初中三年级数学上册第25章概率初步课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,“,统计与概率,”,的学与教,建邺区教研室 沈仁广,2014,年,10,月,几个需要数学教师回答的问题,:,中学数学中,概率的定义通常有哪几种,?,它们都有哪些特点,?,常见的概率定义有哪些局限性,?,及其产生的根本原因,?,确定性的数学会对中学生学习概率统计产生哪些负面的影响,?,本讲座资料来源,:,八十年代以来国内外学界主要研究结论,本人的部分研究结果,本人参与的部分课堂观测结果,本讲座的主要目的,:,了解一点本学科研究的前沿成果,提供一种看问题的视角,介绍一种数学研究的方法和手段,本讲座主要内容当前概率与统计教学中存在的主要问题,中国学生对概率概念主要有哪些错误认识,?,学习概率过程中学生认知的发展规律,教学实验对学生概率学习的促进,对教学的启示,谢 谢,!,中学数学中概率定义的三种形式,:,古典定义：,(,样本空间有限、等可能性,),几何定义：,(,样本空间无限、等可能性,),频率定义,(,统计定义,)：,（,可以不等可能、近似值,）,概率定义的局限性：,1889,年法国数学家贝特兰提出的概率悖论,:,在圆内任作一弦,其长度超过圆内接等边三角形边长,a,的概率是多少,?,请你算一算。,第一种解法：,假定弦中点,H,在直径,PQ,上均匀分布时,P,=,1,/,2,(,图,1,)第二种解法：,假定弦中点,H,在小圆周上均匀分布时,P,=1/3(,图,2);,第三种解法：,假定弦中点,H,在小圆内均匀分布时,P,=1/4(,图,3).,为什么会产生这种现象呢：,这个悖论产生的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的,所对应的样本空间是不同的,它们是三个不同的随机试验,.,因此,在样本点为无限的情况下,必须对样本空间及样本点作具体限定,概率的公理化定义由此应运而生,.,确定性数学的思维方式常常会影响学生正确的建立概率直觉或预言结果,美国历史上至今已有,42,位总统,其中第,11,任的波尔克和第,29,任的哈定生日都是,11,月,2,日,还有亚当斯、杰斐逊、门罗三位总统都死于,7,月,4,日,这是一种历史的巧合,还是很正常的现象呢,?,为了简便,我们不记闰年,一年按,365,天算,那么该问题的理论概率为 这件事情发生的概率,并不是大多数人直觉中想象的那样小,而是相当大,.,当前概率与统计教学中存在的主要问题,：,概率这门课是要让学生了解随机现象、认识随机现象,.,但是目前的教学,一个倾向就是变成了计数,也就是说,这个概率的教学侧重到古典概率的教学,而古典概率的教学又变成了计数原理的教学,.,这样的教学无助于对随机现象本身的认识,而只把难点放在了计数上,.,但是计数,严格来说又不是随机现象的主要问题,.,对于统计的教学,多数老师觉得非常没意思,也非常容易,.从而把统计教成了怎样计算的问题,变成了四则运算的教学,.,讲怎么算样本平均数,怎么算样本方差,怎么做简便算法,同加一个数,同乘一个数结果怎样,.,然后，再讲怎样制作图表,讲计算样本的数字特征,.,讲统计的真正目的应该是要从数据里提取信息,.,也就是说,我们要设法知道这堆数据能告诉我们些什么,.,我怎么能从数据里得到这些信息,这是统计关心的问题,.,所以,统计所有的计算与操作,如算数字特征,画图表等,它的目的就是要从数据里提取信息,.,当前概率与统计教学中存在的主要问题,1.,中国学生对概率认识的主要错误概念,机会不能量化及预测,等可能性,预言结果法,用自已的方法比较机会,(1),机会不能量化及预测,学生认为随机现象是没有规律可言的,它是不确定的,因而机会是不能量化及预测的,.,对随机现象的认识偏差,认为机会受试验结果的制约,(,结果,机会,),典型问题,1:,甲袋中放着,2,只白球和,2,只黑球,乙袋中也放着,2,只白球和,2,只黑球,.,两袋中的球都已经各自搅匀,.,取球时你闭上眼睛不许看,把两只手分别伸进甲袋和乙袋,各取出一只球,.,那么下面哪个说法是正确的,?,A,取出两个白球的可能性最大,B,取出两个黑球的可能性最大,C,取出一个白球和一个黑球的可能性最大,D,无法判断这三个可能性中哪一个最大,典型问题,2:,学校里有,200,个女同学,1000,个男同学,学校里每个同学的名字都各自写在一张小纸条上,放入一个盒中搅匀,.,如果校长闭上眼睛随便从