，试,作出该平面。,O,X,e,f,e,f,3.,平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,特殊位置平面上存在哪些种类直线？,定义：在平面上且平行于某一投影面的直线,圆的投影,圆平面倾斜于投影面时，在该平面上的投影为一椭圆；,当圆平行于投影面时，在该投影面上的投影反映圆的真形；,当圆垂直于投影面时，在该投影面上的投影积聚为一直线。,2-9,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直,。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例,1,：过,M,点作直线,MN,平行于平面,ABC,。,有无数解,有多少解？,d,d,正平线,例,2,：过,M,点作直线,MN,平行于,V,面和平面,ABC,。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,n,d,d,两平面平行,若一平面上的,两相,交直线,分别平行于另,一平面上的,两相交直,线,，则这两平面相互,平行。,若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具,有积聚性,的那组投影,必相互平行。,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于,ek,不平行于,ac,故两平面不平行。,例：判断平面,ABDC,与平面,EFHM,是否平行，,已知,ABCDEFMH,直线与平面相交，其,交点是直线与平,面的共有点。,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个,处于特殊位置的情况。,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,直线与,特殊位置,平面相交,由于,特殊位置,平面的某些投影有积聚性,，,交点可直接求出。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,直线与,特殊位置,平面相交,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,并判别可见性。,空间及投影分析,平面,ABC,是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的交点即为,K,点的水平投影,求交点,判别可见性,由水平投影可知，,KN,段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,k1,(,2,),作图,k,2,1,用线上取点法,1,(,2,),k,m,(,n,),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线,MN,为铅垂线，其,水平投影积聚成一个点，,故交点,K,的水平投影也积聚,在该点上。,求交点,判别可见性,点,位于平面上，在,前；点,位于,MN,上，在,后。故,k,2,为不可见,。,k,2,1,作图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：,(1),确定两平面的,两个共有点。,(2),确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,一般位置平面与,特殊位置,平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求,两个共有点,的问题,由于,特殊位置,平面的某些投影有积聚性,，,交线可直接求出。,n,l,m,m,l,n,b,a,c,c,a,b,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,P,B,C,a,c,b,P,H,k,f,F,K,N,L,判断平面的可见性,b,b,a,c,n,l,m,c,m,a,l,n,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,可通过正面投影,直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,be,a,m,(,n,),空间及投影分析,平面,ABC,与,DEF,都为,正垂面,，它们的,交线为一,条正垂线,，两平面,正面投,影的交点即为交线的正面,投影，,交线的水平投影垂,直于,OX,轴,。,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看,出，在交线左侧，平面,ABC,在上，其水平投影,可见。,m,例：求两平面的交线,MN,并判别可见性。,能否不用重,影点判别？,能,!,如何判断？,n,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),例：求两平面的交线,MN,并判别可见性。,空间及投影分析,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面,ABC,在上，其水平投影可见。,m,n,平面,ABC,与,DEF,都为,正垂面,，它们的,交线为一条正垂线,，两平面,正面投影的交点即为交线的正面投影，,交线的水平投影垂直于,OX,轴,。,a,a,b,d,(,e,),e,b,d,h,(,f,),c,f,c,h,1,(,2,),空间及投影分析,平面,DEFH,是一铅,垂面，它的水平投影有,积聚性，其与,ac,、,bc,的,交点,m,、,n,即为两个共,有点的水平投影，故,mn,即为交线,MN,的水平投影,。,求交线,判别可见性,点,在,MC,上，点,在,FH,上，,点,在前，,点,在后，故,m,c,可见。,作图,2,1,m,n,m,n,a,b,d,(,e,),e,b,d,h,(,f,),c,f,c,h,m,n,n,m,空间及投影分析,平面,DEFH,是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与,ac,、,bc,的交点,m,、,n,即为两个共有点的水平投影，故,mn,即为交线,MN,的水平投影,。,求交线,判别可见性,点,在,MC,上，点,在,FH,上，,点,在前，点,在后，故,m,c,可见。,作图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N,点的水平投影,n,位于,def,的外面,说明点,N,位于,DEF,所确定的平面内，但,不位于,DEF,这个图,形内。,所以,ABC,和,DEF,的交线应为,MK,。,n,n,m,k,m,k,互交,c,de,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N,点的水平投影,n,位于,def,的外面，,说明点,N,位于,DEF,所确定的平面内，但不位于,DEF,这个图形内。,所以,ABC,和,DEF,的交线应为,MK,。,互交,m,k,k,m,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面,内的,两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是,两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的,投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,平面上的点,定位于平面内的某条直线上,平面上的直线,过平面上的两个点。,过平面上的一点并平行于该平面,上的某条直线。,