因式分解(人教版).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,因式分解,八年级（下）,复习回顾,口答：,问题：,630,可以被哪些整数整除？,解决,这个问题，需要对,630,进行分解质因数,630=23,2,57,类似地，在式的变形中，,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,以便于更好的解决一些问题,新课引入,试试看,(,将下列多项式写成几个整式的乘积,),回忆前面整式的乘法,上面我们把一个,多项式,化成了几个,整式,的,积,的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项,式,，也叫做把这个多项式,。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是,逆变形,依,照定义，判断下列变形是不是因式分解,（把,多项式,化成几个,整式,的,积,）,m,(,a,+,b,+,c,),=,ma,+,mb,+,mc,下面两个式子中哪个是因式分解？,在式,子,ma,+,mb,+,mc,中，,m,是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫,做,。,公因式,ma+mb+mc=m,(,a,+,b,+,c,),ma+mb+mc=m,(,a,+,b,+,c,),在下,面这个式子的因式分解过程中，先,找到,这个多项式的,公因式,，再将,原式除以公因式,，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。,这种方法叫做,提公因式法,。,提公因式法一般步骤：,1,、找到该多项式的公因式，,2,、将原式除以公因式，得到一个新多项式，,3,、把,它与公因式相乘。,如何准确地找到多项式的公因式呢？,1,、系数,所有项的系数的,最大公因数,2,、字母,应提取每一项都有的字母，,且字母的,指数取最低,的,3,、系数与字母相乘,例题精讲,最大公因数为,3,=3,a,的最低指数为,1,a,b,的最低指数为,1,b,(3,a,5,bc,),=,4,s,t,2,(3,s,2,2,t,+1,),p,q,(5,q,+7,p,+3,),=,15.4.2 公式法（中级篇）,利用完全平方公式因式分解,第,3,课时,利用平方差公式因式分解,第,2,课时,15.4.2 公式法（中级篇1）,利用平方差公式进行因式分解,复习回顾,还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？,平方差公式：,完全平方公式：,计算：,=(999+1)(9991),此处运用了什么公式,?,新课引入,试计算：,999,2,1,1,2,=1000998=998000,平方差公式,逆用,因式分解,:,（,1,）,x,2,;,（,2,）,y,2,4 25,2,2,5,2,=(,x,+2)(,x,2),=(,y,+5)(,y,5),这些计算过程中都,逆用,了平方差公式,即：,此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。,尝试练,习,(,对下列各式因式分解,),：,a,2,9=_,49n,2,=_,5,s,2,20,t,2,=_,100,x,2,9,y,2,=_,(,a,+3)(,a,3),(7+,n,)(7,n,),5(,s,+2,t,)(,s,2,t,),(10,x,+3,y,)(10,x,3,y,),=,y,2,4,x,2,=(,y,+2,x,)(,y,2,x,),=,(,x,2,),2,1,2,=(,x,2,+1)(,x,2,1),4,x,2,+,y,2,x,4,1,(,x,2,1),=,(4,x,2,y,2,),=(2,x,+,y,)(2,x,y,),(,x,+1)(,x,1),将前面各式,运用平方差公式进行因式分解,例(2),因式分解一定要分解彻底,!,x,2x,6,=,x,2,(,x,3,),2,=(,x,+,x,3,)(,x,x,3,),=,x,(1+,x,2,),x,(1,x,2,),=,x,2,(1+,x,2,),(1+,x,)(1,x,),将前面各式,运用平方差公式进行因式分解,例(2),x,2,x,6,=,x,2,(1,x,4,),=,x,2,(1+,x,2,)(1,x,2,),=,x,2,(1+,x,2,),(1+,x,)(1,x,),更简便！,在我们现学过的因式分解方法中，先考虑,提取公因式,，再考虑用,公式法,。,6,x,3,54,xy,2,=,6,x,(,x,2,9,y,2,),=6,x,(,x,+3,y,)(,x,3,y,)x,+,p,),2,(,x,q,),2,=(,x,+,p,)+(,x,q,),(,x,+,p,)(,x,q,),=(2,x,+,p,q,)(,p,+,q,),将前面各式,运用平方差公式进行因式分解,例(2),Y,X,Y,X,Y,X,15.4.2 公式法（中级篇2）,利用完全平方公式进行因式分解,复习回顾,还记得前面学的完全平方公式吗？,计算：,新课引入,试计算：,999,2,+1998 +1,29991,=(999+1),2,=10,6,此处运用了什么公式,?,完全平方公式,逆用,就像平方差公式一样，,完全平方公式,也可以,逆用,，从而进行一些简便计算与因式分解。,即：,这个公式可以用文字表述为：,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的,两,倍，等于这两个数的和（或差）的平方。,牛刀小试,(,对下列各式因式分解,),：,a,2,+6,a,+9=_,n,2,10,n,+25=_,4,t,2,8,t,+4=_,4,x,2,12,xy,+9,y,2,=_,(,a,+3),2,(,n,5),2,4(,t,1),2,(2,x,3,y,),2,完全平方式的特点：,1,、必须是,三项式,（或可以看成三项的）,2,、有两个,同号,的平方项,3,、有一个乘积项（等于平方项底数的,2,倍,）,简记口诀：,首平方，尾平方，首尾两倍在中央。