盒中取出,1,张纸条,那么下面哪个说法是正确的,?,A,抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大,B,抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小,C,抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大,D,无法比较这两种可能性的大小,主要结论,:,机会不能够量化及预测的错误概念使不少学生得出无法比较不同结果可能性的结论,.,这一概念主要与概率试验结果的不确定性有关,也与学生对随机现象缺乏反复观察的经验有关,对一些学过概率的学生,还与他们将概率的频率定义理解为精确的频率比值有关,.,这一错误概念随着学生年龄的增加而减少,但仍有一定数量学过概率的十二年级学生有此错误概念,.,这一错误概念的使用可能不受背景和数据的影响,.,(2),等可能性,等可能性也是学生使用的主要错误概念之一,.,对有些学生来说,一次试验的所有可能的结果都只有两种可能性,:,发生,或者,不发生,各有,50%,的机会发生,.,如果我们假设一次试验共有,n,个可能的结果,那么等可能回答有以下三种表现形式,:,(1),所有这,n,个可能的结果都有,50%,的机会发生,;,(2),每一结果的可能性都是,1/,n,;,(3),理论上相差不大的机会在一次试验中是一样大的,.,典型问题,1:,从三副洗好的没有老人头的牌中分别抽出一张牌,.,请判断下列结果是不可能会发生,还是可能会发生,还是必然会发生,:,(1),抽到的这三张牌是一张方块,2,一张方块,5,和一张黑桃,8,典型问题,2:,一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀,他并不确切地知道袋里有多少只黑球和白球,.,搅匀后他看了看,然后预言说,:“,蒙上眼睛从袋中取出一只球，正好是一只白球的机会是,30%。”,他取出一球，结果是白球，你认为他的预言准不准？,典型问题,3：,学校里有,200,个女同学，,1000,个男同学，学校里每个同学的名字都各自写在一 张小纸条上，放入一个盒中搅匀。,（,1,）如果校长闭上眼睛随便从盒中取出,1,张纸条，那么下面哪个说法是正确的？,A）,抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大,B）,抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小,C）,抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大,D）,无法比较这两种可能性的大小,把抽出的这张纸条放回盒中，重新搅匀。这一次，校长闭上眼睛随便从盒中取出,70,张纸条，睁眼一看，抽到的是,23,个女同学和,47,个男同学。他把这,70,张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第,71,张纸条，那么下面哪个说法是正确的？,A）,这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大,B）,这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小,C）,这次抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大,D）,无法比较这两种可能性的大小,典型问题,4：,甲袋中放着,8,只红球和,16,只黑球，乙袋中则放着,50,只红球和,70,只黑球。两袋中的球都已经各自搅匀。取球时你闭上眼睛不许看，把两只手分别伸进甲袋和乙袋，各取出一只球，下面哪个说法是正确的？,A）,取出两个红球的可能性最大,B）,取出两个黑球的可能性最大,C）,取出一个红球和一个黑球的可能性最大,D）,无法判断这三个可能性中哪一个最大,（,3,）预言结果法,有些学生（包括成人）在使用,“,机会,”、“,可能性大小,”、“,概率,”,这些概念时，并不把它们与重复试验联系起来，而是将概率很大等同于一定会发生，概率很小等同于一定不会发生，,50%,概率等同于,“,不知道,”,或,“,不能决定,”。Konold,称这一错误概念为预言结果法（,outcome approach,）。