全等三角形的常见辅助线.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,全等三角形的常见辅助线,执教：湖北省公安县孟溪中学,刘春华,1,2,3,4,等腰三角形的辅助线,倍长中线法,有角平分线的辅助线,截长补短法,三角形中常见辅助线的作法,一、截长补短法,证明某两条段的和或差等于第三条线段时，有两种方法：,1、截长法：,可在较长的线段上截取一段，使得它与其中的一条线段相等，再利用全等证明，余下的线段等于另一条线段即可。,2、补短法：,也要在较短的线段上延长一段，使得延长的线段部分等于另一条较短的线段，再利用全等证明，延长的线段等于那一条线段即可。,例1、如图，在ABC中，B=2C，AD平分BAC，求证：AC=AB+BD,方法一：截长法：（如图1）,在AC上截取AE=AB，连结DE，可证ABDAED，得DE=BD，只需证DE=CE即可。,方法二：补短法（如图2）,延长AB到F，使BF=BD，连结DF，由ABD=2C，ABD=2F，得F=C，可证：ADFADC，得AC=AF，得证。,方法三：或延长AB到F，使AFDACD及B=2C，可证：F=BDF，得BF=BD。,随堂训练：,如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，点ED在CD上，求证：ABACBD（用两种方法证明）,二、倍长中线法,遇到三角形的中线或一边的中点，可加倍延长中线（中点），使延长线部分与原中线相等构造全等三角形。,例2、如图，已知ABC中，AD是ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围。,解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可证ADCEDB，得BE=AC=6，在ABE中，由三边关系，可得ABBE2ADAB+BE，即1AD7。,随堂训练：,如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证：ABC是等腰三角形。,三、有角平分线的辅助线,例3、如图，已知在ABC中，B，C的平分线交于一点P，求证：AP平分BAC。,过点P分别作PDAC于F，易证PE=PF，得证RTAEPAFP即可。,1,、,过角平分线上一点作角的两边的垂线，构造全等三角形。,例4、见截长补短法的随堂练习。,2、在角的两边截取相等瓣线段，构造全等三角形,随堂练习：,1、如图，在ABC中，AD是A的平分线，E、F 分别为AB、AC上一点，且EDF+BAF=180，求证：DE=DF。,2、如图，在ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CDAC。,3、如图，已知AD是ABC中的中线，点E、F分别是AB，AC上一点，1=2，3=4，求证：BE+CFEF。,四、等腰三角形的辅助线,例5、如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE。,有角平分线，垂线，可延长BA、CE，构造等腰BCF，由“三线合一”定理，可得CF=2CE，只需证CF=BD即可，证BADCAF解决。,1、可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，即全等变换中的“对折”。,例6，如图，ABC中，AB=AC，E是AB边上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于点D，若BE=CF。求证：DF=DF。,方法一：BED和CFD不可能全等，又BE=CF，可作EGAF，进行等量代换，得EG=CF，构造中心对称型全等三角形，使问题得以解决。,此题辅助线还有以下几种作法：,2、可过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，即全等变换中的“平移”或“翻折”,随堂练习：,在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。,小结归纳：全等三角形中常见辅助线口诀。,图中有角平分线，可向两边作垂线，也可将图对折看，对称以后关系现。,角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。,线段垂直平分线，常向两端把线连，线段和差及倍半，延长缩短可试验。,线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。,三角形中有中线、延长中线等中线。,谢谢，再见！,