公开课《2412垂径定理》课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,中学数学网（群英学科）收集提供,*,24.1.2,垂径定理,问题：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,实践探究,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,?,思,考,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,垂径定理：,垂直于弦,的,直径,平分弦,且平分弦所对的两条弧,.,O,A,B,C,D,E,CDAB,CD,是直径,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,符号语言,图形语言,（,1,）如何证明？,探究：,O,A,B,C,D,E,已知：,如图，,CD,是,O,的直径AB,为弦,，且,AE=BE.,证明：,连接,OA,，,OB,，则,OA=OB,AE=BE,CDAB,AD=BD,求证：,CDAB,，且,AD=BD,AC=BC,AC=BC,垂径定理推论,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB,CD,是直径，,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,E,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt,AOE,中,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,课堂讨论,根据已知条件进行推导：,过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对优弧,平分弦所对劣弧,（,1,）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所,对的两条弧。,（,3,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（,2,）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分,弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个,.,试一试,1.,判断：,()(1),垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分,弦所对的两条弧,.,()(2),平分弦所对的一条弧的直径一定平分,这条弦所对的另一条弧,.,()(3),经过弦的中点的直径一定垂直于弦,.,()(4),弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧,.,1.,已知,P,为,O,内一点，且,OP,2cm,，如果,O,的半径是,3cm,那么过,P,点的,最短的弦,等于,.,E,D,C,B,A,P,O,2.,过,O,内一点,M,的最长弦长为,4,厘米，最短弦长为,2,厘米，则,OM,的长是多少？,O,M,A,2,、如图，点,P,是半径为,5cm,的,O,内一点，且,OP=3cm,则过,P,点的弦中，,（,1,）最长的弦,=,cm,2,）最短的弦,=,cm,（,3,）弦的长度为整数的共有（）,A,、,2,条,b,、,3,条,C,、,4,条,D,、,5,条,巩固：,A,O,C,D,5,4,P,3,B,3,、如图，点,A,、,B,是,O,上两点，,AB=8,点,P,是,O,上的动点（,P,与,A,、,B,不重合）,连接,AP,、,BP,过点,O,分别作,OEAP,于,E,OFBP,于,F,EF,=,。,4,O,A,B,O,A,B,已知,O,的半径为,5,厘米，弦,AB,的长为,8,厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,练习,1.,过,o,内一点,M,的最长的弦长为,10,最短弦长为,8,那么,o,的半径是,2.,已知,o,的弦,AB=6,直径,CD=10,且,ABCD,那么,C,到,AB,的距离等于,3.,已知,O,的弦,AB=4,圆心,O,到,AB,的中点,C,的距离为,1,那么,O,的半径为,4.,如图,在,O,中弦,ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为,M,N,且,OM=2,0N=3,则,AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1,或,9,6,4,Cm,归纳：,已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。,问题：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,实践应用,某圆直径是,10,内有两条平行弦,长度分别为,6,和,8,求这两条平行弦间的距离,.,船能过拱桥吗,?,例,3.,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为,7.2,米,拱顶高出水面,2.4,米,.,现有一艘宽,3,米、船舱顶部为长方形并高出水面,2,米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解,:,如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为,O,半径为,Rm,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,与 相交于点,C.,根,据垂径定理,D,是,AB,的中点,C,是 的中点,CD,就是拱高,.,由题设得,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R3.9,（,m,）,.,在,RtONH,中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥,.,O,A,B,C,已知,A,、,B,、,C,是,O,上三点，且,AB=AC,，圆心,O,到,BC,的距离为,3,厘米，圆的半径为,5,厘米，求,AB,长。,D,D,试一试,O,A,B,C,