,Konold,是这样描述它的：,这一方面的显著特点是：,（,1,）预言每次试验的结果；（,2,）将概率看作为一种预测，因而，在每次试验以后就判断说某一概率是预测对了还是错了；（,3,）将概率估计建立在因果联系上而不是建立在分布信息上。,典型问题,1：,一位天气预报员说：,“,明天下雨的机会是,80%”,与,“,明天下雨的机会是,80%”,的意思最接近的是：,A）,明天肯定会下雨,B）,明天肯定不会下雨,C）,假如一年中有,10,天预报,“,明天下雨的机会是,80%”，,在这,10,天中，有8,天左右第二天会下雨,D）,假如一年中有,10,天预报,“,明天下雨的机会是,80%”，,在这,10,天中，恰好有,8,天第二天会下雨,典型问题,2：,一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀,他并不确切地知道袋里有多少只黑球和白球,.,搅匀后他看了看,然后预言说,:“,蒙上眼睛从袋中取出一只球，正好是一只白球的机会是,50%。”,他取出一球，结果是白球，你认为他的预言准不准？,典型问题,3：,在某一场比赛前，教练员预言说：,“,根据我掌握的情况，这场比赛我们队有,80%,的机会会获胜。,”,下面有五种情形，相比之下在哪一种情形下，我们可以说这位教练说得很准？,A）,该队真的赢了这场比赛,B）,该队真的输了这场比赛,C）,假如这场比赛可以重复进行,10,遍，在这,10,场比赛中，他这个队赢了,10,场,D）,假如这场比赛可以重复进行,10,遍，在这,10,场比赛中，他这个队赢了,9,场,E）,假如这场比赛可以重复进行,10,遍，在这,10,场比赛中，他这个队赢了,8,场,（,4,）用自己的方法比较机会,“,用自己的方法比较机会,”,是指学生面对那些机会比较的问题时，一些学生会依据自己的生活经验采用自己的方法加以解决。,此类学生错误较多，这里主要介绍两类机会比较的问题。即：一类是以一步试验中的机会比较问题；另一类是以两步试验中的机会比较问题。,一个真实的案例,分别用力转动如图所示的两个转盘各,1,次,.,(1),求指针一次指向红色区域,另一次指向黄色区域的概率,;,(2),请利用这两个转盘,设计一个对双方公平的游戏,.,问题来源,:,苏科版,数学,（,九下,）9.1,抽签方法合理吗习题,9.1,第,2,题,学生在一步试验中常用的三种自创的方法,（,1,）绝对量较大者有较大的发生机会；,（,2,）总量较大者或总量较小者有较大的发生机会；,（,3）,差异较大者或较小者有较大的发生机会,学生在两步试验中常用的几种自创的方法,（,1,）由一步试验机会较大者复合成的结果有较大的发生机会；,（,2,）由总量较大者复合成的结果有较大的发生机会；,（,3,）在某个一步试验中占绝对优势者同时在另一个试验中也不占绝对劣势者复合成的结果有较大的发生机会；,（,4,）由不同类元素复合成的结果有较大的发生机会,典型问题,1：,甲袋中放着,8,只红球和,16,只黑球，乙袋中则放着,50,只红球和,70,只黑球。两袋中的球都已经各自搅匀。取球时你闭上眼睛不许看，把两只手分别伸进甲袋和乙袋，各取出一只球，下面哪个说法是正确的？,A）,取出两个红球的可能性最大,B）,取出两个黑球的可能性最大,C）,取出一个红球和一个黑球的可能性最大,D）,无法判断这三个可能性中哪一个最大,典型问题,2：,用力旋转两个转盘的指针，下面哪个说法是正确的？,A）,两个指针都停在红色上的可能性最大,B）两个指针都停在蓝色上的可能性最大,C）,一个指针停在红色上，另一个指针停在蓝色上的可能性最大,D）,无法判断这三个可能性中哪一个最大,典型问题,3：,甲袋中放着,8,只红球和,16,只黑球，乙袋中则放着,500,只红球和,100,只黑球。两袋中的球都已经各自搅匀。取球时你闭上眼睛不许看，把两只手分别伸进甲袋和乙袋，各取出一只球，下面哪个说法是正确的？,A）,取出两个红球的可能性最大,B）,取出两个黑球的可能性最大,C）,取出一个红球和一个黑球的可能性最大,D）,无法判断这三个可能性中哪一个最大,2.,学习概率过程中学生认知的发展规律,简单介绍,SOLO,分类模型,不同认识水平学生对几种不同类型测试题的各种水平的回答,认知概率概念水平的一个发展框架,SOLO,分类简介,在,SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome,观察到的学习结果的结构,),分类法中，学生对每一问题的回答被划分为,5,个水平：前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平和进一步抽象水平。