概率计算及条件概率.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3,概率的计算,解：,设所求事件为,A,.,解：,设,A,表示指定的,3,人排在一起。,例,1,从,0,到,9,这十个数字中任取三个，问大小在,中间的号码恰为,5,的概率是多少？,例,2,9,个人排成一排，求指定的,3,人排在一起的概率。,例,3,一批产品共有,10,个，其中有,4,个废品，求：,(1),这批产品的废品率,(2),任取,3,个恰有,1,个是废品的概率,(3),任取,3,个全非废品的概率,解：,分别用,A,、,A,1,、,A,0,表示上述三个事件,=0.4,=0.5,注：,若是有放回地抽取，答案会不同，如,=0.216,例,4,两封信随机地投向标号为,、,、,、,的四个,邮筒。求第二个邮筒恰好被投入,1,封信的概率以及前,两个邮筒中各有一封信的概率。,解：,设,A,表示第二个邮筒中投入一封信。,B,表示前两个邮筒各有一封信。,两封信共有,4,2,种可能的投法。,A,的不同投法有,种,B,的不同投法有,解：,分别用,A,、,B,、,C,表示甲、乙、丙抽到难签。,有放回时，每人面对的签数是相同的,乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将,甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可,例,5,(,抽签的公正性,),设有,3,个难签，,5,个易签。,甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放,回的情况下计算各人抽到难签的概率。,例,6,设有,5,个人，每个人以同等机会被分配在,7,个房,间中，求恰好有,5,个房间中各有一个人的概率。,解：,设,A,表示恰有,5,个房间中各有一个人。,每人进入各房间等可能,基本事件总数为,7,5,个。,(1),七个数字全不同的事件,A,1,(2),不含,1,与,0,的事件,A,2,(3),两个偶数五个奇数的事件,A,3,解：,基本事件总数为,10,7,=0.06048,=0.20972,=0.164,例,7,从,0,到,9,十个数字种任取一个，取后放回，再取。,先后共取七个数字。求下述事件的概率。,例,8,两人约定于早上,8,点至,9,点在校门口见面。要求,先到者等,20,分钟后离去。假定两人到校门的时间相,互独立，而且在,8,至,9,点间是等可能的。问两人能见,面的概率是多少？,解：,以,x,与,y,分别表示两人在,8,点之后到达校门口的分,钟数。,则0,x,60,0y60,两人能见面，即,|x-y|,20,即图中的阴影部分,能见面的概率为,60,20,0,20,60,4,概率的加法法则,解：,A,、,B,分别表示一、二等品，,A+B,表示产品合格,故,P(A+B)=P(A)+P(B),可以推广为一般的加法法则：,若,A,与,B,互斥，则,P(A+B)=P(A)+P(B),可以得到一些重要的推广。,例,1,10,件产品中有,6,个一等品，,3,个二等品，,1,个废品。,规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品,之间的关系。,(1),如果,n,个事件,A,1,A,2,A,n,两两互斥，则,P(A,1,+A,2,+A,n,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,n,),(2),若,A,1,A,2,A,n,构成一个完备事件组，它们的概率和为,P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,n,)=1,特别地，对立事件的概率之和为,1,。,P(A)+P(,)=1,常用形式为,P(A)=1-P(),一般有,P(B-A)=P(B)-P(AB),这是因为,B=(B-A)+AB,见右图,B,A,(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)称为广义加法法则,A+B=A+(B-A),由于,A,与,B-A,互斥,故P(A+B)=P(A)+P(B-A),再由,(3),得证。,可见，只需,P(AB)=0,加法法则就成立。,若是多个事件之和，公式会变复杂。,这是因为由图,A,B,解：,分别用,A,2,与,A,3,表示抽到两个与三个白球。,A,2,与,A,3,互斥,由加法法则，所求概率为,P(A,2,+A,3,)=P(A,2,)+P(A,3,),例,2,袋中有大小相同的,7,个球，,4,个是白球，,3,个,为黑球。从中一次取出,3,个，求至少有两个是白,球的概率。,例,3,50,个产品中有,46,个合格品与,4,个废品，从中一次,抽取,3个，求其中有废品的概率。,解：,用,A,i,表示取到,i,个废品。,A,1,A,2,A,3,互斥,故P(A,1,+A,2,+A,3,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,3,),解：,A,i,表示有正好有,i,张相同。,i,0,，,2,，,3,例,4,现有黑桃自,A,至,K,的,13,牌。有放回地抽,3,次。,求,(1),三张号码不同的概率。,(2),三张中有相同号码的概率。