等差数列及性质1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.1,等差数列,请看下面一些数列,:,鞋的尺码，按照国家统一规定，有,22,，,22.5,，,23,，,23.5,，,24,，,24.5,，,某月星期日的日期为,2,，,9,，,16,，,23,，,30,；,一个梯子共,8,级，自下而上每一级的宽度为：,89,，,83,，,77,，,71,，,65,，,59,，,53,，,47(cm),特征：从第,2,项起，每一项与前一项的差都等于一个常数,.,等差数列的定义,如果一个数列,a,n,，从第,2,项起,每一项与前一项的差都等于一个常数，那么这个数列为,等差数列,，这个,常数,叫做等差数列的,公差,，公差通常用字母,d,表示。,(1),22,，,22.5,，,23,，,23.5,，,24,，,24.5,，,(2),2,，,9,，,16,，,23,，,30,；,(3),89,，,83,，,77,，,71,，,65,，,59,，,53,，,47(cm),(4)2,，,0,，,-2,，,-46,，,它们是等差数列吗？,(6)5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,公差,d=0,常数列,公差,d=2x,(5)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,(7),例,1,已知数列,a,n,的通项公式为,a,n,=3,n,5,，这个数列是等差数列吗？,解：因为当,n,2,时，,a,n,a,n,1,=3,n,5,3(,n,1),5=3,，,所以数列,a,n,是等差数列，且公差为,3.,说明：,判断,一个数列是否等差数列，应,严格按照等差数列的定义,来进行。,(2),2,，,9,，,16,，,23,，,30,；,(4)2,，,0,，,-2,，,-4,，,-6,，,-8 ,你会求它们的通项公式吗？,如果等差数列,a,n,的首项,为,a,1,，公差为,d,，,求它的,通项公式,a,n,a,2,a,1,d,a,3,a,2,d,a,1,2,d,a,4,a,3,d,a,1,3,d,a,5,a,4,d,a,1,4,d,由此得,:,a,n,a,1,(,n,1),d,（,n,N,+),解：由等差数列得定义得：,a,n,1,a,n,d,叠,加得,等差数列的通项公式,(2),2,，,9,，,16,，,23,，,30,；,(4)2,，,0,，,-2,，,-4,，,-6,，,-8 ,它们的通项,你,会,了,吗,例,2,已知等差数列,10,，,7,，,4,，,；,（,1,）试求此数列的第,10,项；,（,2,）,40,是不是这个数列的项？,56,是不是这个数列的项？如果是，是第几项？,解：（,1,）设此数列为,a,n,，,由,a,1,=10,，,a,2,=7,，得,d,=7,10=,3,，,得到这个数列的通项公式为,a,n,=10,3(,n,1),，即,a,n,=,3,n,+13,，,当,n,=10,时，,a,10,=,17.,（,2,）如果,40,是这个数列的项，,则方程,40=,3,n,+13,应有正整数解，,解这个方程得 ，,所以,40,不是这个数列的项；,如果,56,是这个数列的项，,则方程,56=,3,n,+13,有正整数解，,解这个方程得,n,=23,，,所以,56,是这个数列的第,23,项；,例,2,在等差数列中,已知,a,5,=10,a,12,=31,解：由题意可知,这是一个以 和,为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得,即这个等差数列的首项是,-,，公差是,.,求首项,a,1,与公差,d.,在等差数列,a,n,中，,a,n,a,1,(,n,1),d,=,nd,+(,a,1,d,),可以看出，当公差,d,=0,时，该数列是常数列,.,即常数列是等差数列的特殊形式，公差为,0.,当公差,d,0,时，,a,n,是关于,n,的一次式,.,例3 已知数列,的通项公式,，其中,是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？,若是，首项与公差分别是什么？,解：,注：若,a,=0，则,是公差为0的等差数列，即为常数列,若,a,0,则,是关于n的一次式,从图象上看,表示数列,的各点均在一次函数y=,a,x+,b,的图象上,若,数列,为等差数列,，,则,数列的,通项公式,一定可写成,2.2.1,等差数列,的,性质,回忆一下上节课所学主要内容：,1等差数列,的定义,：,2等差数列的通项公式：,3计算公差d,：,问题：如果在,a,与,b,中间插入一个数A，使,a,，A，,b,成等差数列数列，那么A应满足什么条件？,由定义得,，即：,反之，若,，则,即,成,等差数列,等差中项,如果三个数,x,，,A,，,y,组成等差数列，那么,A,叫做,x,和,y,的等差中项。,如果,A,是,x,和,y,的等差中项，则,在一个等差数列中，从第,2,项起，每一项,(,有穷数列的末项除外,),都是它的前一项与后一项的等差中项。,性质1,例,3,已知等差数列的公差为,d,，第,m,项为,a,m,，试求其第,n,项,a,n,.,解：由等差数列的通项公式可知,a,n,=,a,1,+(,n,1),d,，,a,m,=,a,1,+(,m,1),d,，,两式相减得，,a,n,=,a,m,+(,n,m,),d,.,性质2,例,4.,（,1,）在等差数列,a,n,中，若,m,n,p,q,，,求证：,a,m,a,n,a,p,a,q,.,（,2,）在等差数列,a,n,中，若,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=450,，求,a,2,a,8.,解,：（,2,）,a,2,+,a,8,=,a,3,+,a,7,=,a,4,+,a,6,=2,a,5,，,5,a,5,=450,，,a,5,=90,a,2,+,a,8,=290=180.,（,性质3,）,例,5,梯子共有,5,级，从上往下数第,1,级宽,35,厘米，第,5,级宽,43,厘米，且各级的宽度依次组成等差数列,a,n,，求第,2,，,3,，,4,级的宽度。,解法,1,：由题意，,a,1,=35,，,a,5,=43,，由等差数列通项公式，,因此得,a,2,=37,，,a,3,=39,，,a,4,=41.,得公差,解法,2,：此数列共,5,项，,a,3,是,a,1,与,a,5,的等差中项，,因此,又因为,a,2,是,a,1,与,a,3,的等差中项，,a,4,是,a,3,与,a,5,的等差中项，所以,答：梯子的第,2,，,3,，,4,级的宽度分别是,37cm,，,39cm,，,41cm.,例,6,已知等差数列,a,n,的首项,a,1,=17,，公差,d,=,0.6,，此等差数列从第几项开始出现负数？,解：由题意，,a,n,的通项公式是,a,n,=17,0.6(,n,1),，,令,17,0.6(,n,1)0,，解得,又因为,a,n,是递减数列，,所以数列,a,n,从第,30,项起开始出现负数。,1,等差数列的判定方法,等差数列中的主要方法：,(1),定义法,:,(2),中项法,:,(3),通项公式判定,:,三数成等差数列,:,四数成等差数列,:,2,设元技巧,:,3.,性质,（1）,（2）,（3）,在等差数列,中，若,m,n,p,q,，,则 ，,反,之,也,成立。,