,前结构水平（,P,）：处于这一水平的回答表现为拒绝或者没有能力进入某一问题的解决，如，空白的回答、完全无关的回答、不合逻辑的回答、以自我为中心的回答，或者干脆说,“,以前没学过,”,单一结构水平（,U,）：处于这一水平的回答只含一种运算。这里的运算还是,Piaget,理论中的,“,运算,”,概念，即认知行为。例如，在判断一个事件是不可能还是可能还是必然会发生时，,U,水平回答只含一种运算,寻找该事件发生或者不发生的一个例证，找到了就下结论说该事件是可能发生的，而根本不再想是否也存在该事件不发生的例证,。,多元结构水平（,M,）：这一水平的回答一般要依次进行几个相关但又不相同的运算。例如，学生首先列出随机试验的所有可能结果，然后得出结论：所有这些结果有相同的发生机会。,关联水平（,R,）：处于这一水平的回答包含抽象思维成分，所进行的那些运算不仅相关而且反映出对所获信息的整体把握。例如，学生首先列出随机试验的所有可能的结果，再把所有利于目标事件的可能结果集中在一起，最后再用比率来量化概率。,进一步抽象水平（,E,）：这一水平的回答纯粹是抽象思维的结果，学生从已知信息中洞察到需在运用某一抽象的、在条件中并没有明显给出的一般原理。例如，即使是在超出学生自身现实生活经验范围之外的某一情境中，他们仍然能够恰当而成功地使用古典概率公式。,SOLO,模型的五个基本思维作用方式,P,感觉动动方式（一种默会的知识）,U,表象方式（可用文字、图象交流，会一些定性的判断）,M,具体符号方式（能用符号系统说明世界）,R,形式方式（抽象概念和命题成为思维对象）,E,超形式方式（能看出学科的全貌，即能推进这一学科向前发展，又能向这一学科知识的基础假设和结构发起挑战）,不同认识水平学生对几种,不同类型测试题的各种水平的回答,典型问题,1,:(,对不同事件的回答,),抛掷三枚普通的正方体骰子一次,请判断下列结果是不可能会发生,还是可能会发生,还是必然会发生,并在你认为合适的方框里打钩,:,(1),掷得的这三个数都是偶数,.,(2),掷得的这三个数都比,7,小,.,(3),掷得的这三个数都比,6,大,.,(4),掷得的这三个数都是,2.,(5),掷得的这三个数都是,6.,(6),掷得的这三个数都不是,6.,典型问题,2.1,:(,机会值的解释,),一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀,他并不确切地知道袋里有多少只黑球和白球,.,搅匀后他看了看,然后预言说,蒙上眼睛从袋中取出一只球，正好是一只白球的机会是,30%。”,他取出一球，结果是白球，你认为他的预言准不准？,典型问题,2.2,:,一位天气预报员说：,“,明天下雨的机会是,50%”,与,“,明天下雨的机会是,50%”,的意思最接近的是：,A）,明天可能会下雨,也可能不会下,他自己也不知道结果,B）,假如一年中有,10,天预报,“,明天下雨的机会是,50%”，,在这,10,天中，有,5,天左右第二天会下雨,C）,假如一年中有,100,天预报,“,明天下雨的机会是,50%”，,在这,100,天中，恰好有,50,天第二天会下雨,D),假如一年中有,100,天预报,“,明天下雨的机会是,50%在这,100,天中，有,50,天左右第二天会下雨,典型问题,3.1,:(,机会的比较,),用力旋转甲、乙两个转盘的指针，如果你想让指针停在蓝色上，下面哪个说法是正确的？,A）,转盘甲的指针停在蓝色上的可能性比转盘乙的指针停在蓝色上的可能性大,B）,转盘甲的指针停在蓝色上的可能性比转盘乙的指针停在蓝色上的可能性小,C）,两个转盘的指针停在蓝色上的可能性是一样的,D）,无法比较这两个可能性的大小,认知概率概念水平的一个发展框架,几个思考题：,你知道几种概率定义？,古典定义与频率定义之间的关系与区别？,SOLO,理论与,Piaget,阶段理论的主要区别？,简单介绍一个教学实验的结果,教学实验的对象,:,一所普通中学八年级的两个小班,(,约,25,人,),教学时间,:,6,课时,教学实验的目的,:,了解提前在初中教学概率的可行性,主要结论,:,以活动为主的短期教学实验,有助于学生加深对概率的理解并克服一些相关的对概率的错误概念,;,教学实验后发现,两个班的学生在回答的正确率和陈述的理由水平上都有进步,但从统计意义上说,这种进步在两个班级之间没有显著差异,;,经过教学,一些错误概念,如,主观判断、举例说明可能与不可能和机会不能量化及预测都基本上消失或极少再使用了，然而，预言结果法和等可能性仍相当顽固，不容易消除。