,(3),三张中至多有两张同号的概率。,(2)P(A,2,+A,3,)=P(A,2,)+P(A,3,),(3)P(A,0,+A,2,)=P(A,0,)+P(A,2,),1P(A,3,),例,5,甲盒中有,2,个红球1,个白球，乙盒中有,2,个白球,1,个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒,中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。,解：,甲盒成分不变，包括两种情况,从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为,A,从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,记为,B,A,与,B,互斥,基本事件总数为,3,4,12,A,的基本事件数,2,2,4,B,的基本事件数,1,3=3,解：,A,表示能被,6,整除。,B,表示能被,8,整除。,例,6,从,1,到,200,中任取一数。求,(1),能被,6,与,8,同时整除的概率。,(2),不能被,6,或,8,整除的概率。,例,7,你的班级中是否有人有相同的生日？,这一事件的概率有多大？,解：,设人的生日在一年,365,天的每一天是等可能的,A,表示,n,个人组成的班级中有人生日相同。,基本事件总数为,365,n,A,的基本事件数不易确定。,故,P(A)=1-P(,),5,条件概率与乘法规则,(1),取到废品的概率。,(2),已知取到的是不合格品，它是废品的概率。,解,：,(1),取到废品用,A,表示,(2),基本事件总数为,5,一般设,P(B)0,。而,P(A),称为无条件概率。,例,1,有,100,件产品，其中有,5,件是不合格品，包括,3,件次品与,2,件废品，任取一件，求,定义,1,在事件,B,已发生的条件下，事件,A,发生的概率，,称为事件,A,在给定B,下的条件概率，简称为,A,对,B,的条,件概率，记作,P(A|B),例,2,市场上供应的电风扇中，甲厂产品占,70,，乙厂占,30,。甲厂产品的合格率是,95,，乙厂的合格率是,80,。,若用事件,A,分别表示甲、乙两厂的产品，,B,表示产品为,合格品，试写出有关事件的概率。,解：,由题设,P(A)=0.7,P(,)=0.3,P(B|A)=0.95,P(B|,)=0.8,例,3,全年级,100,名学生中，有男生,(,事件,A)80,人，女生,20,人；,来自北京的,(,事件,B),有,20,人，其中男生,12,人，女生,8,人；免,修英语,(,事件,C),有,40,人，其中男生,32,人女生,8,人。试写出,解：,由题设,0.8,=0.2,=0.4,0.15,=0.6,=0.12,=0.4,=0.15,=0.32,在例,3,中可以观察到,它是条件概率的计算公式。,要求,P(A)0,P(B)0,关于,n,个事件,A,1,A,2,A,n,的乘法规则是,P(A,1,A,2,A,n,),P(A,1,)P(A,2,|A,1,)P(A,3,|A,1,A,2,)P(A,n,|A,1,A,2,A,n1,),定理,1(,乘法规则,),若,P(A)0,则,P(AB)=P(A)P(B|A),若,P(B)0,则,P(AB)=P(B)P(A|B),解：,甲厂生产的合格品，即,P(AB)=P(A)P(B|A),=0.7,0.95,=0.665,乙厂生产的合格品，即,P(,B)=P()P(B|),=0.3,0.8,=0.24,为什么后者不是,1-P(AB)?,因为,AB,与,B,不是对立事件。,例,4,在例,1,中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产,的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。,解：,设,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙抽到难签。,例,5,10,个考签中有,4,个难签，,3,人参加抽签,(,不放回,),，,甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽,到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都,抽到难签的概率。,解：,设,A,表示第一件合格，,B,表示第二件合格。,在不放回时,另一方法,P(AB)=P(A)P(B|A),=0.9025,=0.9025,例,6,设,100,件产品中有,5,件不合格，任取两件，求,两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种,情况计算。,错解：,在另,9,个产品中,(,含,3,个废品,),取到废品的概率,正解：,用,A,表示第一件是废品，,B,表示第二件是废品,已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是,A+B,若另一个也是废品，则两个都是废品即,AB,因(A+B)AB=AB,例,7,10,件产品中有,4,件废品，任取两件。若已知,有一个是废品，求另一个也是废品。,又因,P(A+B),1,例,8,设,A,B,为两个事件，且,P(A)=a0,P(B)=b0,