函数的概念及其表示课件.ppt

函数及其表示,函数的概念,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,函数及其表示,函数的概念,函数的历史,“函数（function）”作为数学术语是,戈特弗里德威廉,莱布尼茨,（,Gottfried Wilhelm Leibniz,）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。,17世纪：,1718年约翰,柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：,“,由任一变量和常数的任一形式所构成的量。,”,他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。,函数的历史,“函数（function）”作为数学术语是,戈特弗里德威廉,莱布尼茨,（,Gottfried Wilhelm Leibniz,）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。,1748年，,欧拉,在其无穷分析引论一书中把函数定义为：,“,一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。,”,1755年，,欧拉,给出了另一个定义：,“,如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。,”,17世纪：,最多产的数学家,函数的历史,“函数（function）”作为数学术语是,戈特弗里德威廉,莱布尼茨,（,Gottfried Wilhelm Leibniz,）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。,18世纪：,1821年，,柯西,从定义变量起给出了定义：,“,在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。,”,在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。,函数的历史,“函数（function）”作为数学术语是,戈特弗里德威廉,莱布尼茨,（,Gottfried Wilhelm Leibniz,）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。,18世纪：,1822年,傅里叶,发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。,函数的历史,“函数（function）”作为数学术语是,戈特弗里德威廉,莱布尼茨,（,Gottfried Wilhelm Leibniz,）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。多媒体,18世纪：,1837年,狄利克雷,突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：,“,对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。,”,这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的,经典函数定义,。,函数的历史,我们初中学习的函数的概念，是在,“,经典函数定义,”,的基础上又一次升级。从运动变化的角度来描述函数概念，让我们更容易理解。,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,该定义强调了x和y的对应关系,变量与变量的对应,初中函数知识回顾,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,数定义,初中函,了解一个函数，应该从哪些方面考虑？,思考：,自变量x允许取值的范围是什么？,自变量x和y是如何对应的？,为了表示一个函数，我们学过哪些表示函数的方法？,再思考：,解析法 列表法 图像法,变量与变量的对应,初中函数知识回顾,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,数定义,初中函,下面三个函数，你了解它们吗？,思考：,x,1,3,5,7,9,11,y,1,2,4,5,6,7,-1,2,一对一,多对一,变量与变量的对应,初中函数知识回顾,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,数定义,初中函,讨论：,你认为 是函数吗？,变量与变量的对应,若按初中函数的定义，说“”是函数，就有些牵强，因为虽然x是变化的，但y是不变化的。,若说“”不是函数，又有些不合情理。因为x的允许取值范围是一切实数，x可取的每一个值，y都有唯一的值1和它对应基本符合函数的定义。,由于这种类似问题的出现，数学家们认为要对函数的概念进行升级！,函数概念的升级,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,数定义,初中函,变量与变量的对应,等到,康托,创立的集合论在数学中占有重要地位之后，,奥斯瓦尔德维布伦,用,“,集合,”,和,“,对应,”,的概念给出了近代函数定义。,从此函数的定义由,“,变量与变量,”,对应,转为,“,集合与集合,”,的对应。,下面，我们就来学习这个近代函数的定义,近代函数概念,一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它,允许取值范围内,的,每一个值,，y都有,唯一,确定的值与它,对应,，那么就说x是自变量，y是x的函数。,数定义,初中函,变量与变量的对应,数定义,高中函,集合与集合的对应,设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于,集合A,中的,任意一个数,，在集合B中都有,唯一,确定的数 和它,对应,，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数。记作:,思考：,两种函数定义的有什么联系吗？,x的任意性，y的唯一性,函数研究,集合与集合的对应,定义,函数,设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于,集合A,中的,任意一个数,，在集合B中都有,唯一,确定的数 和它,对应,，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数。记作:,该定义中，叫做,自变量,，的取值范围A叫做函数的,定义域,与 的值相对应的 值叫做,函数值,，函数值的集合 叫做函数的,值域,。,再思考：,是函数吗？,集合A=R,集合B=1,对应关系：变为1,是的,R,1,定义域：,R,值域：,1,函数研究,定义,函数,设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于,集合A,中的,任意一个数,，在集合B中都有,唯一,确定的数 和它,对应,，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数。记作:,判断下列对应是不是从A到B的函数?,1、A=1,2,3,B=2,6,4,对应关系：xy=2x,2、A=1,2,3,B=1,2,3,1.5,对应关系：A中元素的,倒数的3倍,与B中元素对应。,3、A=1,4,9,B=-1,-2,-3,1,2,3,对应关系：对A中元素,的,平方根,与B中元素对应。,4、A=-1,-2,-3,1,2,3,B=1,2,3,4,对应关系：xy=|x|,5、A=R,B=R,对应关系：xy=x,2,6、A=R,B=R,对应关系：,在“小牛试刀”中，有四个对应可称为函数，它们的定义域和值域分别是什么?,1、A=1,2,3,B=2,6,4,对应关系：xy=2x,2、A=1,2,3,B=1,2,3,1.5,对应关系：A中元素的,倒数的3倍,与B中元素对应。,4、A=-1,-21,B=1,2,3,4,对应关系：xy=|x|,思考：,定义域：,1,2,3；,值域：,2,6,4,定义域：,1,2,3；,值域：,1,1.5,3,定义域：,-1,-2,1；,值域：,1,2,(1)值域和集合B有什么关系?,再思考：,值域是集合B的子集,(2)要了解一个函数，我们要从哪些方面考虑?,定义域,对应关系,值域,函数的三要素,5、A=R,B=R,对应关系：xy=x,2,定义域：,R；,值域：,y|y0,函数研究,集合与集合的对应,定义,函数,设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于,集合A,中的,任意一个数,，在集合B中都有,唯一,确定的数 和它,对应,，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数。记作:,该定义中，叫做,自变量,，的取值范围A叫做函数的,定义域,与 的值相对应的 值叫做,函数值,，函数值的集合 叫做函数的,值域,。,函数三要素：,定义域、对应关系、值域,若想区别两个函数，要考虑哪些要素呢?,思考：,定义域、对应关系,区别两个函数，主要是考察它们,定义域和对应关系,是否分别相同。,