,无论用哪一种途径学习概率（指用理论的途径或实验,的途径），都不能代替从另一种途径学习概率；因此，在设计概率课程时，我们不能偏向概率的某一种定义，以为对概率一种定义的了解就能够取代概率其他定义的学习。,在让学生对不确定现象积累了一些经验，发现大数次重复试验会使频率趋于稳定，接受用频率估计概率的思想之后，需要进一步引入概率的理论定义，发现概率的频率定义与概率的理论定义之间的联系。这样的准备以及发展对于学生真正理解概率概念都非常重要。,3.,对教学的启示,:,对课程开发者的建议,对教师的建议,对课程开发者的建议：,用活动的方式是能够在中学较低年级有效地开展概率教学的。从教学实验的研究结果来看，在初中阶段学习概率的频率定义和古典定义都是可行的。,将概率的所有内容集中安排在一个学期学习的做法不可取。首先，这样做不利于帮助学生克服早就形成的某些顽固的错误概念。研究表明：学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了，在学概率期间还有可能产生新的错误概念，学习结束之后可能还存在某些错误概念，即便教学是基于对错误概念了解之上的，某些错误概念还是顽固得难以消灭。其次，虽然用不了多长时间就可以教会学生计算简单的概率，,但是，这并不意味着学生已经真的相信他们计算出的结果了，也不意味着他们已经完全放弃与理论相悖的直觉了，事实上，他们需要经历收集数据、分析数据、检验与调整自己直觉等过程。因此，概率教学应与数据处理教学结合进行，而且需要延续较长的时间。,许多学校还没有电脑不应成为引入概率教学计划的拦路虎，至少对短期教学来说，这一说法是成立的。研究表明：计算机模拟试验现场演示并没有在学生的认识改变中发挥特别的作用，为了获取大数次重复试验的数据，汇总所有学生试验数据或给出事先由计算机产生的数据都是有效途径。这一点对我国当前许多学校还没有足够计算机或相应的教学软件来说尤为重要。,给教师的建议：,教师要了解概率说理有一个特殊困难的地方，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突。,教师仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此，在教授概率时，教师应创造情境，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟试验去检查、修正或改变学生对概率的认识；,学生的心中存在错误概念，不同的学生可能存在不同的错误概念，学生可能使用哪些策略、这些策略如何随学生不断成熟而发生变化等等信息都是教师教学中可以加以利用的，如果教师对学生的这些错误情况都,胸有成竹，并在教学中采取相应的对策，那么，这样的 教学定会更有效。所以，教师应注意收集在研究学生认知方面出现的新成果，并把它们融合到自己的教学实践中去。,教师应该帮助学生提高他们的认识水平，将它们逐渐引向更高更复杂的水平。概率中的有些问题，在同一个答案背后可能有着多个完全不同的理由，即使是正确的答案，背后也可能有错误的理由或高低水平不同的正确理由，所以教师应要求学生说明理由，从而为教师有针对性地适时地帮助学生，让学生们了解到可以继续努力的目标提供机会。教学实验表明：采取一定的措施是能够帮助学生提高认识的。,学生需要经历用不同的替代物来模拟同一个概率问题的经验。调查发现，有些错误概念的使用是与题目中的数据或背景问题有关的。教学实验表明：教学实验中使用了不同的实验材料，如骰子、硬币、转盘和扑克牌，从后测结果来看，有的学生能够认出使用不同材料的两个活动有着相同的本质，而有的学生则没有这样的,“,眼力,”，,题目背景或数据一变，解题的策略也跟着变了。所以，如果教师在教学中就注意使用多种材料，并有意识地训练学生用不同的替代物来模拟同一个概率问题，那将促进学生的理解。,总之，教师如果在教学中能够联系学生的现实，采取合适的教学策略克服学生的错误概念并发展他们的认知结构，那么学生就能从中得益，否则，学生的主观判断、个人的经验和信念就会独立于课堂内教的知识而继续顽固地存在。,谢 谢,!,4.,例析概率教学设计,12.2,等可能条件下的概率（一）第,1,课时,