1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,*,7/6/2026,排列组合习题课,7/6/2026,1,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例,1.,六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？,（,2,）甲得一本，乙得两本，丙得三本；,（,3,）一人得一本，一人得两本，一人得三本；,（,4,）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；,（,5,）平均分成三堆，每堆两本；,1.,分组（堆）问题,（,1,）一堆一本，一堆两本，一堆三本；,练习：有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程,
2、共有多少种不同的发包方式？,（,6,）一堆四本，两堆各一本。,7/6/2026,2,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列,.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积,.,分组（堆）问题的六个模型：,无序不等分；无序等分；无序局部等分；,(,有序不等分；有序等分；有序局部等分,.),处理问题的原则：,1.,分组（堆）问题,7/6/2026,3,新疆奎屯市第一高
3、级中学 特级教师王新敞,例,2.,5,个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？,几个元素,顺序一定,的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序,.,或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了,.,2.,消序法,(,留空法,),解法,1,：,将,5,个人依次站成一排，有,解法,2,：,先让甲乙之外的三人从,5,个位置选出,3,个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有,1,种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,7/6/2026,4,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,变式：,如下图
4、所示,有,5,横,8,竖构成的方格图,从,A,到,B,只能上行或右行共有多少条不同的路线,?,解,:,如图所示,1,2,3,4,5,6,7,将一条路经抽象为如下的一个排法,(5-1)+(8-1)=11,格,:,其中必有四个,和七个,组成,!,所以,四个,和七个,一个排序就对应一条路经,所以从,A,到,B,共有,条不同的路径,.,2.,消序法,(,留空法,),也可以看作是,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有,种排法,.,7/6/2026,5,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,n,个 相同小球放入,m(mn,),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,个相同小球串
5、成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,例,3.,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有,_,种,.,3.,剪截法（隔板法）：,解：,问题等价于把,16,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,16,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,455,种,.,7/6/2026,6,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,n,个 相同小球放入,m(mn,),个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于,n,
6、个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,变式：,某校准备参加今年高中数学联赛,把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有,_,种,.,3.,剪截法：,解：,问题等价于先给,2,班,1,个，,3,班,2,个，,4,班,3,个，再把余下的,10,个相同小球放入,4,个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,10,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,84,种,.,7/6/2026,7,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,4.,剔除法,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法,.,例,4.,从集合,0,1,2,3,5,7,11,中任取,3,个元素分别作为直线方程,Ax+By+C,=0,中的,A,、,B,、,C,，所得的经过坐标原点的直线有,_,条,.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有,210-180,30,条,.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍,.,7/6/2026,8,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,
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