导数与不等式.ppt

真题感悟,考点整合,热点聚焦,题型突破,归纳总结,思维升华,第,5,讲导数与不等式、存在性及恒成,立问题,高考定位,在高考压轴题中，函数与不等式交汇的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式，另一类是存在性及恒成立问题,.,真 题 感 悟,考,点,整,合,1.,常见构造辅助函数的四种方法,(1),移项法：证明不等式,f,(,x,),g,(,x,)(,f,(,x,),g,(,x,),的问题转化为证明,f,(,x,),g,(,x,),0(,f,(,x,),g,(,x,),0),，进而构造辅助函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,).,(2),构造,“,形似,”,函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据,“,相同结构,”,构造辅助函数,.,(3),放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数,.,(4),主元法：对于,(,或可化为,),f,(,x,1,，,x,2,),A,的不等式，可选,x,1,(,或,x,2,),为主元，构造函数,f,(,x,，,x,2,)(,或,f,(,x,，,x,1,).,2.,利用导数解决不等式恒成立问题的,“,两种,”,常用方法,(1),分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围,.,一般地，,fx,),a,恒成立，只需,f,(,x,),min,a,即可；,f,(,x,),a,恒成立，只需,f,(,x,),max,a,即可,.,(2),函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值,(,最值,),，然后构建不等式求解,.,3.,不等式的恒成立与能成立问题,(1),f,(,x,),g,(,x,),对一切,x,I,恒成立,I,是,f,(,x,),g,(,x,),的解集的子集,f,(,x,),g,(,x,),min,0(,x,I,).,(2),f,(,x,),g,(,x,),对,x,I,能成立,I,与,f,(,x,),g,(,x,),的解集的交集不是空集f,(,x,),g,(,x,),max,0(,x,I,).,(3),对,x,1,，,x,2,I,使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),f,(,x,),max,g,(,x,),min,.,(4),对,x,1,I,，,x,2,I,使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),f,(,x,),min,g,(,x,),min,.,探究提高,(1),证明,f,(,x,),g,(,x,),或,f,(,x,),g,(,x,),，可通过构造函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，将上述不等式转化为求证,h,(,x,),0,或,h,(,x,),0,，从而利用求,h,(,x,),的最小值或最大值来证明不等式,.,或者，利用,f,(,x,),min,g,(,x,),max,或,f,(,x,),max,g,(,x,),min,来证明不等式,.,(2),在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明,.,探究提高,对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决,.,但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法,.,探究提高,存在性问题和恒成立问题的区别与联系,存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若,g,(,x,),m,恒成立，则,g,(,x,),max,m,；若,g,(,x,),m,恒成立，则,g,(,x,),min,m,；若,g,(,x,),m,有解，则,g,(,x,),min,m,；若,g,(,x,),m,有解，则,g,(,x,),max,m,.,1.,不等式恒成立、能成立问题常用解法有：,(1),分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如,a,f,(,x,),max,或,a,f,(,x,),min,.,(2),直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论,.,(3),数形结合,.,2.,利用导数证明不等式的基本步骤,(1),作差或变形,.,(2),构造新的函数,h,(,x,).,(3),利用导数研究,h,(,x,),的单调性或最值,.,(4),根据单调性及最值，得到所证不等式,.,3.,导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型,(1),把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；,(2),把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；,(3),把方程解的问题转化为函数的零点问题,.,