,将例(1)中的完全平方式,利用完全平方公式进行因式分解例(2),16,x,2,+24,x,+9,4,x,2,+4,xy,y,2,4,x,2,8,xy,+4,y,2,=,(4,x,+3),2,=,(4,x,2,4,xy,+,y,2,),=,(2,x,y,),2,=,4,(,x,2,2,xy,+,y,2,),=4,(,x,y,),2,2,a,2,+,(,p,+,q,),2,12(,p,+,q,)+36,将例(1)中的完全平方式,利用完全平方公式进行因式分解,例(2),a,4,1,=,(,a,2,1),2,=(,a,+1),2,(,a,1),2,=,(,a,+1),(,a,1),2,=,(,p,+,q,6),2,X,X,X,15.4.3*因式分解（高级篇）,因式分解的其他常用方法,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,拆项添项法,配方法,待定系数法,求根法,一、提公因式法,只需,找到,多项式中的,公因式,，然后用,原多项式除以公因式,，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,提公因式法,随堂练习：,1,）,15(,m,n,)+13(,n,m,),2,）,4(,x,+,y,)+4(,x,3,y,),二、公式法,只需发现多项式的,特点,，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法,结合,或多种公式,结合,。,接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式,1,、a,+,b,)(,a,b,)=,a,2,b,2,（,平方差公式）,2,、,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,（完全平方公式）,3,、,(,a,+,b,+,c,),2,=,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,ac,+2,bc,4,、,a,3,+,b,3,=(,a,+,b,)(,a,2,ab,+,b,2,),及,a,3,b,3,=(,a,b,)(,a,2,+,ab,+,b,2,),（立方和、差公式）,5,、,(,a,+,b,),3,=,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,（完全立方和公式）,6,、,(,x,+,p,)(,x,+,q,)=,x2,+(,p,+,q,),x,+,pq,7,、,x,2,+,y,2,+,z,2,+,xy,+,xz,+,yz,公式推导,这是公式,x,2,+,y,2,+,z,2,+,xy,+,xz,+,yz,的推导过程,不要与,(,x,+,y,+,z,),2,=,x,2,+,y,2,+,z,2,+,2,xy,+,2,xz,+,2,yz,混淆,公式法,随堂练习：,1,）,(,a,2,10,a,+25)(,a,2,25),2,）,x,3,+3,x,2,+,3,x,+1,二、公式法,只需发现多项式的,特点,，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法,结合,或多种公式,结合,。,三、十字相乘法,前面出现了一个公式：,(,x,+,p,)(,x,+,q,)=,x,2,+(,p,+,q,),x,+,pq,我们可以用它进行因式分解,（适用于二次三项式）,例,1,：因式分解,x,2,+4,x,+3,可以看出常数项,3=,1,3,而一次项系数,4=,1,+,3,原式,=(,x,+1,)(,x,+3,),暂且称为,p,、,q,型因式分解,例,2,：因式分解,x,2,7,x,+10,可以看出常数项,10=,(2),(5),而一次项系数,7=,(2),+,(5),原式,=(,x,2,)(,x,5,),这个公式简单的说，,就是把常数项拆成两个数的乘积，,而这两个数的和刚好等于一次项系数,十字相乘法,随堂练习：,1,）,a,2,6,a,+5 2,）,a,2,5,a,+6,3,）,x,2,(2,m,+1),x,+,m,2,+,m,2,三、十字相乘法,试因式分解,6,x,2,+7,x,+2,。,这里就要用到,十字相乘法,（适用于二次三项式）,。,既然是二次式，就可以写成,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,),的形式。,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,)=,ac,x,2,+,(,ad,+,bc,),x,+,bd,所,以，需要将,二次项系数,与,常数项,分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,=17,3,x,2,+11,x,10,6,x,2,+7,x,+2,2,3,1,2,4,+3,=7,6,x,2,+7,x,+2=(,2,x,+,1,)(,3,x,+,2,),1,3,5,2,2,+15,=11,1,3,2,5,5,+6,3,x,2,+11,x,+10=(,x,+,2,)(,3,x,+,5,),=6,5,x,2,6,xy,8,y,2,试因式分解,5,x,2,6,xy,8,y,2,。,这里仍然可以用,十字相乘法,。