数字信号处理第三章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,引言,一 什么是,DFT,？,（有限长序列）时域和频域均是离散形式的一种傅立叶变换。,二 为何引入,DFT,？,1.,分析有限长序列的有用工具。,2.,在信号处理的理论上有重要意义，是现代信号处理,的桥梁。,3.,在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关,都可以通过,DFT,在,计算机上实现,。,三,DFT,要解决两个问题：,其一是,离散,与,量化,，,其二是,快速运算,。,信号处理,DFT(FFT),傅氏变换,离散量化,第三章 离散傅立叶变换,2.1 DFT-,有限长序列的离散频域表示,一,预备知识,余数运算表达式,此运算符表示,n,被,N,除，商为,m,，余数为 。,是 的解，或称作取余数，或说作,n,对,N,取,模值,或简称为取模值，,n,模,N,（,n mod N,）。,例1：,例,2,：,如果 ，,m,为整数；则有：,二 的含义,四 有限长序列和周期序列的关系,三 主值区间与主值序列,对周期信号 或 ，,n,或,k,区间,为,主值区间,，对应此区间上的序列称为它的,主值序列,。记为 或 。显然主值序列是,有限长序列,。,先取模值，后进行函数运作,视作将有限长序列 周期延拓。,主值序列：,例子,N-1,n,x,(n,),0,.,.,n,0,N-1,定义从,n=0,到（,N-1,）的第一个周期为主值序列或区间。,五 从,DFS,到,DFT,（离散傅立叶变换的定义）,从上式可知，,DFS,、,IDFS,的求和只限定在,n=0,到,n=N-1,及,k=0,到,N-1,的主值区间 进行，因此可得到有限长序列的,离散傅氏变换,(DFT),的定义：,或者：,隐含,周期性,DFT,的隐含周期性,例,1,设有限长（,M,7,）序列 ，分别求,和 各序列。,解,:,(1),求 的一个周期序列值,的一个周期序列值为,例,1,（续）,解,:,(2),求 的一个周期序列值，由于序列长度为,M,7,，要求是以,N,10,点为周期进行延拓，因而不足部分,补零,。,的一个周期序列值为,例,2,求序列 的N,点,DFT,。,解法一：由定义,解法二：由,Z,变换,同理：若,例,3,已知 ，求其,10,点,IDFT,。,解：,例,4,解：,例,4,图,DFT,的物理意义,x,（,n,）的,N,点,DFT,是,x,（,n,）的,Z,变换在单位圆上的,N,点等间隔采样。,X,（,k,）为,x,（,n,）的傅里叶变换 在区间,上的,N,点等间隔采样,2.2 DFT,的性质,一,线性,两序列都是,N,点时,如果：,则有：,两序列长度不相等时，,选择较长者,为变换长度,短者进行,补零,达到相同长度。,二 循环移位性质,序列的圆周（循环）移位,设,x(n,),为有限长序列，长度为,N,，则,x(n,),的循环移位定义为：,这里包括三层意思：,先将,x(n,),进行周期延拓,:,再进行移位,:,最后取主值序列,:,有限长,序列,周期延拓,移位,取主值,序列的循环移位过程,循环,位移的含义,由于我们取主值序列，即只观察,n=0,到,N-1,这一主值区间，当某一,样值,从此区间一端移出时，与它相同值的,样值,又从此区间的另一端进来。如果把,x(n,),排列,在,一个,N,等分的圆周，序列的移位就相当于,x(n,),在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到,的,就是,序列,x(n,),。,1,2,3,4,5,n,=0,N,=6,时域（圆周）循环移位定理,设,x(n,),是长度为,N,的有限长序列，,y(n,),为,x(n,),的循环移位序列，,即,则,其中 。,证明：,令,n+m,=n,，则有,由于式中求和项 以,N,为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同，将上式的求和区间改在主值区则得,频域（圆周）循环移位定理,也可写成,即时域序列的调制等效于频域的圆周移位。,三 奇偶虚实性质,1.,（非周期序列）共轭对称与反对称分量的长度,若,长度为,N,则,长度均为,2N,1,。,周期序列的共轭对称与反对称分量及其周期,周期,N,不变,圆周共轭对称与反对称分量,有限长序列的,圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量,分别定义为：,这表明长为,N,的有限长序列可分解为两个长度为,N,的分量同理频域序列也可分解为：,圆周共轭对称和反对称序列满足如下关系式：,当,N,为偶数时，将上式中的,n,换成 可得到,共轭对称与共轭反对称序列示意图,例,1,（圆周共轭）,给定序列 ，求它的圆周共轭对称分量和反对称分量。,解：,x(n,),是,实序列，,由定义得,DFT,的奇偶虚实性质对称性,证明：,DFT,IDFT,共轭序列的,DFT,2,）共轭反褶序列的,DFT,证明：,可知：,3,）共轭对称特性之三,证明：,序列实部的,DFT,等于序列,DFT,的圆周共轭对称分量。,共轭对称特性之四,证明：,序列,j,倍虚部的,DFT,等于序列,DFT,的圆周共轭反对称分量。,共轭对称特性之五,同理可证明,共轭对称特性之六,实序列,虚序列,四 循环卷积（圆周卷积）,设 和 均为长度为,N,的有限长序列，则,1,时域循环卷积,*,2,时域卷积定理,*,3,频域卷积定理,*,*,时域循环卷积过程,N-1,0,n,N-1,0,n,m,m,m,0,m,时域循环卷积过程,最后结果：,0,2,3,3,2,1,1,N-1,n,*,五,.,有限长序列的线性卷积与,循环,卷积,1,线性卷积,与,均为 长的序列，它们线性卷积的长度为,2,循环卷积,与,均为 长的序列，它们循环卷积的长度,N,不变,*,用,循环,卷积计算线性卷积,线性卷积,长度,补零至,L,长：,L,点的圆周卷积为：,*,所以,L,点的循环卷积是线性卷积以,L,为周期的延拓序列的主值序列。,循环卷积代表线性卷积的条件,有 个非零值，所以延拓周期,L,必须满足：,这是,循环卷积等于线性卷积而不产生混叠失真的,充要条件,。,如果,则,此时有：,即在,0,到 范围内的 个点将产生混叠失真。,例,已知两个有限长序列 和,，,，试作图表示,并求出,2.3,频率域采样,2.4 DFT,应用举例,一、用,DFT,计算线性卷积,DFT,DFT,IDFT,*,有 个非零值，所以延拓周期,L,必须满足：,这是,循环卷积等于线性卷积而不产生混叠失真的,充要条件,。,二、用,DFT,对信号进行谱分析,1,、用,DFT,对连续时间信号进行谱分析,对连续时间信号进行谱分析可以通过对连续信号采样并进行,DFT,再乘以,T,的近似方法得到。,栏栅效应,对连续信号进行谱分析要关心两个问题：,谱分析范围,频率分辨率,例,3.4.1,2,、用,DFT,对序列进行谱分析,