,1,5,2,4,4,10,5,x,2,6,xy,8,y,2,=(,x,2,y,)(,5,x,+,4,y,),简记口诀：,首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,十字相乘法,随堂练习：,1,）,4,a,2,9,a,+2,2,）,7,a,2,19,a,6,3,）,2(,x,2,+,y,2,)+5,xy,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些,变换,达到因式分解的目的。,例,1,：因式分解,ab,ac,+,bd,cd,。,解：原式,=,(,ab,ac,),+,(,bd,cd,),=,a,(,b,c,),+,d,(,b,c,),=,(,a,+,d,),(,b,c,),还有别的解法吗？,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些,变换,达到因式分解的目的。,例,1,：因式分解,ab,ac,+,bd,cd,。,解：原式,=,(,ab,+,bd,)ac,+,cd,),=,b,(,a,+,d,),c,(,a,+,d,),=(,a,+,d,),(,b,c,),例,2,：因式分解,x,5,+,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1,。,解：原式,=(,x,5,+,x,4,+,x,3,)+(,x,2,+,x,+1),=(,x,3,+1),(,x,2,+,x,+1),=,(,x,+1)(,x,2,x,+1),(,x,2,+,x,+1),立方和公式,分组分解法,随堂练习：,1,）,xy,xz,y,2,+2,yz,z,2,2,）,a,2,b,2,c,2,2,bc,2,a,+1,回顾例题：,因式分解,x,5,+,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1,。,另解：原式,=(,x,5,+,x,4,)+(,x,3,+,x,2,)+(,x,+1),=(,x,+1)(,x,4,+,x,2,+1),=(,x,+1)(,x,4,+2,x,2,+1,x,2,),=(,x,+1),(,x,2,+1),2,x,2,=,(,x,+1),(,x,2,+,x,+1),(,x,2,x,+1),五*、拆项添项法,怎么结果与刚才不一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的,预见性,，尝试较多，做题较繁琐。,最好能根据现有多项式内的项,猜测,可能需要使用的公式，有时要根据形式,猜测,可能的系数。,五,*,、拆项添项法,因式分解,x,4,+4,解：原式,=,x,4,+,4,x,2,+4,4,x,2,=(,x,2,+2),2,(2,x,),2,=(,x,2,+2,x,+2)(,x,2,2,x,+2),都是平方项,猜测使用完全平方公式,完全平方公式,平方差公式,拆项添项法,随堂练习：,1,）,x,4,23,x,2,y,2,+,y,4,2,）,(,m,2,1)(,n,2,1)+4,mn,配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式,配成完全平方式,，再用平方差公式进行分解。,因式分解,a,2,b,2,+4,a,+2,b,+3,。,解：原式,=(,a,2,+4,a,+4)(,b,2,2,b,+1),=(,a,+2),2,(,b,1),2,=(,a,+,b,+1)(,a,b,+3),配方法,(,拆项添项法,),分组分解法,完全平方公式,平方差公式,二、新课,1.,我们把,叫做,x,的二次三项式。,这个式子的,x,的最高次项是,2,，并有一次项和常数项，,共有三项。,2.,请同学说出,x,的二次三项式,和,x,的一元二次方程,形式上有什么不同？,答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。,3.,用配方法把,分解因式。,分析：对,再添一次项系数的一半的平方,（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时,减去一次项系数一半的平方）,解：,这是配方的关键,4.,分解因式,分析：把二次项系数化为,1,，便于配方，但不能各项,除以,2,，而是各项提取公因数,2,我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定,模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二,次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解,必定与方程的根有关系，这个关系是什么,解：,从以上例,2,的因式分解来研究。,与二次三项式,对应的一元二次方程是,=0,这个方程的两根是,由此可以看出例,2,的因式分解的结果与两根的关系是什么？,这个关系是：二次三项式系数乘以,x,减去一个根的差，,再乘以,x,减去另一个根所得的差。,以上的结论怎样证明？,证明：设一元二次方程,结论：在分解二次三项式,例如，已知一元二次方程,就可以把二次三项式分解因式，得,三、例题讲解,例,1,把,分解因式,此步的目的是去掉括号内的分母,例,2,本题是关于,x,的二次三项式，所以应把,y,看作常数,注意：,1.,因式分解是恒等变形，所以公式,中的因式,千万不能忽略。,2.,在分解二次三项式,的因式时，可先用求根公式求出方程,的两个根,x,1,x,2,然后,写成,a,2.,选择题,（,1,）已知方程,（）,（,2,）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（）,D,D,五、本课小结,1.,对于不易用以前学过的方法：,分解二次三项式,宜用一元二次方程的,求根公式分解因式。,2.,当,当,(,例如：分解因式,在实数范围内不能分解,),3.,用求根公式分解二次三项式,其程序是固定的，即：,（,1,）第一步：令,（,2,）第二步：求出方程的两个根,；,（,3,）写出公式,并把,的值代入公式中的,处。,